2021年12月31日

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題B

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題B

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) g(x)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(3) f(x)・g(x)をサインのみを使ってできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(3)を解説します。


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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。浪人生や社会人の再受験も基礎から丁寧に指導します!
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

(1)よりf(x)=√3・sin(5/4)x
(2)よりg(x)=cos(5/4)x

であることがわかりました。

今回はこれらの積を求めます。
もちろん

f(x)・g(x)=√3・sin(5/4)x・cos(5/4)x

ですが、これをサインだけで表すことを考えます。

角度の部分は同じで、サインとコサインがかけてあるので・・・

サインの2倍角の公式を使うことができます。

sin2α=2sinαcosα

ですね。
これを使えるように式を変形してみます。

 √3・sin(5/4)x・cos(5/4)x
=(√3/2)・2sin(5/4)x・cos(5/4)x

こうすれば係数に2が出てきたので、2倍角の公式を使うことができます。

=(√3/2)・sin(2・5/4)x
=(√3/2)sin(5/2)x

これでサインのみを使ってf(x)・g(x)を表すことができました。


この問題の最初に戻る→(1) f(x)をサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学1A第4問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学1A第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題

2021年共通テスト第1日程数1Aより

第4問

 円周上に15個の点P0,P1,…,P14が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点P0に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の
点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動させる。この
操作を繰り返す。例えば、石が点P5にあるとき、さいころを投げて6の目が出たら
石を点P10に移動させる。次に、5の目が出たら点P10にある石を点P7に移動
させる。

(1) さいころを5回投げて、偶数の目が[ア]回、奇数の目が[イ]回出れば、点P0に
ある石を点P1に移動させることができる。このとき、x=[ア],y=[イ]は、
不定方程式5x−3y=1の整数解になっている。


(2) 不定方程式

  5x−3y=8 ……{1}

のすべての整数解x,yは、kを整数として

  x=[ア]×8+[ウ]k,y=[イ]×8+[エ]k

と表される。{1}の整数解x,yの中で、0≦y<[エ]を満たすものは

  x=[オ],y=[カ]

である。したがって、さいころを[キ]回投げて、偶数の目が[オ]回、奇数の目が
[カ]回出れば、点P0にある石を点P8に移動させることができる。


(3) (2)において、サイコロを[キ]回より少ない回数だけ投げて、点P0にある石を
点P8に移動させることはできないだろうか。

  (*) 石を反時計回りまたは時計回りに15個先の点に移動させると元の点に
戻る。

 (*)に注意すると、偶数の目が[ク]回、奇数の目が[ケ]回出れば、さいころを
投げる回数が[コ]回出、点P0にある石を点P8に移動させることができる。
このとき[コ]<[キ]である。


(4) 点P1,P2,…,P14のうちから点を一つ選び、点P0にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる
最小回数を考える。例えば、さいころを1回だけ投げて点P0にある石を点P2に
へ移動させることはできないが、サイコロを2回投げて偶数の目と奇数の目が1回
ずつ出れば、点P0にある石を点P2へ移動させることができる。したがって、点P2
を選んだ場合はこの最小回数は2回である。
 点P1,P2,…,P14のうち、この最小回数が最も大きいのは点[サ]であり、
その最小回数は[シ]回である。

 [サ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――
|{0} P10  {1} P11  {2} P12  {3} P13  P14 |
――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 不定方程式は「特殊解→一般解」
 ◆2 10進んで9戻れば1進む

(以下略)

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■ 解説

◆1は省略します。


 ◆2 10進んで9戻れば1進む

さてそれでは、今回の問題の内容を確認してみましょう!

