2021年06月03日

高校物理「万有引力」第2宇宙速度

高校物理「万有引力」第2宇宙速度

◆問題

地球の表面から、初速度v0で鉛直上方に物体Aを打ち上げる。地球の半径をR,地表での重力加速度の大きさをgとして、次の問いに答えよ。

(1) 物体Aが、地表から高さhの点まで上昇した後、地面に向かって落ち始めた。打ち上げの初速度v0を求めよ。

(2) 物体Aが、無限遠まで飛び去るために必要な最小の初速度を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

(1)で、「力学的エネルギーの保存」の法則から、

(1/2)m(v0)^2−G・Mm/R=0−G・Mm/(R+h)

という式が得られました。

万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準とするので、「無限遠まで飛び去るときの高さ」のときの位置エネルギーはゼロになります。

つまり、−G・Mm/(R+h)=0であり、力学的エネルギー保存の式の右辺はゼロになります。

ということは、

(1/2)m(v0)^2−G・Mm/R=0

ですね。

あとはこれをv0について解けばOKというわけです!

(1/2)m(v0)^2=G・Mm/R

両辺に2/mをかけて

(v0)^2=2GM/R

両辺の平方根をとれば、

v0=√(2GM/R)

さらに、(1)と同様に、GM=gR^2を代入して、

v0=√(2gR^2/R)
 =√(2gR)


というわけで、地上から打ち上げられた物体が無限遠まで飛び去るために必要な速さは√(2gR)であることがわかりました。
この速さを「第2宇宙速度」と呼びます。


前の問題→(1) 初速度を求める


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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書き換え英作文問題「受動態」「疑問詞」My father bought...

書き換え英作文問題「受動態」「疑問詞」My father bought...


指示に従って書き換えよ。
My father bought me a pair of shoes.

1. 「me」と「a pair of shoes」を入れ替えて

─────────────────────────────────────── 
2. 「私」を主語にして受動態に

─────────────────────────────────────── 
3. 「靴」を主語にして受動態に

─────────────────────────────────────── 
4. 3番を否定文に

─────────────────────────────────────── 
5. 下線部を問う疑問文に

─────────────────────────────────────── 


解答解説はこちら


◆文法事項の説明
第4文型(SVOO)基本的な受け身の文疑問詞を使った疑問文


今回の問題は、次の書籍のP.104にも掲載されています。
詳しい解答解説をご覧になりたい方は、電子書籍をご利用ください。



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ラベル:英語
posted by えま at 17:00| Comment(0) | 書き換え英作文 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

高校数学「データの分析」分散から標準偏差を求める

好評発売中の10秒でわかる!数学1A「命題と集合」「データの分析」の考え方から1問、ブログ用に再編集してご紹介します。


■ 問題

「40人の生徒に対して行われたあるテストの得点のデータの分散は2.94である。標準偏差を求めよ。」


このときは何をすれば良いでしょうか?
あまり悩まず、パッと選択肢を選んで、次のページへ!


■ 選択肢

 @ 標準偏差は2.94

 A 2.94を2乗する

 B 2.94の平方根をとる

 C 2.94を逆数にする


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■ 選択肢の解答

 B 2.94の平方根をとる

 分散の平方根が標準偏差です。
 そして、分散は偏差(平均値との差)の2乗の平均値です。
分散は2乗の平均なので、それをルートすることによって、単位がもとの値と等しくなり、データの散らばり具合を比較しやすくなります。


■ 解答解説

 標準偏差を求めるためには、分散が必要。
 分散を求めるためには、偏差が必要。
 偏差は、平均との差。

 今回の問題では、分散が2.94とわかっているので、求める標準偏差は

√2.94=1.71…


この問題は次の書籍のP.29に掲載されています。書籍では、実際のデータの表や分散を求めるまでの計算式、間違いの選択肢のコメントや類題とその解答解説も掲載しています。



◆関連項目
分散と標準偏差中央値
データの分析まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理「万有引力」高さhまで上昇したときの初速度

高校物理「万有引力」高さhまで上昇したときの初速度

◆問題

地球の表面から、初速度v0で鉛直上方に物体Aを打ち上げる。地球の半径をR,地表での重力加速度の大きさをgとして、次の問いに答えよ。

(1) 物体Aが、地表から高さhの点まで上昇した後、地面に向かって落ち始めた。打ち上げの初速度v0を求めよ。


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◆解説

人間が手でボールを投げた場合でも、地球から宇宙空間に物体を打ち出した場合でも、摩擦力等を無視すれば「力学的エネルギーの保存」が成り立ちます。

運動エネルギーと位置エネルギーをそれぞれK1,K2,U1,U2とすれば、

K1+U1=K2+U2

ですね。

この場合は、打ち上げた瞬間の運動エネルギーと位置エネルギーがK1,U1で、地表からの高さhでのそれらがK2,U2と考えて式を立てられそうです。

物体Aの初速度はv0,質量は書いてないので普通にmとして、K1=(1/2)m(v0)^2です。
このときの位置は地球の表面上なので地球の中心からの高さは半径と同じくRです。地球の質量は書かれていないので普通にMとして、U1=−G・Mm/Rです。

高さhの点でのエネルギーをK2,U2とすると、
「高さhの点まで上昇した」ので、高さhの点での物体Aの速度はゼロです。つまり、K2=0です。
この点は、地球の中心からの距離は(R+h)です。つまり、U2=−G・Mm/(R+h)です。

以上を力学的エネルギー保存の式に代入すると、

(1/2)m(v0)^2−G・Mm/R=0−G・Mm/(R+h)

あとはv0について解けばOKですね!

まずは両辺に2/mを掛けると、

(v0)^2−2GM/R=−2GM/(R+h)

移項して計算していきます。

(v0)^2=2GM/R−2GM/(R+h)
   =2GM{1/R−1/(R+h)}
   =2GM[(R+h−R)/R(R+h)}
   =2GM(h/R(R+h)}
よって、v0=√{2GMh/R(R+h)}

この問題では、問題文にはGとMも書かれていないので、これらも消去することを考えます。

物体Aのはたらく重力はW=mgですが、万有引力定数Gを用いると、W=G・Mm/R^2とも表せます。これらはどちらも物体Aにはたらく重力を表しているので、イコールで結んで変形すると、

mg=GMm/R^2
 g=GM/R^2
GM=gR^2

これをv0=√{2GMh/R(R+h)}に代入すれば、

v0=√{2gR^2/R(R+h)}
  =√{2gR/(R+h)}


次の問題→物体Aが無限遠まで飛び去る条件


◆関連問題
人工衛星の力学的エネルギー


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