2021年11月02日

高校物理「交流電流」電気振動@

高校物理「交流電流」電気振動@

自己インダクタンス5.0Hのコイル、30Vで充電された2.0×10^(-7)Fのコンデンサー、スイッチを直列に接続した。はじめスイッチは開いていて、スイッチを閉じると電気振動がおこる。このとき次の問いに答えよ。

(1) 電気振動の周波数は何Hzか求めよ。


解答解説はこのページ下


共通テスト・センター過去問



問題文にもあるように、充電したコンデンサーとコイルを直列に接続した回路でスイッチを閉じると、回路には振動電流が流れ、この現象を電気振動といいます。
電気振動の周波数を固有周波数または固有振動数といい、固有周波数f0は、コイルの自己インダクタンスをL,コンデンサーの電気容量をCとして、次の式で表されます。

f0=1/2π√(LC)

今回の問題では、L=5.0,C=2.0×10^(-7)なので、

f0=1/2π×√{5.0×2.0×10^(-7)}
 =1/2π×√{10^(-6)}
 =(1/2π)×10^3
 =1.59…×10^2

有効数字を2桁とすれば、1.6×10^2[Hz]


次の問題→振動電流の最大値


◆関連項目
RLC直列回路コンデンサー
電気・磁気まとめ


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本日配信のメルマガ。2020年センター数学1A第2問[1]

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■ 問題

2020年大学入試センター試験数1Aより

第2問

[1] △ABCにおいて、BC=2√2とする。∠ACBの二等分線と辺ABの
交点をDとし、CD=√2,cos∠BCD=3/4とする。このとき、
BD=[ア]であり

 sin∠ADC=√[イウ]/[エ]

である。AC/AD=√[オ]であるから

 AD=[カ]

である。また、△ABCの外接円の半径は[キ]√[ク]/[ケ]である。


※分数は(分子)/(分母)、マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 三角比は直角三角形の辺の比
 ◆2 相互関係は三平方の定理や三角比の定義からわかる
 ◆3 正弦定理は角と対辺、余弦定理と面積は2辺とその挟む角
 ◆4 2辺と挟む角だから余弦定理

(以下略)

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■ 解説


◆1〜3は省略します。


 ◆4 2辺と挟む角だから余弦定理

前置きはこのくらいにして、今回の問題です。

「△ABCにおいて、BC=2√2とする。∠ACBの二等分線と辺ABの
交点をDとし、CD=√2,cos∠BCD=3/4とする」

という条件で、BDを求めます。

△BCDに注目すると、BC=2√2,CD=√2,cos∠BCD=3/4が
わかっているから、今◆3で解説した「2辺とその挟む角」がわかっているときに
当てはまることがわかると思います。

つまり、余弦定理を使えば、BDを求めることができそうです。
やってみましょう!

BD^2=BC^2+CD^2−2・BC・CD・cos∠BCD


つづく


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ラベル:数学
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高校数学「極限」「三角関数」lim[x→0]{(1−cosx)/x^2}

高校数学「極限」「三角関数」lim[x→0]{(1−cosx)/x}

■ 問題

lim[x→0]{(1−cosx)/x}の極限を調べよ。


三角関数の極限を求めるときは、lim[x→0](sinx/x)=1を使えるようにします。


解答解説はこのページ下です。


数学3はまずは、教科書+基本問題集で練習するとよいです。
たとえばこんなのがおすすめです。



■ 解答解説

コサインの極限は、そのままx=0を入れてしまって大丈夫な場合もありますが、今回の問題では0/0になってしまうので、不適です。

やはり、「lim[x→0](sinx/x)=1」が使えるようにしなければならない。と考えます。

lim[x→0]{(1−cosx)/x}

この式を変形してサインが出てくるようにするには、三角関数の相互関係より「1−(cosx)^2=(sinx)^2」が使えるようにすればOKですね!
そのためには(1+cosx)をかけます。
もちろん、単に(1+cosx)をかけるのではなく、式の値が変わらないようにするために(1+cosx)/(1+cosx)をかけます。

 (1−cosx)/x
={(1−cosx)/x}・(1+cosx)/(1+cosx)
={(1−cosx)/x}・1/(1+cosx)
=(sinx/x)・1/(1+cosx)

このように変形できます。だから、

lim[x→0]{(1−cosx)/x}=lim[x→0](sinx/x)・1/(1+cosx)

ですね。

lim[x→0](sinx/x)=1,lim[x→0]cosx=1だから、極限値は1・1/2=1/2


関連項目
サインの極限
コサインの極限


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