「円周上に15個の点P0,P1,…,P14が反時計回りに順に並んでいる」
「最初、点P0に石がある」
「さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに5個先の点に移動」
「奇数の目が出たら石を時計回りに3個先の点に移動」

というルールで石を動かしていくようです。

これを踏まえて最初の設問です。

「さいころを5回投げて」「P0にある石をP1に移動させる」場合について考え
ます。

P1に移動するのは、つまりは、「トータルで1進む」ことを意味しますね。

偶数が出たら反時計回りに5進み、奇数が出たら時計回りに3進むのだから、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題A

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題A

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) g(x)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(2)を解説します。


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■ 解答解説

θ−π/2の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

だから、

 −sin{(5/4)x−π/2}
=−{sin(5/4)x・cos(π/2)−cos(5/4)x・sin(π/2)}
=cos(5/4)x


次の問題→f(x)・g(x)をサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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2021年12月30日

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題@

高校数学「三角関数」2つの三角関数を組み合わせる問題@

■ 問題

f(x)=√3・cos{(5/4)x−π/2},g(x)=−sin{(5/4)x−π/2}について、次の問いに答えよ。

(1) f(x)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


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■ 解答解説

θ−π/2の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ

だから、

 √3・cos{(5/4)x−π/2}
=√3{cos(5/4)x・cos(π/2)+sin(5/4)x・sin(π/2)}
=√3・sin(5/4)x


次の問題→g(x)をコサインで表す


↓三角関数の解き方の練習に活用してください。↓



三角関数まとめ


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中学英語「未来」She will take...

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この「寝ちゃう人英文法」は、手軽にちゃんと意味までわかる英文法問題集を!
というコンセプトの本です。

英語の勉強をするためには、文法の法則を理解するだけでなく、語句や文章の
意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑) 睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
指示に従って書き換えてください。

50 She will take the exam next month. (next monthをlast weekに)


[words]
take the exam:試験を受ける next month:来月


見開き2ページで1単元としています。
1ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ!

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[point]
未来の内容を表すには、willやbe going toを使います。
will・・・未来、意思を表す助動詞。「〜でしょう」「〜するつもり」
be going to・・・予定を表す熟語。「〜する予定だ」


[Answer]
50 She took the exam last week. ※過去形にする
  「彼女はその試験を先週受けました」


2ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで2ページで1セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
これで「めんどくさいと寝ちゃう人」でも、やり切ることができるはずです!


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今回の問題は、

「めんどくさいと寝ちゃう人のためのやりなおし中学英文法問題集」
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22ページに掲載されています。
新課程で中学英語に導入された、現在完了進行形や仮定法のページもあります。
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    発行者:AE個別学習室代表/プロ家庭教師/翻訳者の江間淳
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ラベル:英語
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2021年12月29日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト英語第2問A

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程英語第2問Aを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2021年大学入試共通テスト第1日程英語第2問Aより

第2問

A As the student in charge of a UK school festival band competition,
you are examining all of the scores and the comments from judges to
understand and explain the rankings.

――――――――――――――――――――――――――――――――
|         Judges' final average scores         |
|―――――――――――――――――――――――――――――――|
| \Qualities|Performance|Singing|Song originality|Total |
|Band names  |  (5.0)  | (5.0) |   (5.0)   |(15.0) |
|―――――――――――――――――――――――――――――――|
|Green Forest |  3.9  | 4.6 |    5.0   | 13.5 |
|Silent Hill |  4.9  | 4.4 |    4.2   | 13.5 |
|Mountain Pear|  3.9  | 4.9 |    4.7   | 13.5 |
|Thousand Ants|(did not perform)               |
――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Judges' individual comments                     |
|――――――――――――――――――――――――――――――――――|
|Mr Hobbs|Silent Hill are great performers and they really seemed |
|    |connected with the audience. Mountain Pear's singing was |
|    |great. I loved Green Forest's original song. It was    |
|    |amazing!                         |
|――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Ms Leigh|Silent Hill have a great performance. It was incredible |
|    |how the audience responded to their music. I really think |
|    |that Silent Hill will become popular! Mountain Pear have |
|    |great voices, but they were not exciting on stage. Green |
|    |Forest performed a fantastic new song, but I think they  |
|    |need to practice more.                  |
|――――――――――――――――――――――――――――――――――
|Ms Wells|Green Forest have a new song. I loved it! I think it    |
|    |could be a big hit!                    |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|    Judges' shared evaluation(summarised by Mr Hobbs)      |
|――――――――――――――――――――――――――――――――――
| Each band's total score is the same, but each band is very     |
|different. Ms Leigh and I agreed that performance is the most    |
|important quality for a band. Ms Wells also agreed. Therefore,    |
|first place is easily determined.                  |
| To decide between second and third places, Ms Wells suggested   |
|that song originality should be more important than good singing.  |
|Ms Leigh and I agreed to this opinion.               |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

