本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学１Ａ第５問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年共通テスト第１日程数１Ａより
第５問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝５とする。
∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとすると
ＢＤ＝[ア]／[イ]，ＡＤ＝[ウ]√[エ]／[オ]
である。
また、∠ＢＡＣの二等分線と△ＡＢＣの外接円Ｏとの交点で点Ａとは異なる点を
Ｅとする。△ＡＥＣに着目すると
ＡＥ＝[カ]√[キ]
である。
△ＡＢＣの２辺ＡＢとＡＣの両方に接し、外接円Ｏに内接する円の中心をＰと
する。円Ｐの半径をｒとする。さらに、円Ｐと外接円Ｏとの接点をＦとし、
直線ＰＦと外接円Ｏとの交点で点Ｆとは異なる点をＧとする。このとき
ＡＰ＝√[ク]・ｒ，ＰＧ＝[ケ]－ｒ
と表せる。したがって、方べきの定理によりｒ＝[コ]／[サ]である。
△ＡＢＣの内心をＱとする。内接円Ｑの半径は[シ]で、ＡＱ＝√[ス]である。
また、円Ｐと辺ＡＢとの接点をＨとすると、ＡＨ＝[セ]／[ソ]である。
以上から、点Ｈに関する次の(a), (b)の正誤の組み合わせとして正しいものは
[タ]である。
(a) 点Ｈは３点Ｂ，Ｄ，Ｑを通る円の周上にある。
(b) 点Ｈは３点Ｂ，Ｅ，Ｑを通る円の周上にある。
[タ]の解答群
――――――――
――|{0}|{1}|{2}|{3}|
|(a)|正 |正 |誤 |誤 |
|(b)|正 |誤 |正 |誤 |
――――――――――
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 平面図形の性質の代表例
◆２ 二等分線だからＡＢ：ＡＣに分ける
◆３ 斜辺の対角が直角
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ 二等分線だからＡＢ：ＡＣに分ける
では今回の問題です。
ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，ＡＣ＝５の△ＡＢＣについての問題ですね。
この時点で「３辺が３：４：５だから、△ＡＢＣは直角三角形だな～」などと
気づくと、図も描きやすいし理解しやすくなりますね。
そして、「∠ＢＡＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤ」として、まずはＢＤの
長さを聞いています。
∠ＢＡＣの二等分線を頂点ＡからＢＣに引いてみると、ＤはＢＣをある比に分ける
ことがわかると思います。
角の二等分線の性質の一つに、
★ 角の二等分線は、対辺をそのはさむ二辺の長さの比に分ける
というものがあります。
この問題では、ＡＢ＝３，ＡＣ＝５なので、ＤはＢＣを３：５に分けます。
つまり、「ＢＤ：ＤＣ＝３：５」ですね。ということは、
ＢＤ＝４×３／８＝３／２
よって、[ア]＝３，[イ]＝２
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◆３ 斜辺の対角が直角
◆２で図形の内容を確認したときにも触れたように、△ＡＢＣは直角三角形です。
ＡＣが最も長い辺なので、その対角が直角です。つまり∠ＡＢＣ＝９０°です。
ということは、△ＡＢＤも直角三角形だから、三平方の定理が成り立ちます。
問題文からＡＢ＝３，◆２からＢＤ＝３／２がわかっているので・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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