【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年第１回共通テスト数２Ｂより
第４問
初項３，公差ｐの等差数列を{ａn}とし、初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}と
する。ただし、ｐ≠０かつｒ≠０とする。さらに、これらの数列が次を満たすと
する。
ａn・ｂn+1－２ａn+1・ｂn＋３ｂn+1＝０ (ｎ＝１，２，３，…) ……{1}
(1) ｐとｒの値を求めよう。自然数ｎについて、ａn，ａn+1，ｂnはそれぞれ
ａn＝[ア]＋(ｎ－１)ｐ ……{2}
ａn+1＝[ア]＋ｎｐ ……{3}
ｂn＝[イ]ｒ^(n-1)
と表される。ｒ≠０により、すべての自然数ｎについて、ｂn≠０となる。
ｂn+1／ｂn＝ｒであることから、{1}の両辺をｂnで割ることにより
[ウ]ａn+1＝ｒ(ａn＋[エ]) ……{4}
が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると
(ｒ－[オ])ｐｎ＝ｒ(ｐ－[カ])＋[キ] ……{5}
となる。{5}がすべてのｎで成り立つことおよびｐ≠０により、ｒ＝[オ]を得る。
さらに、このことから、ｐ＝[ク]を得る。
以上から、すべての自然数ｎについて、ａnとｂnが正であることがわかる。
(2) ｐ＝[ク]，ｒ＝[オ]であることから、{ａn}，{ｂn}の初項から第ｎ項までの
和は、それぞれ次の式で与えられる。
Σ[k=1～n]ａk＝([ケ]／[コ])ｎ(ｎ＋[サ])
Σ[k=1～n]ｂk＝[シ]([オ]^n－[ス])
(3) 数列{ａn}に対して、初項３の数列{ｃn}が次を満たすとする。
ａn・ｃn+1－４ａn+1・ｃn＋３ｃn+1＝０ (ｎ＝１，２，３，…) ……{6}
ａnが正であることから、{6}を変形して、ｃn+1＝{([セ]ａn+1)／(ａn＋[ソ])}ｃn
を得る。
さらに、ｐ＝[ク]であることから、数列{ｃn}は[タ]ことがわかる。
[タ]の解答群
――――――――――――――――――――
｜{0} すべての項が同じ値をとる数列である｜
｜{1} 公差が０でない等差数列である ｜
｜{2} 公比が１より大きい等比数列である ｜
｜{3} 公比が１より小さい等比数列である ｜
｜{4} 等差数列でも等比数列でもない ｜
――――――――――――――――――――
(4) ｑ，ｕは定数で、ｑ≠０とする。数列{ｂn}に対して、初項３の数列{ｄn}が
次を満たすとする。
ｄn・ｂn+1－ｑ・ｄn+1・ｂn＋ｕ・ｂn+1＝０ (ｎ＝１，２，３，…) ……{7}
ｒ＝[オ]であることから、{7}を変形して、ｄn+1＝([チ]／ｑ)(ｄn＋ｕ)を得る。
したがって、数列{ｄn}が、公比が０より大きく１より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、ｑ＞[ツ]かつｕ＝[テ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 等差数列と等比数列の用語・公式
◆２ 等差数列だから初項と公差を代入
◆２ 等比数列だから初項と公比を代入
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
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◆２ 等差数列だから初項と公差を代入
ここら辺で今回の問題です。
「初項３，公差ｐの等差数列を{ａn}」
「初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}」
として、まずはａnとｂnの式を聞いています。
ａnは等差数列だから、一般項の公式は★ａn＝ａ＋(ｎ－１)ｄですね。
これにａ＝３，ｄ＝ｐを代入すると、
ａn＝３＋(ｎ－１)ｐ
これで一般項がわかりました。
さらに、ａn+1＝３＋(ｎ＋１－１)ｐ＝３＋ｎｐ
となります。
よって、[ア]＝３
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◆３ 等比数列だから初項と公比を代入
続いてｂnです。
「初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}」としているので、等比数列の一般項の公式を
使います。
★ｂn＝ａ・ｒ^(n-1)に、ａ＝３，ｒ＝ｒを代入すると、
(以下略)
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ラベル：数学
