高校物理「重心」「切り取った立方体」倒れる条件

高校物理「重心」「切り取った立方体」倒れる条件

◆問題

一様な材質で作られた一辺の長さがＬの立方体が、なめらかで水平な床の上に置かれている。この立方体から、縦と横がｌで奥行きがＬの直方体を、床に接している１辺を含むように切り取り、残った立体をＡ，切り取った立体をＢとするとき、次の問いに答えよ。


　(立体Ａ，Ｂを真横から見た参考図)
　　Ａ
　┌───┐
　│　　　│　Ｂ
　│　　┌┘　┌┐
　└──┘　　└┘

(ご利用のフォントによっては図形が崩れますがご了承ください)


(1) 立体Ａの重心の位置は、左端からどれだけ右にあるか求めよ。

(2) 立体Ｂの１辺を大きくしていくと、ある値ｌ0をこえた瞬間に立体Ａは倒れた。ｌ0を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

物体が静止している(倒れない)ときは、力や力のモーメントがつり合っている。ということができます。
つまり逆に言えば、力または力のモーメントがつり合わなくなれば、物体が移動したり回転したり倒れたりする。というわけです。

倒れる瞬間がどんな様子かを考えると、立体Ａのへこんだ部分の角を中心に回転すると推測できますね。
この角のまわりの力のモーメントを考えると、倒れる瞬間は合計がゼロになります。

立体Ａにはたらく力は、重力と垂直抗力の２つで、垂直抗力は倒れる瞬間は回転の中心である角にはたらくから「うで」の長さはゼロでモーメントもゼロ。さらに、モーメントの合計がゼロということは、重力のモーメントもゼロです。重力のモーメントがゼロならば、重力も「うで」の長さがゼロなので、立体Ａの重心ｘGは回転の中心の角の真上にあることになります。

倒れる瞬間の立体Ｂの１辺がｌ0なので、ｘG＝Ｌ−ｌ0となります。

(1)で求めた立体Ａの重心は、ｘG＝(Ｌ^2＋ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)で、このときはｌ＝ｌ0です。
これらが等しいことから方程式を作って解くことができます。

Ｌ−ｌ₀＝(Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２)／２(Ｌ＋ｌ₀)

２(Ｌ＋ｌ₀)(Ｌ−ｌ₀)＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
　　２(Ｌ^２−ｌ₀^２)＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
　　　２Ｌ^２−２₀^２＝Ｌ^２＋ｌ₀Ｌ−ｌ₀^２
ｌ₀^２＋Ｌｌ₀−Ｌ^２＝０

これはｌ₀についての２次方程式と考えられるので、解の公式で解くと、

ｌ₀＝Ｌ・(−１±√５)／２

が得られます。
ｌ₀は長さなので、正の数だから、

ｌ₀＝Ｌ・(√５−１)／２


この問題の最初に戻る→(1)Ａの重心


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■　問題

2021年第１回共通テスト数２Ｂより

第５問

　１辺の長さが１の正五角形の対角線の長さをαとする。

(1) １辺の長さが１の正五角形ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2を考える。

(図はここでは省略します)

　∠Ａ1Ｃ1Ｂ1＝[アイ]°，∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝[アイ]°となることから、→Ａ1Ａ2と
→Ｂ1Ｃ1は平行である。ゆえに

　　→Ａ1Ａ2＝[ウ]・→Ｂ1Ｃ1

であるから

　　→Ｂ1Ｃ1＝(１／[ウ])・→Ａ1Ａ2＝(１／[ウ])(→ＯＡ2−→ＯＡ1)

　また、→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1は平行で、さらに、→ＯＡ2と→Ａ1Ｃ1も平行である
ことから

　　→Ｂ1Ｃ1＝→Ｂ1Ａ2＋→Ａ2Ｏ＋→ＯＡ1＋→Ａ1Ｃ1
　　　　　　＝−[ウ]・→ＯＡ1−→ＯＡ2＋→ＯＡ1＋[ウ]・→ＯＡ2
　　　　　　＝([エ]−[オ])(→ＯＡ2−→ＯＡ1)

となる。したがって

　　１／[ウ]＝[エ]−[オ]

が成り立つ。ａ＞０に注意してこれを解くと、ａ＝(１＋√５)／２を得る。


(2) 下の図のような、１辺の長さが１の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

(図はここでは省略します)