問1 Based on the judges' final average scores, which band sang the
best? [ 6 ]
{1} Green Forest
{2} Mountain Pear
{3} Silent Hill
{4} Thousand Ants

問2 Which judge gave both positive and critical comments? [ 7 ]
{1} Mr Hobbs
{2} Ms Leigh
{3} Ms Wells
{4} None of them

問3 One [fact] from the judge's individual comments is that [ 8 ].
{1} all the judges praised Green Forest's song
{2} Green Forest need to practice more
{3} Mountain Pear can sing very well
{4} Silent Hill have a promising future

問4 One [opinion] from the judges' comments and shared evaluation is
that [ 9 ].
{1} each evaluated band received the same total score
{2} Ms Wells' suggestion about originality was agreed on
{3} Silent Hill really connected with the audience
{4} the judges' comments determined the rankings

問5 Which of the following is the final ranking based on the judges'
shared evaluation? [ 10 ]

    1st       2nd      3rd
――――――――――――――――――――――――
{1} Green Forest  Mountain Pear  Silent Hill
{2} Green Forest  Silent Hill  Mountain Pear
{3} Mountain Pear  Green Forest  Silent Hill
{4} Mountain Pear  Silent Hill  Green Forest
{5} Silent Hill  Green Forest  Mountain Pear
{6} Silent Hill  Mountain Pear  Green Forest


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

A As the student / in charge of / a UK school festival band competition,
/ you are examining / all of / the scores / and the comments / from judges
/ to understand and explain / the rankings.
学生として / 〜を担当する / UK学園祭バンドコンテスト
/ あなたは調べている / 全ての / スコア / そしてコメントを / 審査員からの
/ 理解し説明するため / ランキングを


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

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解説の続きは、本日21時配信予定の

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2021年12月28日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学2B第4問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト数学2B第4問を解説します。


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■ 問題

2021年大学入試共通テスト第1日程数学2Bより

第4問

 初項3,公差pの等差数列を{an}とし、初項3,公比rの等比数列を{bn}と
する。ただし、p≠0かつr≠0とする。さらに、これらの数列が次を満たすと
する。

  an・bn+1−2an+1・bn+3bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{1}

(1) pとrの値を求めよう。自然数nについて、an,an+1,bnはそれぞれ

  an=[ア]+(n−1)p ……{2}
  an+1=[ア]+np ……{3}
  bn=[イ]r^(n-1)

と表される。r≠0により、すべての自然数nについて、bn≠0となる。
bn+1/bn=rであることから、{1}の両辺をbnで割ることにより

  [ウ]an+1=r(an+[エ]) ……{4}

が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると

  (r−[オ])pn=r(p−[カ])+[キ] ……{5}

となる。{5}がすべてのnで成り立つことおよびp≠0により、r=[オ]を得る。
さらに、このことから、p=[ク]を得る。
 以上から、すべての自然数nについて、anとbnが正であることがわかる。


(2) p=[ク],r=[オ]であることから、{an},{bn}の初項から第n項までの
和は、それぞれ次の式で与えられる。

  Σ[k=1〜n]ak=([ケ]/[コ])n(n+[サ])

  Σ[k=1〜n]bk=[シ]([オ]^n−[ス])


