2021年11月26日

本日配信のメルマガ。2020年センター数学2B第4問

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学2B第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2020年センター試験数2Bより

第4問

 点Oを原点とする座標空間に2点

  A(3,3,−6),B(2+2√3,2−2√3,−4)

をとる。3点O,A,Bの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Cは

  →OA⊥→OC,→OB・→OC=24  ……{1}

を満たすとする。

(1) |→OA|=[ア]√[イ],|→OB|=[ウ]√[エ]であり、
→OA・→OB=[オカ]である。


(2) 点Cは平面α上にあるので、実数s,tを用いて、
→OC=s・→OA+t・→OBと表すことができる。
このとき、{1}からs=[キク]/[ケ],t=[コ]である。
したがって、|→OC|=[サ]√[シ]である。


(3) →CB=([ス],[セ],[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形OABCは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。

{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない

→OA⊥→OCであるので、四角形OABCの面積は[ツテ]である。


(4) →OA⊥→OD,→OC・→OD=2√6かつz座標が1であるような点Dの
座標は

  ([ト]+√[ナ]/[ニ],[ヌ]−√[ネ]/[ノ],1)である。
このとき∠COD=[ハヒ]°である。

 3点O,C,Dの定める平面をβとする。αとβは垂直であるので、
三角形ABCを底面とする四面体DABCの高さは√[フ]である。したがって、
四面体DABCの体積は[ヘ]√[ホ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル1は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの足し算とかけ算
 ◆3 絶対値は三平方の定理

(以下略)

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■ 解説


◆1,2は省略します。


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 ◆3 絶対値は三平方の定理

では今回の問題です。

まず最初は、→OAと→OBの絶対値を求める問題となっています。

ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆1でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。

→OA=(3,3,−6)なので、

|→OA|=√{3^2+3^2+(−6)^2}
    =√(9+9+36)
    =√54
    =3√6

→OBも同様に、→OB=(2+2√3,2−2√3,−4)なので、


(以下略)


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ラベル:数学
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高校数学「積分」「置換積分法」∫{(3x+2)^5}dxの積分

高校数学「積分」「置換積分法」∫(3x+2)5dxの積分

■ 問題

∫(3x+2)5dxの不定積分を求めよ。


5乗の展開をして積分することもできなくはないですが、それはとても面倒なので、置換積分法を使うとよいです。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

カッコの中身を例えばtとおきます。
3x+2=tとすると、

(与式)=∫t5dx

ですね。
tについての式になったので、dxをdtにする必要があります。

3x+2=tよりdt/dx=(3x+2)'=3
さらにこれを変形して、dt=3dxよりdx=(1/3)dt

つまり与式は∫t5・(1/3)dtと書き換えることができます。
これを普通に積分すると、

 ∫t5・(1/3)dt
=(1/3)・(1/6)・t6+C

あとはtを元に戻して計算します。

=(1/18)(3x+2)6+C


◆関連項目
置換積分法
微分積分(数学3)まとめ


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こんなヤツです
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