高校数学「三角関数」２つの三角関数を組み合わせる問題�B

高校数学「三角関数」２つの三角関数を組み合わせる問題�B

■　問題

ｆ(ｘ)＝√３・ｃｏｓ{(５／４)ｘ−π／２}，ｇ(ｘ)＝−ｓｉｎ{(５／４)ｘ−π／２}について、次の問いに答えよ。

(1) ｆ(ｘ)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) ｇ(ｘ)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(3) ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)をサインのみを使ってできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(3)を解説します。


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■　解答解説

(1)よりｆ(ｘ)＝√３・ｓｉｎ(５／４)ｘ
(2)よりｇ(ｘ)＝ｃｏｓ(５／４)ｘ

であることがわかりました。

今回はこれらの積を求めます。
もちろん

ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)＝√３・ｓｉｎ(５／４)ｘ・ｃｏｓ(５／４)ｘ

ですが、これをサインだけで表すことを考えます。

角度の部分は同じで、サインとコサインがかけてあるので・・・

サインの２倍角の公式を使うことができます。

ｓｉｎ２α＝２ｓｉｎαｃｏｓα

ですね。
これを使えるように式を変形してみます。

　√３・ｓｉｎ(５／４)ｘ・ｃｏｓ(５／４)ｘ
＝(√３／２)・２ｓｉｎ(５／４)ｘ・ｃｏｓ(５／４)ｘ

こうすれば係数に２が出てきたので、２倍角の公式を使うことができます。

＝(√３／２)・ｓｉｎ(２・５／４)ｘ
＝(√３／２)ｓｉｎ(５／２)ｘ

これでサインのみを使ってｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)を表すことができました。


この問題の最初に戻る→(1) ｆ(ｘ)をサインで表す


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■　問題

2021年共通テスト第１日程数１Ａより

第４問

　円周上に15個の点Ｐ0，Ｐ1，…，Ｐ14が反時計回りに順に並んでいる。最初、
点Ｐ0に石がある。さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに５個先の
点に移動させ、奇数の目が出たら石を時計回りに３個先の点に移動させる。この
操作を繰り返す。例えば、石が点Ｐ5にあるとき、さいころを投げて６の目が出たら
石を点Ｐ10に移動させる。次に、５の目が出たら点Ｐ10にある石を点Ｐ7に移動
させる。

(1) さいころを５回投げて、偶数の目が[ア]回、奇数の目が[イ]回出れば、点Ｐ0に
ある石を点Ｐ1に移動させることができる。このとき、ｘ＝[ア]，ｙ＝[イ]は、
不定方程式５ｘ−３ｙ＝１の整数解になっている。


(2) 不定方程式

　　５ｘ−３ｙ＝８　……{1}

のすべての整数解ｘ，ｙは、ｋを整数として

　　ｘ＝[ア]×８＋[ウ]ｋ，ｙ＝[イ]×８＋[エ]ｋ

と表される。{1}の整数解ｘ，ｙの中で、０≦ｙ＜[エ]を満たすものは

　　ｘ＝[オ]，ｙ＝[カ]

である。したがって、さいころを[キ]回投げて、偶数の目が[オ]回、奇数の目が
[カ]回出れば、点Ｐ0にある石を点Ｐ8に移動させることができる。


(3) (2)において、サイコロを[キ]回より少ない回数だけ投げて、点Ｐ0にある石を
点Ｐ8に移動させることはできないだろうか。

　　(＊) 石を反時計回りまたは時計回りに１５個先の点に移動させると元の点に
戻る。

　(＊)に注意すると、偶数の目が[ク]回、奇数の目が[ケ]回出れば、さいころを
投げる回数が[コ]回出、点Ｐ0にある石を点Ｐ8に移動させることができる。
このとき[コ]＜[キ]である。


(4) 点Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐ14のうちから点を一つ選び、点Ｐ0にある石をさいころを
何回か投げてその点に移動させる。そのために必要となる、さいころを投げる
最小回数を考える。例えば、さいころを１回だけ投げて点Ｐ0にある石を点Ｐ2に
へ移動させることはできないが、サイコロを２回投げて偶数の目と奇数の目が１回
ずつ出れば、点Ｐ0にある石を点Ｐ2へ移動させることができる。したがって、点Ｐ2
を選んだ場合はこの最小回数は２回である。
　点Ｐ1，Ｐ2，…，Ｐ14のうち、この最小回数が最も大きいのは点[サ]であり、
その最小回数は[シ]回である。