(3) 数列{an}に対して、初項3の数列{cn}が次を満たすとする。

  an・cn+1−4an+1・cn+3cn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{6}

 anが正であることから、{6}を変形して、cn+1={([セ]an+1)/(an+[ソ])}cn
を得る。

さらに、p=[ク]であることから、数列{cn}は[タ]ことがわかる。

[タ]の解答群
――――――――――――――――――――
|{0} すべての項が同じ値をとる数列である|
|{1} 公差が0でない等差数列である   |
|{2} 公比が1より大きい等比数列である |
|{3} 公比が1より小さい等比数列である |
|{4} 等差数列でも等比数列でもない   |
――――――――――――――――――――

(4) q,uは定数で、q≠0とする。数列{bn}に対して、初項3の数列{dn}が
次を満たすとする。

  dn・bn+1−q・dn+1・bn+u・bn+1=0 (n=1,2,3,…) ……{7}

 r=[オ]であることから、{7}を変形して、dn+1=([チ]/q)(dn+u)を得る。
したがって、数列{dn}が、公比が0より大きく1より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、q>[ツ]かつu=[テ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 等差数列と等比数列の用語・公式
 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入

(以下略)

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■ 解説


◆1は省略します。


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 ◆2 等差数列だから初項と公差を代入

ここら辺で今回の問題です。

「初項3,公差pの等差数列を{an}」
「初項3,公比rの等比数列を{bn}」

として、まずはanとbnの式を聞いています。

anは等差数列だから、一般項の公式は★an=a+(n−1)dですね。

これにa=3,d=pを代入すると、

an=3+(n−1)p

これで一般項がわかりました。

さらに・・・


(以下略)


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ラベル:数学
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高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光B

高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光B

◆問題

屈折率1.5の平面ガラス板の上下を屈折率n(n<1.5)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) sinθ'を求めよ。

(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。ただし、ガラス板は充分長いものとする。

(3) (2)の条件を満たすsinθの最小値を求めよ。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質 ―――――――――――
   ―――――――――――
ガラス↗↘  ↗↘
  ↗  ↘↗  ↘
   ―――――――――――  
媒質 ―――――――――――


この記事では(3)を解説します。


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

今度はθ'ではなくθで全反射の条件を表す。という設問です。

(1) sinθ'を求めよ。でθとθ'の関係を、(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。でθ'を用いて全反射の条件をそれぞれ表したので、これらを組み合わせればOK!ですね!

(1)よりsinθ'=sinθ/1.5,(2)より臨界角のときcosθ'=n/1.5です。

三角比の相互関係より、

(sinθ')2+(cosθ')2=1だから、

(sinθ/1.5)2+(n/1.5)2=1

まずは両辺に1.52をかけて、

(sinθ)2+n2=1.52

さらに移項して平方根をとれば

(sinθ)2=2.25−n2
 sinθ=√(2.25−n2)

これで全反射するときのsinθの最小値を求められました。


この問題の最初に戻る→(1) sinθ'を求めよ。


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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2021年12月27日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト英語第1問B

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程英語第1問Bを解説します。


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■ 問題

2021年大学入試共通テスト第1日程英語第1問Aより

第1問

B Your favorite musician will have a concert tour in Japan, and you are
thinking of joining the fan club. You visit the official fan club website.

――――――――――――――――――――――――――――――――――――
|TYLER QUICK FAN CLUB                          |
| Being a member of the TYLER QUICK (TQ) fan club is so much fun! You |
|can keep up with the latest news, and take part in many exciting fan  |
|club member events. All new members will receive our New Member's Pack.|
|It contains a membership card, a free signed poster, and a copy of TQ's|
|third album [Speeding Up]. The New Member's Pack will be delivered to |
|your home, and will arrive a week or so after you join the fan club.  |
| TQ is loved all around the world. You can join from any country, and |
|you can use the membership card for one year. The TQ fan club has three|
|types of membership: Pacer, Speeder, and Zoomer.            |
|                                    |
| Please choose from the membership options below.           |
| ―――――――――――――――――――――――――――――――――― |
||                      | Membership Options ||
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|          your membership fee!                |
|◇There is a $4 delivery fee for every New Member's Pack.       |
|◇At the end of your 1st year, you can either renew or upgrade at a 50%|
|  discount.                              |
|Whether you are a Pacer, a Speeder, or a Zoomer, you will love being a |
|member of the TQ fan club. For more information, or to join, click   |
|[here].                                |
――――――――――――――――――――――――――――――――――――


