2021年05月21日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学2B第4問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2021年第1回共通テスト数2Bより

第4問

 初項3,公差pの等差数列を{an}とし、初項3,公比rの等比数列を{bn}と
する。ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすと
する。

  an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}

(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、an,an+1,bnはそれぞれ

  an=[ア]+(n−1)p ……{2}
  an+1=[ア]+np ……{3}
  bn=[イ]r^(n-1)

と表される。r≠0により、すべての自然数nについて、bn≠0となる。
bn+1/bn=rであることから、{1}の両辺をbnで割ることにより

  [ウ]an+1=r(an+[エ]) ……{4}

が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると

  (r−[オ])pn=r(p−[カ])+[キ] ……{5}

となる。{5}がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=[オ]を得る。
さらに、このことから、p=[ク]を得る。
 以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることがわかる。


(2) p=[ク],r=[オ]であることから、{an},{bn}の初項から第n項までの
和は、それぞれ次の式で与えられる。

  Σ[k=1〜n]ak=([ケ]/[コ])n(n+[サ])

  Σ[k=1〜n]bk=[シ]([オ]^n−[ス])


(3) 数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。

  an・cn+1−4an+1・cn+3cn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{6}

 anが正であることから、{6}を変形して、cn+1={([セ]an+1)/(an+[ソ])}cn
を得る。

さらに、p=[ク]であることから、数列{cn}は[タ]ことがわかる。

[タ]の解答群
――――――――――――――――――――
|{0} すべての項が同じ値をとる数列である|
|{1} 公差が0でない等差数列である   |
|{2} 公比が1より大きい等比数列である |
|{3} 公比が1より小さい等比数列である |
|{4} 等差数列でも等比数列でもない   |
――――――――――――――――――――

(4) q,uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が
次を満たすとする。

  dn・bn+1−q・dn+1・bn+u・bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{7}

 r=[オ]であることから、{7}を変形して、dn+1=([チ]/q)(dn+u)を得る。
したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、q>[ツ]かつu=[テ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入
 ◆2 等比数列だから初項と公比を代入

(以下略)

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■ 解説


◆1は省略します。


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 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入

ここら辺で今回の問題です。

「初項3,公差pの等差数列を{an}」
「初項3,公比rの等比数列を{bn}」

として、まずはanとbnの式を聞いています。

anは等差数列だから、一般項の公式は★an=a+(n−1)dですね。

これにa=3,d=pを代入すると、

an=3+(n−1)p

これで一般項がわかりました。

さらに、an+1=3+(n+1−1)p=3+np

となります。

よって、[ア]=3


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 ◆3 等比数列だから初項と公比を代入

続いてbnです。

「初項3,公比rの等比数列を{bn}」としているので、等比数列の一般項の公式を
使います。

★bn=a・r^(n-1)に、a=3,r=rを代入すると、


(以下略)


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ラベル:数学
posted by えま at 17:00| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

高校数学「因数分解」2x^2−xy−y^2−7x+y+6

昨日発売した10秒でわかる高校数学1A「数と式」の考え方から1問ご紹介します。


■ 問題

「次の式を因数分解せよ。
2x^2−xy−y^2−7x+y+6」



このときはまず最初に何をすればいいでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!



■ 選択肢

 @ 2x^2−xy−y^2の部分を因数分解する

 A xについて降べきの順に整理する

 B xでくくる

 C yでくくる



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■ 選択肢の解答

 A xについて降べきの順に整理する

 このように、xもyも様々な種類の項を含む、いわば「フルコース」の2次式の場合、xについて降べきの順に整理し、まずは定数項(yなどを含む項)を因数分解してみると上手くいくことがあります。
 とにかく全ての項をかっこの中に入れるのが因数分解なので、共通する部分ができるようにしたり、公式を適用しやすく変形する。という方針です。



■ 解答解説

 まずは与式を降べきの順に整理すると、
 2x^2−xy−y^2−7x+y+6
=2x^2+(−y−7)x+(−y^2+y+6)
=2x^2−(y+7)x−(y^2−y−6)   ←マイナスでくくった
=2x^2−(y+7)x−(y+2)(y−3)  ←定数項を因数分解した

ここでこの式全体をxの2次式と捉えて、たすきがけをします。
難しく見えると思いますが、掛けて(y+2)(y−3)になるのは、
(y+2)と(y−3)なので、意外とパターンが限られています。

 1   −(y+2) = −2y−4
   ×
 2     y−3 =  y−3
―――――――――――――――――――
 2  −(y+2)(y−3) −(y+7)

={x−(y+2)}(2x+y−3)
=(x−y−2)(2x+y−3)


この問題は次の書籍のP.17に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや見やすい計算式、類題とその解答解説も掲載しています。



◆類題
3x^2+y^2−4xy−x+3y−4の因数分解

数と式まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校化学(用語)「酸化カルシウム」「水酸化カルシウム」

高校化学(用語)「酸化カルシウム」「水酸化カルシウム」

★酸化カルシウム(Calcium oxide)

・白色の固体で、生石灰とも呼ばれる。化学式は「CaO」
・塩基性酸化物なので、塩酸と反応して水を生じる。CaO+2HCl→CaCl2+H2O
・水と反応して発熱し、水酸化カルシウム(消石灰)を生じる。CaO+H2O→Ca(OH)2
・吸湿性があるので、乾燥剤としても用いられる。
炭酸カルシウムCaCO3を強熱して得られる。CaCO3→CaO+CO2


★水酸化カルシウム(Calcium hydroxide)

・白色の粉末で、消石灰とも呼ばれる。化学式は「Ca(OH)2」
・水酸化カルシウムの飽和水溶液が「石灰水」で、石灰水はCO2の検出に使われる。Ca(OH)2+CO2→CaCO3+H2O
・酸化カルシウムと水の反応で得られる。CaO+H2O→Ca(OH)2
・さらし粉Ca(ClO)2・2H2Oの原料。


アンモニアソーダ法(ソルベー法)の反応経路に、炭酸カルシウムの強熱、酸化カルシウムと水の反応が含まれていることも把握しておくと良いと思います。


◆関連項目
ナトリウムの化合物
炭酸カルシウムカルシウムとマグネシウムアルカリ土類金属
典型金属元素まとめ


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中学数学「平方根」まとめ

中学数学「平方根」まとめ

中学数学の平方根に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。

◆ 解説

平方根とは?

ルートの値

a√bの形に直す

平方根のかけ算

平方根の割り算

分母の有理化

平方根の足し算引き算(ルートの中身が同じ)

平方根の足し算引き算(ルートの中身が違う)

有理数・無理数

整数部分と小数部分


◆ 問題

√6×√42

√2×√10÷√5、√3÷2√6÷√10

(1) (√2+√3)^2,(2) √20(1+√5)÷√8

1.414は無理数か?

√(162/n)が整数になるとき

√(16−n)が整数になるとき

√17の整数部分・小数部分

四則混合10題


◆動画

平方根の意味と基本的なかけ算・割り算

a√bの形

分母の有理化

平方根のかけ算・割り算計算問題
四則混合10題

平方根の利用


まだまだ追加していきます!
リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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