　[サ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} Ｐ10　　{1} Ｐ11　　{2} Ｐ12　　{3} Ｐ13　　Ｐ14　｜
――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　不定方程式は「特殊解→一般解」
　◆２　１０進んで９戻れば１進む

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　１０進んで９戻れば１進む

さてそれでは、今回の問題の内容を確認してみましょう！

「円周上に15個の点Ｐ0，Ｐ1，…，Ｐ14が反時計回りに順に並んでいる」
「最初、点Ｐ0に石がある」
「さいころを投げて偶数の目が出たら石を反時計回りに５個先の点に移動」
「奇数の目が出たら石を時計回りに３個先の点に移動」

というルールで石を動かしていくようです。

これを踏まえて最初の設問です。

「さいころを５回投げて」「Ｐ0にある石をＰ1に移動させる」場合について考え
ます。

Ｐ1に移動するのは、つまりは、「トータルで１進む」ことを意味しますね。

偶数が出たら反時計回りに５進み、奇数が出たら時計回りに３進むのだから、


つづく


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高校数学「三角関数」２つの三角関数を組み合わせる問題�A

高校数学「三角関数」２つの三角関数を組み合わせる問題�A

■　問題

ｆ(ｘ)＝√３・ｃｏｓ{(５／４)ｘ−π／２}，ｇ(ｘ)＝−ｓｉｎ{(５／４)ｘ−π／２}について、次の問いに答えよ。

(1) ｆ(ｘ)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。

(2) ｇ(ｘ)をコサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


この記事では(2)を解説します。


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■　解答解説

θ−π／２の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

ｓｉｎ(α±β)＝ｓｉｎαｃｏｓβ±ｃｏｓαｓｉｎβ

だから、

　−ｓｉｎ{(５／４)ｘ−π／２}
＝−{ｓｉｎ(５／４)ｘ・ｃｏｓ(π／２)−ｃｏｓ(５／４)ｘ・ｓｉｎ(π／２)}
＝ｃｏｓ(５／４)ｘ


次の問題→ｆ(ｘ)・ｇ(ｘ)をサインで表す


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高校数学「三角関数」２つの三角関数を組み合わせる問題�@

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■　問題

ｆ(ｘ)＝√３・ｃｏｓ{(５／４)ｘ−π／２}，ｇ(ｘ)＝−ｓｉｎ{(５／４)ｘ−π／２}について、次の問いに答えよ。

(1) ｆ(ｘ)をサインを用いてできるだけ簡単な形で表せ。


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■　解答解説

θ−π／２の公式を使えば一発ですが、加法定理でも解決できます。
加法定理に慣れておけば、いくつかの公式は覚える必要がなくなるので便利です。

ｃｏｓ(α±β)＝ｃｏｓαｃｏｓβ∓ｓｉｎαｓｉｎβ

だから、

　√３・ｃｏｓ{(５／４)ｘ−π／２}
＝√３{ｃｏｓ(５／４)ｘ・ｃｏｓ(π／２)＋ｓｉｎ(５／４)ｘ・ｓｉｎ(π／２)}
＝√３・ｓｉｎ(５／４)ｘ


次の問題→ｇ(ｘ)をコサインで表す


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中学英語「未来」She will take...

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11/18に更新し、3-4疑問詞＋不定詞、9-4原形不定詞を追加しました。

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この「寝ちゃう人英文法」は、手軽にちゃんと意味までわかる英文法問題集を！
というコンセプトの本です。

英語の勉強をするためには、文法の法則を理解するだけでなく、語句や文章の
意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑)　睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
指示に従って書き換えてください。

50　She will take the exam next month. (next monthをlast weekに)


[words]
take the exam：試験を受ける next month：来月


見開き２ページで１単元としています。
１ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ！

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[point]
未来の内容を表すには、willやbe going toを使います。
will・・・未来、意思を表す助動詞。「〜でしょう」「〜するつもり」
be going to・・・予定を表す熟語。「〜する予定だ」


[Answer]
50　She took the exam last week. ※過去形にする
　　「彼女はその試験を先週受けました」


２ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで２ページで１セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
これで「めんどくさいと寝ちゃう人」でも、やり切ることができるはずです！


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今回の問題は、

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22ページに掲載されています。
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■　問題

2021年大学入試共通テスト第１日程英語第２問Ａより

第２問

Ａ　As the student in charge of a UK school festival band competition,
you are examining all of the scores and the comments from judges to
understand and explain the rankings.