問1 A New Membership's Pack [ 3 ]
{1} includes TQ's first album
{2} is delivered on May 10
{3} requires a $10 delivery fee
{4} takes about seven days to arrive

問2 What will you get if you become a new Pacer member? [ 4 ]
{1} Discount concert tickets and a calendar
{2} Regular emails and signing event invitations
{3} Tour information and postcards every month
{4} Video messages and access to online magazines

問3 After being a fan club member for one year, you can [ 5 ]
{1} become a Zoomer for a $50 fee
{2} get a New Member's Pack for $4
{3} renew your membership at half price
{4} upgrade your membership for free


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

B Your favorite musician / will have / a concert tour
/ in Japan, / and / you are thinking / of joining / the fan club.
あなたの大好きなミュージシャンが / 持つでしょう / コンサートツアーを
/ 日本で / そして / あなたは考えている / 加入することを / そのファンクラブに

You visit / the official fan club website.
あなたは訪れる / その公式ファンクラブのウェブサイトを

――――――――――――――――――――――――――――――――――――
TYLER QUICK FAN CLUB

Being a member / of the TYLER QUICK (TQ) fan club / is so much fun!
会員になることは / TYLER QUICK(TQ)のファンクラブの / とても楽しいです!


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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ラベル:英語
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高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光A

高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光A

◆問題

屈折率1.5の平面ガラス板の上下を屈折率n(n<1.5)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) sinθ'を求めよ。

(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。ただし、ガラス板は充分長いものとする。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質 ―――――――――――
   ―――――――――――
ガラス↗↘  ↗↘
  ↗  ↘↗  ↘
   ―――――――――――  
媒質 ―――――――――――


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

まず「ガラスと媒質の境界面で全反射する」ということは、入射角≧臨界角ですね。
屈折角が90°になるときが臨界角で、入射角はそれ以上になれば全反射がおこる。というわけです。

ここで、ガラスに入射したあとガラスと媒質の境界面で反射するまでの光の通り道を斜辺とする直角三角形を考えると、ガラスと媒質との境界面での入射角は(90°−θ')となります。

ガラスの屈折率は1.5,媒質の屈折率はnだから、屈折の公式より

sin(90°−θ')/sin90°=n/1.5

つまり、sin(90°−θ')=n/1.5です。

これが臨界角の条件を表す式です。
サインの値は90°に近い方が大きくなり、入射角がこれ以上ならば全反射するので、求める条件は

sin(90°−θ)≧n/1.5

これで終わりでも間違いではありませんが、さらに三角比の公式sin(90°−θ)=cosθを使って、

cosθ'≧n/1.5

とするのが模範的です。


次の問題→θを用いた全反射の条件


◆関連項目
屈折全反射
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2021年12月26日

高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光@

高校物理「波動」屈折率nの媒質ではさまれたガラス板に入射する光@

◆問題

屈折率1.5の平面ガラス板の上下を屈折率n(n<1.5)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) sinθ'を求めよ。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質 ―――――――――――
   ―――――――――――
ガラス↗↘  ↗↘
  ↗  ↘↗  ↘
   ―――――――――――  
媒質 ―――――――――――


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◆解説

屈折の公式はsinθ1/sinθ2=n2/n1ですね。

添え字1は境界面の手前側、添え字2は屈折や反射をした後側と考えて式を立てることができます。

つまりこの問題では、sinθ1=sinθ,sinθ2=sinθ',n1=1,n2=1.5です。真空の屈折率は1ですね。
よって、

sinθ/sinθ'=1.5/1

という式が成り立ちます。

sinθ'を求めたいので、あとはこの式をsinθ'について解きます。

1.5sinθ'=sinθ
   sinθ'=sinθ/1.5


次の問題→全反射の条件


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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中学英語「進行形」They looked for...

