本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学１Ａ第４問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年共通テスト第１日程数１Ａより
第４問
円周上に15個の点Ｐ0，Ｐ1，…，Ｐ14が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点Ｐ0に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに５個先の
点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに３個先の点に移動させる。この
操作を繰り返す。例えば、石が点Ｐ5にあるとき、さいころを投げて６の目が出たら
石を点Ｐ10に移動させる。次に、５の目が出たら点Ｐ10にある石を点Ｐ7に移動
させる。
(1) さいころを５回投げて、偶数の目が[ア]回、奇数の目が[イ]回出れば、点Ｐ0に
ある石を点Ｐ1に移動させることができる。このとき、ｘ＝[ア]，ｙ＝[イ]は、
不定方程式５ｘ－３ｙ＝１の整数解になっている。
(2) 不定方程式
５ｘ－３ｙ＝８ ……{1}
のすべての整数解ｘ，ｙは、ｋを整数として
ｘ＝[ア]×８＋[ウ]ｋ，ｙ＝[イ]×８＋[エ]ｋ
と表される。{1}の整数解ｘ，ｙの中で、０≦ｙ＜[エ]を満たすものは
ｘ＝[オ]，ｙ＝[カ]
である。したがって、さいころを[キ]回投げて、偶数の目が[オ]回、奇数の目が
[カ]回出れば、点Ｐ0にある石を点Ｐ8に移動させることができる。
(3) (2)において、サイコロを[キ]回より少ない回数だけ投げて、点Ｐ0にある石を
点Ｐ8に移動させることはできないだろうか。
(＊) 石を反時計回りまたは時計回りに１５個先の点に移動させると元の点に
戻る。
(＊)に注意すると、偶数の目が[ク]回、奇数の目が[ケ]回出れば、さいころを
投げる回数が[コ]回出、点Ｐ0にある石を点Ｐ8に移動させることができる。
このとき[コ]＜[キ]である。
(4) 点Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐ14のうちから点を一つ選び、点Ｐ0にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる
最小回数を考える。例えば、さいころを１回だけ投げて点Ｐ0にある石を点Ｐ2に
へ移動させることはできないが、サイコロを２回投げて偶数の目と奇数の目が１回
ずつ出れば、点Ｐ0にある石を点Ｐ2へ移動させることができる。したがって、点Ｐ2
を選んだ場合はこの最小回数は２回である。
点Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐ14のうち、この最小回数が最も大きいのは点[サ]であり、
その最小回数は[シ]回である。
[サ]の解答群
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｜{0} Ｐ10 {1} Ｐ11 {2} Ｐ12 {3} Ｐ13 Ｐ14 ｜
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※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 不定方程式は「特殊解→一般解」
◆２ １０進んで９戻れば１進む
◆３ 偶数の回数をｘ，奇数の回数をｙとする
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ １０進んで９戻れば１進む
さてそれでは、今回の問題の内容を確認してみましょう！
「円周上に15個の点Ｐ0，Ｐ1，…，Ｐ14が反時計回りに順に並んでいる」
「最初、点Ｐ0に石がある」
「さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに５個先の点に移動」
「奇数の目が出たら石を時計回りに３個先の点に移動」
というルールで石を動かしていくようです。
これを踏まえて最初の設問です。
「さいころを５回投げて」「Ｐ0にある石をＰ1に移動させる」場合について考え
ます。
Ｐ1に移動するのは、つまりは、「トータルで１進む」ことを意味しますね。
偶数が出たら反時計回りに５進み、奇数が出たら時計回りに３進むのだから、
偶数２回、奇数３回のとき、
５×２＋(－３)×３＝１０－９＝１
というわけで、Ｐ0にあった石はＰ1に移動します。
よって、[ア]＝２，[イ]＝３
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◆３ 偶数の回数をｘ，奇数の回数をｙとする
今求めた解が、不定方程式５ｘ－３ｙ＝１の解になっていることについて、少し
説明しておきます。
偶数と奇数で移動の方向が逆なので、偶数が出て反時計回りに移動するときを
プラスとすれば、奇数が出て時計回りに移動するときはマイナスになります。
この法則に従って、トータルで移動した数が１のときが・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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