――――――――――――――――――――――――――――――――
｜　　　 　　　　　Judges' final average scores　　　　　　　　 ｜
｜―――――――――――――――――――――――――――――――｜
｜　＼Qualities｜Performance｜Singing｜Song originality｜Total ｜
｜Band names 　｜ 　(5.0) 　｜ (5.0) ｜　　　(5.0) 　　｜(15.0) ｜
｜―――――――――――――――――――――――――――――――｜
｜Green Forest ｜　　3.9　　｜　4.6　｜　　　 5.0　　　｜ 13.5 ｜
｜Silent Hill　｜　　4.9　　｜　4.4　｜　　　 4.2　　　｜ 13.5 ｜
｜Mountain Pear｜　　3.9　　｜　4.9　｜　　　 4.7　　　｜ 13.5 ｜
｜Thousand Ants｜(did not perform)　　　　　　　　　　　　　　 ｜
――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜Judges' individual comments　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜――――――――――――――――――――――――――――――――――｜
｜Mr Hobbs｜Silent Hill are great performers and they really seemed ｜
｜　　　　｜connected with the audience. Mountain Pear's singing was ｜
｜　　　　｜great. I loved Green Forest's original song. It was 　　 ｜
｜　　　　｜amazing!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜Ms Leigh｜Silent Hill have a great performance. It was incredible ｜
｜　　　　｜how the audience responded to their music. I really think ｜
｜　　　　｜that Silent Hill will become popular! Mountain Pear have ｜
｜　　　　｜great voices, but they were not exciting on stage. Green ｜
｜　　　　｜Forest performed a fantastic new song, but I think they 　｜
｜　　　　｜need to practice more.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜Ms Wells｜Green Forest have a new song. I loved it! I think it 　　 ｜
｜　　　　｜could be a big hit!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜　　　　Judges' shared evaluation(summarised by Mr Hobbs)　　　　　 ｜
｜――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜ Each band's total score is the same, but each band is very 　　　 ｜
｜different. Ms Leigh and I agreed that performance is the most　　　 ｜
｜important quality for a band. Ms Wells also agreed. Therefore, 　　 ｜
｜first place is easily determined.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜ To decide between second and third places, Ms Wells suggested　　 ｜
｜that song originality should be more important than good singing.　 ｜
｜Ms Leigh and I agreed to this opinion.　　　　　　　　　　　　　　 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

問１　Based on the judges' final average scores, which band sang the
best? [ 6 ]
{1} Green Forest
{2} Mountain Pear
{3} Silent Hill
{4} Thousand Ants

問２　Which judge gave both positive and critical comments? [ 7 ]
{1} Mr Hobbs
{2} Ms Leigh
{3} Ms Wells
{4} None of them

問３　One [fact] from the judge's individual comments is that [ 8 ].
{1} all the judges praised Green Forest's song
{2} Green Forest need to practice more
{3} Mountain Pear can sing very well
{4} Silent Hill have a promising future

問４　One [opinion] from the judges' comments and shared evaluation is
that [ 9 ].
{1} each evaluated band received the same total score
{2} Ms Wells' suggestion about originality was agreed on
{3} Silent Hill really connected with the audience
{4} the judges' comments determined the rankings

問５　Which of the following is the final ranking based on the judges'
shared evaluation? [ 10 ]

　　　　1st　　　　　　　2nd　　　　　　3rd
――――――――――――――――――――――――
{1} Green Forest　　Mountain Pear　　Silent Hill
{2} Green Forest　　Silent Hill　　Mountain Pear
{3} Mountain Pear　　Green Forest　　Silent Hill
{4} Mountain Pear　　Silent Hill　　Green Forest
{5} Silent Hill　　Green Forest　　Mountain Pear
{6} Silent Hill　　Mountain Pear　　Green Forest