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英語の勉強をするためには、文法の法則を理解するだけでなく、語句や文章の
意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑) 睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
次の英文を進行形に直してください。

43 They looked for a T-shirt at the shop.


[words]
look for:〜を探す T-shirt:Tシャツ


見開き2ページで1単元としています。
1ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ!

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[point]
進行形は「be動詞+〜ing(現在分詞形)」の形で表します。be動詞が現在形なら「現在進行形」、be動詞が過去形なら「過去進行形」です。


[Answer]
43 They were looking for a T-shirt at the shop. ※過去進行形
  「彼らはその店であるTシャツを探していました」


2ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで2ページで1セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
これで「めんどくさいと寝ちゃう人」でも、やり切ることができるはずです!


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2021年12月25日

本日配信のメルマガ。2021年共通テスト英語第1問A

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程英語第1問Aを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2021年大学入試共通テスト第1日程英語第1問Aより

第1問

A Your dormitory roommate Julie has sent a text message to your mobile
phone with a request.

   ――――――――――――――――――――――――――――――――
   |Help!!                            |
   |Last night I saved my history homework on a USB memory stick. |
   |I was going to print it in the university library this     |
   |afternoon, but I forgot to bring the USB with me. I need to  |
   |give a copy to my teacher by 4 p.m. today. Can you bring my  |
   |USB to the library? I think it's on top of my history book on |
   |my desk. I don't need the book, just the USB.         |
   ――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――
|Sorry Julie, I couldn't find it. The history book was there, but|
|there was no USB memory stick. I looked for it everywhere even |
|under your desk. Are you sure you don't have it with you? I'll |
|bring your laptop computer with me, just in case.        |
―――――――――――――――――――――――――――――――――

    ――――――――――――――――――――――――――――――――
   |You were right! I did have it. It was at the bottom of my bag.|
   |What a relief!                        |
   |Thanks anyway.(^^)                      |
    ――――――――――――――――――――――――――――――――


問1 What was Julie's request? [ 1 ]
 {1} To bring her USB memory stick
 {2} To hand in her history homework
 {3} To lend her a USB memory stick
 {4} To print out her history homework

問2 How will you reply to Julie's second text message? [ 2 ]
 {1} Don't worry. You'll find it.
 {2} I'm really glad to hear that.
 {3} Look in your bag again.
 {4} You must be disappointed.


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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茨城県水戸市、常陸太田市、東海村の個別指導教室
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ご自分でお子さんを指導したい親御さんへの個別セミナーも行います。

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■ スラッシュリーディング

A Your dormitory roommate Julie / has sent / a text message
/ to your mobile phone / with a request.
あなたの寮のルームメイトのJulieは / 送った / テキストメッセージを
/ あなたの携帯電話に / 頼みがあって

―――――――――――――――――――――――――――――――

Help!!
助けて!

Last night / I saved / my history homework / on a USB memory stick.
昨夜 / 私は保存した / 私の歴史の宿題を / USBメモリーに



(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】共通テストの英文解釈
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
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高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

高校数学「三角比」「三角方程式」2sinθ=√3

■ 問題

2sinθ=√3を満たすθの値を求めよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。


まずはsinθについて解きます。


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

三角方程式では三角比を含む式のθの値を求めます。
三角比の項に係数があるときはまずは式を変形して、単純な形にします。

2sinθ=√3
 sinθ=√3/2

sinθの値が√3/2になるときのθの値がこの方程式の解です。

三角比の値を考えるときは単位円を描いて考えると良いです。

sinθ=y/rだから、y=√3,r=2なので、半径2の円を描いて、円周上の点のうちy=√3の場所を考えます。
第1象限と第2象限に1箇所ずつこのような点がありますね。
円周上の点からx軸に垂線を下ろすと、30°60°90°の三角形ができます。
θは第1象限のx軸の部分からの回転した角度を表すので、求める解は、

θ=60°,120°


↓三角比の解き方の練習に活用してください。↓



三角比まとめ


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ラベル:数学
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2021年12月24日

高校英語「使役動詞・知覚動詞」DBackground noise...

