2021年07月09日

本日配信のメルマガ。2020年センター数学2B第3問

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学2B第3問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第3問

 数列{an}は、初項a1が0であり、n=1,2,3,…のとき次の漸化式を
満たすものとする。

 an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)−(n+1)(n+2)}……{1}

(1) a2=[ア]である。

(2) bn=an/{3^n・(n+1)(n+2)}とおき、数列{bn}の一般項を求めよう。

 {bn}の初項b1は[イ]である。{1}の両辺を3^(n+1)・(n+2)(n+3)で割ると

 bn+1=bn+[ウ]/{(n+[エ])(n+[オ])}−(1/[カ])^(n+1)

を得る。ただし[エ]<[オ]とする。
 したがって

 bn+1−bn=[キ]/(n+[エ])−[キ]/(n+[カ])−(1/[カ])^(n+1)

である。


 nを2以上の自然数とするとき

 Σ[k=1〜n-1]{[キ]/(k+[エ])−[キ]/(k+[オ])}
=(1/[ク]){(n−[ケ])/(n+[コ])}

 Σ[k=1〜n-1](1/[カ])^(k+1)
=[サ]/[シ]−([ス]/[セ])(1/[カ])^n

が成り立つことを利用すると

 bn=(n−[ソ])/{[タ](n+[チ])}+([ス]/[セ])(1/[カ])^n

が得られる。これはn=1のときも成り立つ。


(3) (2)により、{an}の一般項は

 an=[ツ]^(n-[テ])・(n^2−[ト])+{(n+[ナ])(n+[ニ])}/[ヌ]

で与えられる。ただし、[ナ]<[ニ]とする。

 このことから、すべての自然数nについて、anは整数となることがわかる。


(4) kを自然数とする。a3k,a3k+1,a3k+2を3で割った余りはそれぞれ[ネ],
[ノ],[ハ]である。また、{an}の初項から第2020項までの和を3で割った余りは
[ヒ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、数列{an}のn+1項目はan+1、
一般項n^2の初項から第n項までの数列の和はΣ[k=1〜n]k^2、マル1は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
 ◆2 an+1=a2だからn=1

(以下略)

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■ 解説


◆1は省略します。


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 ◆2 an+1=a2だからn=1

では今回の問題です。

まず最初はa2を聞いています。
a2は「第2項目」でしたね。
今回考える式は、

an+1={(n+3)/(n+1)}{3an+3^(n+1)−(n+1)(n+2)}

これなので、an+1=a2すなわち、n+1=2よりn=1の場合を考えます。

n=1を代入すると、

a2=(1+3)/(1+1){3a1+3^(1+1)−(1+1)(1+2)}

さらに、問題にa1=0とあるので、3a1=0だから消去して整理すると・・・


(以下略)


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ラベル:数学
posted by えま at 17:00| Comment(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校化学(用語)「セッケン」

高校化学(用語)「セッケン」

★セッケン(soap)

・高級脂肪酸の塩からなる界面活性剤で、疎水性のアルキル基と親水性の−COONaなどをもつ。
・界面活性作用があり、水中では油分を包み込みコロイド状のミセルを形成し、汚れを洗い流しやすくする。
・セッケンの水溶液は塩基性になる。RCOO+H2O↔RCOOH+OH
・Mg2+やCa2+などを多く含む硬水中では、難溶性の塩を生じ、洗浄力が低下する。2RCOO+Ca2+→(RCOO)Ca


合成洗剤も基本的に同様の構造を持っていますが、硬水中でも洗浄力失わないために、水溶液が中性になるなどの工夫が見られます。


セッケンと言えばやっぱりコレですね!



◆関連項目
エステル
脂肪族炭化水素


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posted by えま at 12:00| Comment(0) | 高校化学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

高校物理「単振動」2つの物体が接触しているときB

高校物理「単振動」2つの物体が接触しているときB

◆問題

水平でなめらかな床に対して垂直な壁が設置されている。ばね定数kのばねの一端をこの壁に固定し、他端に質量Mの物体Aをつけ、なめらかな床の上を運動させることを考える。
このばねを自然長からaだけ縮め、質量mの物体Bを物体Aと接触させて置き、手で押さえて静止させる。時刻t=0で静かに手を離すとき、次の問いに答えよ。

(1) 手を離すとまず物体Aと物体Bは一体となった動き、ある瞬間から物体Bは離れて床の上を滑っていった。このときの、ばねの伸びを求めよ。

(2) 物体Aと物体Bが離れる時刻を求めよ。

(3) (2)の後、物体Bの速度を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


★★ お知らせ ★★

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従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

床がなめらかなので、(2)の時刻以降は、物体Bは等速直線運動をします。
そして、摩擦力がないので、力学的エネルギーは保存します。

ということで、最初の状態の弾性力による位置エネルギーが自然長での運動エネルギーと一致すると考えることができます。

最初の状態の位置エネルギーはU=(1/2)kx^2なので、この問題の場合は、

U=(1/2)ka^2

です。

自然長の位置までは物体Aと物体Bは一体となって動くので、物体の質量は(M+m)です。
求める速度をvとすると、

K=(1/2)(M+m)v^2

です。
これらが等しいので、

(1/2)(M+m)v^2=(1/2)ka^2

両辺を2倍して、

(M+m)v^2=ka^2

さらに、vについて解くと、

v^2=ka^2/(M+m)
 v=√{ka^2/(M+m)}
  =a√{k/(M+m)}


◆関連項目
ばね定数kの鉛直ばね振り子
単振動まとめ


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