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

Ａ　As the student / in charge of / a UK school festival band competition,
/ you are examining / all of / the scores / and the comments / from judges
/ to understand and explain / the rankings.
学生として / 〜を担当する / UK学園祭バンドコンテスト
/ あなたは調べている / 全ての / スコア / そしてコメントを / 審査員からの
/ 理解し説明するため / ランキングを


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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■　問題

2021年大学入試共通テスト第１日程数学２Ｂより

第４問

　初項３，公差ｐの等差数列を{ａn}とし、初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}と
する。ただし、ｐ≠０かつｒ≠０とする。さらに、これらの数列が次を満たすと
する。

　　ａn・ｂn+1−２ａn+1・ｂn＋３ｂn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{1}

(1) ｐとｒの値を求めよう。自然数ｎについて、ａn，ａn+1，ｂnはそれぞれ

　　ａn＝[ア]＋(ｎ−１)ｐ　……{2}
　　ａn+1＝[ア]＋ｎｐ　……{3}
　　ｂn＝[イ]ｒ^(n-1)

と表される。ｒ≠０により、すべての自然数ｎについて、ｂn≠０となる。
ｂn+1／ｂn＝ｒであることから、{1}の両辺をｂnで割ることにより

　　[ウ]ａn+1＝ｒ(ａn＋[エ])　……{4}

が成り立つことがわかる。{4}に{2}と{3}を代入すると

　　(ｒ−[オ])ｐｎ＝ｒ(ｐ−[カ])＋[キ]　……{5}

となる。{5}がすべてのｎで成り立つことおよびｐ≠０により、ｒ＝[オ]を得る。
さらに、このことから、ｐ＝[ク]を得る。
　以上から、すべての自然数ｎについて、ａnとｂnが正であることがわかる。


(2) ｐ＝[ク]，ｒ＝[オ]であることから、{ａn}，{ｂn}の初項から第ｎ項までの
和は、それぞれ次の式で与えられる。

　　Σ[k=1〜n]ａk＝([ケ]／[コ])ｎ(ｎ＋[サ])

　　Σ[k=1〜n]ｂk＝[シ]([オ]^n−[ス])


(3) 数列{ａn}に対して、初項３の数列{ｃn}が次を満たすとする。

　　ａn・ｃn+1−４ａn+1・ｃn＋３ｃn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{6}

　ａnが正であることから、{6}を変形して、ｃn+1＝{([セ]ａn+1)／(ａn＋[ソ])}ｃn
を得る。

さらに、ｐ＝[ク]であることから、数列{ｃn}は[タ]ことがわかる。

[タ]の解答群
――――――――――――――――――――
｜{0} すべての項が同じ値をとる数列である｜
｜{1} 公差が０でない等差数列である　　　｜
｜{2} 公比が１より大きい等比数列である　｜
｜{3} 公比が１より小さい等比数列である　｜
｜{4} 等差数列でも等比数列でもない　　　｜
――――――――――――――――――――

(4) ｑ，ｕは定数で、ｑ≠０とする。数列{ｂn}に対して、初項３の数列{ｄn}が
次を満たすとする。

　　ｄn・ｂn+1−ｑ・ｄn+1・ｂn＋ｕ・ｂn+1＝０　(ｎ＝１，２，３，…)　……{7}

　ｒ＝[オ]であることから、{7}を変形して、ｄn+1＝([チ]／ｑ)(ｄn＋ｕ)を得る。
したがって、数列{ｄn}が、公比が０より大きく１より小さい等比数列となるための
必要十分条件は、ｑ＞[ツ]かつｕ＝[テ]である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　等差数列と等比数列の用語・公式
　◆２　等差数列だから初項と公差を代入

(以下略)

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■　解説


◆１は省略します。


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　◆２　等差数列だから初項と公差を代入

ここら辺で今回の問題です。

「初項３，公差ｐの等差数列を{ａn}」
「初項３，公比ｒの等比数列を{ｂn}」

として、まずはａnとｂnの式を聞いています。

ａnは等差数列だから、一般項の公式は★ａn＝ａ＋(ｎ−１)ｄですね。

これにａ＝３，ｄ＝ｐを代入すると、

ａn＝３＋(ｎ−１)ｐ

これで一般項がわかりました。

さらに・・・


(以下略)