高校英語「使役動詞・知覚動詞」DBackground noise...

◆問題
次の英文を正しく並べ替えて、日本語訳してください。

(5) Background noise (music / often / on / people / helps / concentrate).


今回の問題は、主にセンター試験の英文を題材とした、この英文法問題集のP.22に掲載されています。



◆解答・解説

(5) Background noise (often helps people concentrate on music).
「背景の騒音はしばしば、人々が音楽に集中するのを助けます」


「help 人 do」の形で「人がdoするのを助ける」という内容を表します。


江間淳の書籍はこちら
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ラベル:英語
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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学1A第3問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学1A第3問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


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■ 問題

2021年共通テスト第1日程数1Aより

第3問

 中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が1/2である箱Aと、当たりくじを引く確率が1/3
である箱Bの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき

  箱Aにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ア]/[イ] …{1}
  箱Bにおいて、3回中ちょうど1回当たる確率は[ウ]/[エ] …{2}

である。

(ii) まず、AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中
ちょうど1回当たった。このとき、箱Aが選ばれる事象をA、箱Bが選ばれる事象
をB、3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると

  P(A∩W)=(1/2)×([ア]/[イ]),P(B∩W)=(1/2)×([ウ]/[エ])

である。P(W)=P(A∩W)+P(B∩W)であるから、3回中ちょうど1回
当たったとき、選んだ箱がAである条件付き確率PW(A)は[オカ]/[キク]となる。
また、条件付き確率PW(B)は[ケコ]/[サシ]となる。


(2) (1)のPW(A)とPW(B)について、次の[事実](*)が成り立つ。

―事実(*)―――――――――――――――――――――――――――
|Pw(A)とPw(B)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。|
――――――――――――――――――――――――――――――――

[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} 和  {2} 2乗の和  {2} 3乗の和  {3} 比  {4} 積 |
―――――――――――――――――――――――――――――――


(3) 花子さんと太郎さんは[事実](*)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:[事実](*)はなぜ成り立つのかな?               |
|太郎:PW(A)とPW(B)を求めるのに必要なP(A∩W)とP(B∩W)の計算|
|   で、{1],{2}の確率に同じ数1/2をかけているからだよ。    |
|花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数1/3をかける |
|   ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。        |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

 当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱Cの三つの箱の場合を考える。まず、A,B,Cのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを1本引いてはもとに戻す
試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。このとき、選んだ
箱がAである条件付き確率は[セソタ]/[チツテ]となる。


(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で3回中 |
|   ちょうど1回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。|
|太郎:そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、|
|   その大きさを比較することができるね。             |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

 当たりくじを引く確率が、1/2である箱A,1/3である箱B,1/4である
箱C,1/5である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず、A,B,C,Dのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを1本引いて
はもとに戻す試行を3回繰り返したところ、3回中ちょうど1回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。

[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} A,B,C,D  {1} A,B,D,C  {2} A,C,B,D |
|{3} A,C,D,B  {4} A,D,B,C  {5} B,A,C,D |
|{6} B,A,D,C  {7} B,C,A,D  {8} B,C,D,A |
―――――――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 Pは順列、Cは組み合わせ
 ◆2 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら+
 ◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

では今回の問題です。

箱Aと箱Bがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。

まずは「当たりくじを引く確率が1/2である箱A」から3回連続ひいて、
ちょうど1回当たる確率を考えます。

同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。

あたりは3回中1回なので、あたりが何回目に出るか?のパターンは3C1=3通り
あります。
あたりは1/2,ハズレも1/2なので、あたり1回ハズレ2回の確率は、

3C1・(1/2)(1/2)^2=3/8

となります。

箱Bも同様にやると、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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2021年12月23日