　面ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2に着目する。→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1が平行であることから

　　→ＯＢ1＝→ＯＡ2＋→Ａ2Ｂ1＝→ＯＡ2＋[ウ]・→ＯＡ1

である。また

　　|→ＯＡ2−→ＯＡ1|^2＝|→Ａ1Ａ2|^2＝([カ]＋√[キ])／[ク]

に注意すると

　　→ＯＡ1・→ＯＡ2＝([ケ]−√[コ])／[サ]

を得る。


(図はここでは省略します)

　次に、面ＯＡ2Ｂ2Ｃ2Ａ3に着目すると

　　→ＯＢ2＝→ＯＡ3＋[ウ]・→ＯＡ2

である。さらに

　　→ＯＡ2・→ＯＡ3＝→ＯＡ3・→ＯＡ1＝([ケ]−√[コ])／[サ]

が成り立つことがわかる。ゆえに

　　→ＯＡ1・→ＯＢ2＝[シ]，→ＯＢ1・→ＯＢ2＝[ス]

である。

[シ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} ０　　{1} １　　{2} −１　　{3] (１＋√５)／２　　　　　　　　　|
| {4} (１−√５)／２　　{5} (−１＋√５)／２　　{6} (−１−√５)／２　|
| {7} −１／２　　{8} (−１＋√５)／４　　{9} (−１−√５)／４　　　　|
――――――――――――――――――――――――――――――――――


(図はここでは省略します)

　最後に、面Ａ2Ｃ1ＤＥＢ2に着目する。

　　→Ｂ2Ｄ＝[ウ]・→Ａ2Ｃ1＝→ＯＢ1

であることに注意すると、４点Ｏ，Ｂ1，Ｄ，Ｂ2は同一平面上にあり、
四角形ＯＢ1ＤＢ2は[セ]ことがわかる。

[セ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 正方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {1} 正方形ではないが、長方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {2} 正方形ではないが、ひし形である　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {3} 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である　　　　　　　　　　|
| {4} 平行四辺形ではないが、台形である　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {5} 台形でない　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの四則計算
　◆３　△Ａ1Ｃ1Ｂ1は二等辺三角形
　◆４　対角線の長さは等しい

(以下略)

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■　解説


◆１，２は省略します。


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　◆３　△Ａ1Ｃ1Ｂ1は二等辺三角形

前置きはこの辺にして、今回の問題です。
共通テスト第５問では、まず「１辺の長さが１の正五角形ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2」を
考えます。

(図はここでは省略します)

正五角形なので、もちろん、５つの辺の長さが等しく、５つの角の大きさが等しい
ですね。

ｎ角形の内角の和は、(ｎ−２)×１８０°なので、五角形なら

(５−２)×１８０°＝３×１８０°＝５４０°

だから一つの内角は、５４０°÷５＝１０８°

となります。例えば、∠Ａ1Ｂ1Ｃ1＝１０８°ですね。

△Ａ1Ｃ1Ｂ1に注目すると辺Ａ1Ｂ1と辺Ｂ1Ｃ1は正五角形の辺だから等しく、
二等辺三角形であることがわかります。∠Ａ1Ｃ1Ｂ1はその底角なので、

(１８０°−１０８°)÷２＝７２°÷２＝３６°

よって、[アイ]＝３６


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　◆４　対角線の長さは等しい

∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝[アイ]°なので、∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝３６°であることは、ちゃんと検証
しなくても問題ありませんが、念のため、図形の性質を用いて確認してみましょう！

正五角形の１角なので、∠Ａ2Ｃ1Ｂ1＝１０８°
◆１より∠Ａ1Ｃ1Ｂ1＝３６°

だから、∠Ａ1Ｃ1Ａ2＝１０８°−３６°＝７２°

Ａ1Ａ2とＡ1Ｃ1はそれぞれ正五角形の対角線なので長さが等しいから、


(以下略)


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高校物理「重心」「切り取った立方体」重心の位置

高校物理「重心」「切り取った立方体」重心の位置

◆問題

一様な材質で作られた一辺の長さがＬの立方体が、なめらかで水平な床の上に置かれている。この立方体から、縦と横がｌで奥行きがＬの直方体を、床に接している１辺を含むように切り取り、残った立体をＡ，切り取った立体をＢとするとき、次の問いに答えよ。