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高校物理「波動」屈折率ｎの媒質ではさまれたガラス板に入射する光�B

高校物理「波動」屈折率ｎの媒質ではさまれたガラス板に入射する光�B

◆問題

屈折率１．５の平面ガラス板の上下を屈折率ｎ(ｎ＜１．５)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) ｓｉｎθ'を求めよ。

(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。ただし、ガラス板は充分長いものとする。

(3) (2)の条件を満たすｓｉｎθの最小値を求めよ。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質　―――――――――――
　　　―――――――――――
ガラス↗↘　　↗↘
　　↗　　↘↗　　↘
　　　―――――――――――　　
媒質　―――――――――――


この記事では(3)を解説します。


★★　お知らせ　★★

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従来のセンター試験や試行テストの内容を踏まえて、理系文系全科目の指導が可能です。
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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

今度はθ'ではなくθで全反射の条件を表す。という設問です。

(1) ｓｉｎθ'を求めよ。でθとθ'の関係を、(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。でθ'を用いて全反射の条件をそれぞれ表したので、これらを組み合わせればＯＫ！ですね！

(1)よりｓｉｎθ'＝ｓｉｎθ／１．５，(2)より臨界角のときｃｏｓθ'＝ｎ／１．５です。

三角比の相互関係より、

(ｓｉｎθ')²＋(ｃｏｓθ')²＝１だから、

(ｓｉｎθ／１．５)²＋(ｎ／１．５)²＝１

まずは両辺に１．５²をかけて、

(ｓｉｎθ)²＋ｎ²＝１．５²

さらに移項して平方根をとれば

(ｓｉｎθ)²＝２．２５−ｎ²
　ｓｉｎθ＝√(２．２５−ｎ²)

これで全反射するときのｓｉｎθの最小値を求められました。


この問題の最初に戻る→(1) ｓｉｎθ'を求めよ。


◆関連項目
屈折、全反射、光学距離
波動まとめ


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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト英語第１問Ｂ

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程英語第１問Ｂを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2021年大学入試共通テスト第１日程英語第１問Ａより

第１問

Ｂ　Your favorite musician will have a concert tour in Japan, and you are
thinking of joining the fan club. You visit the official fan club website.

――――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜TYLER QUICK FAN CLUB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜ Being a member of the TYLER QUICK (TQ) fan club is so much fun! You ｜
｜can keep up with the latest news, and take part in many exciting fan 　｜
｜club member events. All new members will receive our New Member's Pack.｜
｜It contains a membership card, a free signed poster, and a copy of TQ's｜
｜third album [Speeding Up]. The New Member's Pack will be delivered to ｜
｜your home, and will arrive a week or so after you join the fan club.　 ｜
｜ TQ is loved all around the world. You can join from any country, and ｜
｜you can use the membership card for one year. The TQ fan club has three｜
｜types of membership: Pacer, Speeder, and Zoomer.　　　　　　　　　　　 ｜
｜　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜ Please choose from the membership options below.　　　　　　　　　　 ｜
｜ ――――――――――――――――――――――――――――――――――　｜
｜｜　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　｜　Membership Options　｜｜
｜｜ 　　　　What you get (♪) 　　　　　　　　　―――――――――――　｜
｜｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜Pacer｜Speeder｜Zoomer｜｜
｜｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜($20)｜ ($40) ｜($60) ｜｜
｜ ――――――――――――――――――――――――――――――――――　｜
｜｜Regular emails and online magazine password｜ ♪　｜　♪　 ｜　♪　｜｜
｜｜Early information on concert tour dates　　｜ ♪　｜　♪　 ｜　♪　｜｜
｜｜TQ's weekly video messages　　　　　　　　 ｜ ♪　｜　♪　 ｜　♪　｜｜
｜｜Monthly picture postcards　　　　　　　　　｜　 　｜　♪　 ｜　♪　｜｜
｜｜TQ fan club calendar　　　　　　　　　　　 ｜　 　｜　♪　 ｜　♪　｜｜
｜｜Invitations to special signing events　　　｜　 　｜　　　 ｜　♪　｜｜
｜｜20% off concert tickets　　　　　　　　　　｜　 　｜　　　 ｜　♪　｜｜
｜ ――――――――――――――――――――――――――――――――――　｜
｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜[Check it out!]　◇Join before May 10 and receive a $10 discount on 　 ｜
｜　　　　　　　　　　your membership fee!　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜◇There is a $4 delivery fee for every New Member's Pack.　　　　　　　｜
｜◇At the end of your 1st year, you can either renew or upgrade at a 50%｜
｜　 discount.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ｜
｜Whether you are a Pacer, a Speeder, or a Zoomer, you will love being a ｜
｜member of the TQ fan club. For more information, or to join, click 　　｜
｜[here].　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
――――――――――――――――――――――――――――――――――――