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているときB

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているときB

◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を4/3,ガラスの屈折率を3/2として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。

(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、sinθcの値を求めよ。

(3) 水中からガラスへ入射する光の入射角をθ1とする。光がガラスを通過して空気中に出るためのsinθ1の範囲を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

(2)より、ガラスと空気の境界面ではsinθc=2/3です。

このときθ1がいくつになるかを考える。という方針です。

(1)より、水に対するガラスの屈折率は9/8なので、屈折の公式より

sinθ1/sinθc=9/8

これを計算すると、

sinθ1=(9/8)sinθc
    =(9/8)×(2/3)
    =3/4

境界面に対して垂直に近いほど、つまり、入射角が小さいほど光はまっすぐ通過していくので、サインの値はこのときよりも小さいと光は空気中に出て行くと考えられます。
よって、

0≦sinθ1<3/4


この問題の最初に戻る→(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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中学英語「助動詞(疑問文)」We should leave...

中学英語「助動詞(疑問文)」We should leave...


2021年6月発売

「めんどくさいと寝ちゃう人のためのやりなおし中学英文法問題集」
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11/18に更新し、3-4疑問詞+不定詞、9-4原形不定詞を追加しました。

紙の書籍もご利用いただけます!


この「寝ちゃう人英文法」は、手軽にちゃんと意味までわかる英文法問題集を!
というコンセプトの本です。

英語の勉強をするためには、文法の法則を理解するだけでなく、語句や文章の
意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑) 睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
次の英文を疑問文に直してください。

38 We should leave here now.


[words]
should:〜すべき leave:立ち去る
here:ここを


見開き2ページで1単元としています。
1ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ!

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============================= お知らせ ===============================

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[point]
助動詞は動詞の直前に入って、動詞の意味を補う言葉で、動詞は必ず原形になります。助動詞の文の疑問文は、助動詞を主語の前に移動し、文尾に?をつけるだけです。


[Answer]
38 Should we leave here now?
  「私たちは今ここを立ち去るべきですか?」


2ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで2ページで1セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
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高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているときA

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているときA

◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を4/3,ガラスの屈折率を3/2として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。

(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、sinθcの値を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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マンツーマンの授業なので「ゼロからのスタートの人は中学の復習から」「基本ができている人は応用問題の解き方中心に」など、ひとりひとりの状況に合わせて授業を行います。
適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

臨界角とは全反射がおこるギリギリの入射角のことです。

屈折率の公式より

sinθ1/sinθ2=n2/n1

なので、これに適切な値を代入していきます。
入射角はθc,臨界角のときは屈折角が90°です。
ガラスの屈折率は問題文より3/2,空気の屈折率は通常は1です。
よって、

sinθc/sin90°=1/(3/2)

sin90°=1だから、

sinθc=1/(3/2)=2/3


次の問題→ガラスと空気の境界面で全反射が起こらない条件


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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posted by えま at 07:00| Comment(0) | 高校物理 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

2021年12月22日

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき@

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき@

◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を4/3,ガラスの屈折率を3/2として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。


★★ お知らせ ★★

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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

屈折の公式は次のようになっています。

n12=sinθ1/sinθ2=v1/v2=λ1/λ2=n2/n1

媒質1に対する媒質2の屈折率はこのように、サインでも、速さでも、波長でも、それぞれの屈折率からでも求めることができます。
屈折率を使う場合だけは添え字の1,2が逆になっていることに注意してください。

この問題では、水に対するガラスの屈折率を聞いているので、n1は水の屈折率で3/4,n2はガラスの屈折率で3/2です。

n12=n2/n1だから、

n12=(3/2)/(4/3)
  =(3/2)×(3/4)
  =9/8


次の問題→(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、sinθcの値を求めよ。


◆関連項目
屈折全反射
波動まとめ


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