　(立体Ａ，Ｂを真横から見た参考図)
　　Ａ
　┌───┐
　│　　　│　Ｂ
　│　　┌┘　┌┐
　└──┘　　└┘

(ご利用のフォントによっては図形が崩れますがご了承ください)


(1) 立体Ａの重心の位置は、左端からどれだけ右にあるか求めよ。


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◆解説

重心を求めるには、物体に働く重力を考えます。
重力は当然質量に比例するので、この立体Ａの質量について考える必要があります。
「密度は一様」と書いてあるので、体積と質量が比例し、つまりは、真横から見た場合の面積と質量が比例する。ということができます。

切り取る前の立方体の重心は当然、立体のちょうど真ん中ですが、立体Ｂを切り取った後の重心は、真ん中より少し斜め上に移動すると予想できると思います。
この立体Ａの重心の座標を(ｘG，ｙG)などとおいて、切り取った立体Ｂをもとの位置にはめ込んだら、重心は真ん中になる。と考えて式を立てることもできますが、この場合は、立体Ａを２つの直方体に分けてそれらが連結されていると考えた方が簡単です。

┌──┐┌┐
│　　│││
│　　│└┘
└──┘

このように２つの物体に分けると、それぞれのちょうど真ん中の点がそれぞれの重心になります。

立体Ａの左下を原点として、座標を考えると、

大きい方の直方体の重心の水平方向の位置は、(Ｌ−ｌ)／２
小さい方の直方体の重心の水平方向の位置は、Ｌ−ｌ＋ｌ／２＝Ｌ−ｌ／２

となります。

立体の質量は面積に比例するので、面積をそのまま質量とすれば、

大きい方の直方体の質量は、Ｌ(Ｌ−ｌ)
小さい方の直方体の質量は、ｌ(Ｌ−ｌ)

です。
これらを重心の公式に当てはめれば、求める重心の位置をｘGとすると、

ｘG＝{Ｌ(Ｌ−ｌ)・(Ｌ−ｌ)／２＋ｌ(Ｌ−ｌ)・(Ｌ−ｌ／２)}／{Ｌ(Ｌ−ｌ)＋ｌ(Ｌ−ｌ)}

という式を作ることができます。
全ての項に(Ｌ−ｌ)が入っているので、まずは(Ｌ−ｌ)で割ると、

ｘG＝{Ｌ・(Ｌ−ｌ)／２＋ｌ(Ｌ−ｌ／２)}／(Ｌ＋ｌ)

あとはできるだけ簡単にします。

　＝{Ｌ・(Ｌ−ｌ)＋ｌ(２Ｌ−ｌ)}／２(Ｌ＋ｌ)
　＝(Ｌ^2−ｌＬ＋２ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)
　＝(Ｌ^2＋ｌＬ−ｌ^2)／２(Ｌ＋ｌ)


次の問題→(2)Ａが倒れる条件


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高校化学(用語)「亜鉛」

高校化学(用語)「亜鉛」

★亜鉛(zinc)

・元素記号Ｚｎ、原子番号３０。銀白色の金属で、最も安定な結晶は六方最密構造。
・酸にも塩基に溶ける両性元素であり、酸化物や水酸化物もそれぞれ、両性酸化物、両性水酸化物である。

・塩酸に溶けて塩化亜鉛を生じる。Ｚｎ＋２ＨＣｌ→ＺｎＣｌ2＋Ｈ2
・水酸化ナトリウムに溶けて、テトラヒドロキシド亜鉛(II)酸ナトリウムを生じる。Ｚｎ＋２ＮａＯＨ＋２Ｈ2Ｏ→Ｎａ2[Ｚｎ(ＯＨ)4]＋Ｈ2

亜鉛イオンや亜鉛を含む錯イオンの水溶液は無色、沈殿は白色と覚えておくと、系統分離の問題にも役立ちます。


◆関連項目
酸化亜鉛、水酸化亜鉛、アルミニウム、スズ、鉛
典型金属元素まとめ
Ｐｂ2+，Ｃｕ2+，Ｆｅ3+，Ｚｎ2+，Ｂａ2+，Ｎａ+，Ａｇ+，Ａｌ3+の分離


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