問１　A New Membership's Pack [ 3 ]
{1} includes TQ's first album
{2} is delivered on May 10
{3} requires a $10 delivery fee
{4} takes about seven days to arrive

問２　What will you get if you become a new Pacer member? [ 4 ]
{1} Discount concert tickets and a calendar
{2} Regular emails and signing event invitations
{3} Tour information and postcards every month
{4} Video messages and access to online magazines

問３　After being a fan club member for one year, you can [ 5 ]
{1} become a Zoomer for a $50 fee
{2} get a New Member's Pack for $4
{3} renew your membership at half price
{4} upgrade your membership for free


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

Ｂ　Your favorite musician / will have / a concert tour
/ in Japan, / and / you are thinking / of joining / the fan club.
あなたの大好きなミュージシャンが / 持つでしょう / コンサートツアーを
/ 日本で / そして / あなたは考えている / 加入することを / そのファンクラブに

You visit / the official fan club website.
あなたは訪れる / その公式ファンクラブのウェブサイトを

――――――――――――――――――――――――――――――――――――
TYLER QUICK FAN CLUB

Being a member / of the TYLER QUICK (TQ) fan club / is so much fun!
会員になることは / TYLER QUICK(TQ)のファンクラブの / とても楽しいです！


(以下略)


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高校物理「波動」屈折率ｎの媒質ではさまれたガラス板に入射する光�A

高校物理「波動」屈折率ｎの媒質ではさまれたガラス板に入射する光�A

◆問題

屈折率１．５の平面ガラス板の上下を屈折率ｎ(ｎ＜１．５)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) ｓｉｎθ'を求めよ。

(2) 入射した光がガラスと媒質との境界面で全反射する条件をθ'を用いて求めよ。ただし、ガラス板は充分長いものとする。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質　―――――――――――
　　　―――――――――――
ガラス↗↘　　↗↘
　　↗　　↘↗　　↘
　　　―――――――――――　　
媒質　―――――――――――


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

まず「ガラスと媒質の境界面で全反射する」ということは、入射角≧臨界角ですね。
屈折角が９０°になるときが臨界角で、入射角はそれ以上になれば全反射がおこる。というわけです。

ここで、ガラスに入射したあとガラスと媒質の境界面で反射するまでの光の通り道を斜辺とする直角三角形を考えると、ガラスと媒質との境界面での入射角は(９０°−θ')となります。

ガラスの屈折率は１．５，媒質の屈折率はｎだから、屈折の公式より

ｓｉｎ(９０°−θ')／ｓｉｎ９０°＝ｎ／１．５

つまり、ｓｉｎ(９０°−θ')＝ｎ／１．５です。

これが臨界角の条件を表す式です。
サインの値は９０°に近い方が大きくなり、入射角がこれ以上ならば全反射するので、求める条件は

ｓｉｎ(９０°−θ)≧ｎ／１．５

これで終わりでも間違いではありませんが、さらに三角比の公式ｓｉｎ(９０°−θ)＝ｃｏｓθを使って、

ｃｏｓθ'≧ｎ／１．５

とするのが模範的です。


次の問題→θを用いた全反射の条件


◆関連項目
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高校物理「波動」屈折率ｎの媒質ではさまれたガラス板に入射する光�@

