【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年センター試験数2Bより
第5問
1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さをαとする。
(1) 1辺の長さが1の正五角形OA1B1C1A2を考える。
(図はここでは省略します)
∠A1C1B1=[アイ]°,∠C1A1A2=[アイ]°となることから、→A1A2と
→B1C1は平行である。ゆえに
→A1A2=[ウ]・→B1C1
であるから
→B1C1=(1/[ウ])・→A1A2=(1/[ウ])(→OA2−→OA1)
また、→OA1と→A2B1は平行で、さらに、→OA2と→A1C1も平行である
ことから
→B1C1=→B1A2+→A2O+→OA1+→A1C1
=−[ウ]・→OA1−→OA2+→OA1+[ウ]・→OA2
=([エ]−[オ])(→OA2−→OA1)
となる。したがって
1/[ウ]=[エ]−[オ]
が成り立つ。a>0に注意してこれを解くと、a=(1+√5)/2を得る。
(2) 下の図のような、1辺の長さが1の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。
(図はここでは省略します)
面OA1B1C1A2に着目する。→OA1と→A2B1が平行であることから
→OB1=→OA2+→A2B1=→OA2+[ウ]・→OA1
である。また
|→OA2−→OA1|^2=|→A1A2|^2=([カ]+√[キ])/[ク]
に注意すると
→OA1・→OA2=([ケ]−√[コ])/[サ]
を得る。
(図はここでは省略します)
次に、面OA2B2C2A3に着目すると
→OB2=→OA3+[ウ]・→OA2
である。さらに
→OA2・→OA3=→OA3・→OA1=([ケ]−√[コ])/[サ]
が成り立つことがわかる。ゆえに
→OA1・→OB2=[シ],→OB1・→OB2=[ス]
である。
[シ],[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 0 {1} 1 {2} −1 {3] (1+√5)/2 |
| {4} (1−√5)/2 {5} (−1+√5)/2 {6} (−1−√5)/2 |
| {7} −1/2 {8} (−1+√5)/4 {9} (−1−√5)/4 |
――――――――――――――――――――――――――――――――――
(図はここでは省略します)
最後に、面A2C1DEB2に着目する。
→B2D=[ウ]・→A2C1=→OB1
であることに注意すると、4点O,B1,D,B2は同一平面上にあり、
四角形OB1DB2は[セ]ことがわかる。
[セ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 正方形である |
| {1} 正方形ではないが、長方形である |
| {2} 正方形ではないが、ひし形である |
| {3} 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である |
| {4} 平行四辺形ではないが、台形である |
| {5} 台形でない |
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 ベクトルの成分と大きさ
◆2 ベクトルの四則計算
◆3 △A1C1B1は二等辺三角形
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
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◆3 △A1C1B1は二等辺三角形
前置きはこの辺にして、今回の問題です。
共通テスト第5問では、まず「1辺の長さが1の正五角形OA1B1C1A2」を
考えます。
(図はここでは省略します)
正五角形なので、もちろん、5つの辺の長さが等しく、5つの角の大きさが等しい
ですね。
n角形の内角の和は、(n−2)×180°なので、五角形なら
(5−2)×180°=3×180°=540°
だから一つの内角は、540°÷5=108°
となります。例えば、∠A1B1C1=108°ですね。
△A1C1B1に注目すると辺A1B1と辺B1C1は正五角形の辺だから等しく、
(以下略)
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ラベル:数学