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◆問題

屈折率１．５の平面ガラス板の上下を屈折率ｎ(ｎ＜１．５)の媒質ではさんだ物体を真空中に水平に固定する。この物体のガラス部分に入射角θで光が入射したときの屈折角はθ'として次の問いに答えよ。

(1) ｓｉｎθ'を求めよ。


参考図(ガラスの上下をある媒質ではさんだものをイメージしてください)

媒質　―――――――――――
　　　―――――――――――
ガラス↗↘　　↗↘
　　↗　　↘↗　　↘
　　　―――――――――――　　
媒質　―――――――――――


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◆解説

屈折の公式はｓｉｎθ1／ｓｉｎθ2＝ｎ2／ｎ1ですね。

添え字１は境界面の手前側、添え字２は屈折や反射をした後側と考えて式を立てることができます。

つまりこの問題では、ｓｉｎθ1＝ｓｉｎθ，ｓｉｎθ2＝ｓｉｎθ'，ｎ1＝１，ｎ2＝１．５です。真空の屈折率は１ですね。
よって、

ｓｉｎθ／ｓｉｎθ'＝１．５／１

という式が成り立ちます。

ｓｉｎθ'を求めたいので、あとはこの式をｓｉｎθ'について解きます。

１．５ｓｉｎθ'＝ｓｉｎθ
　　　ｓｉｎθ'＝ｓｉｎθ／１．５


次の問題→全反射の条件


◆関連項目
屈折、全反射、光学距離
波動まとめ


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中学英語「進行形」They looked for...

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2021年６月発売

「めんどくさいと寝ちゃう人のためのやりなおし中学英文法問題集」
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11/18に更新し、3-4疑問詞＋不定詞、9-4原形不定詞を追加しました。

紙の書籍もご利用いただけます！


この「寝ちゃう人英文法」は、手軽にちゃんと意味までわかる英文法問題集を！
というコンセプトの本です。

英語の勉強をするためには、文法の法則を理解するだけでなく、語句や文章の
意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑)　睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
次の英文を進行形に直してください。

43　They looked for a T-shirt at the shop.


[words]
look for：〜を探す T-shirt：Ｔシャツ


見開き２ページで１単元としています。
１ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ！

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[point]
進行形は「be動詞＋〜ing(現在分詞形)」の形で表します。be動詞が現在形なら「現在進行形」、be動詞が過去形なら「過去進行形」です。


[Answer]
43　They were looking for a T-shirt at the shop.　※過去進行形
　　「彼らはその店であるＴシャツを探していました」


２ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで２ページで１セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
これで「めんどくさいと寝ちゃう人」でも、やり切ることができるはずです！


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今回の問題は、

「めんどくさいと寝ちゃう人のためのやりなおし中学英文法問題集」
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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト英語第１問Ａ

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程英語第１問Ａを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■　問題

2021年大学入試共通テスト第１日程英語第１問Ａより

第１問

Ａ　Your dormitory roommate Julie has sent a text message to your mobile
phone with a request.

　　　――――――――――――――――――――――――――――――――
　　　｜Help!!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　｜Last night I saved my history homework on a USB memory stick. ｜
　　　｜I was going to print it in the university library this 　　 　｜
　　　｜afternoon, but I forgot to bring the USB with me. I need to 　｜
　　　｜give a copy to my teacher by 4 p.m. today. Can you bring my 　｜
　　　｜USB to the library? I think it's on top of my history book on ｜
　　　｜my desk. I don't need the book, just the USB.　　　　　　　 　｜
　　　――――――――――――――――――――――――――――――――

―――――――――――――――――――――――――――――――――
｜Sorry Julie, I couldn't find it. The history book was there, but｜
｜there was no USB memory stick. I looked for it everywhere even　｜
｜under your desk. Are you sure you don't have it with you? I'll　｜
｜bring your laptop computer with me, just in case.　　　　　　　 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――

　　　 ――――――――――――――――――――――――――――――――
　　　｜You were right! I did have it. It was at the bottom of my bag.｜
　　　｜What a relief!　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　｜Thanks anyway.(^^)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　 　――――――――――――――――――――――――――――――――


問１　What was Julie's request? [ 1 ]
　{1} To bring her USB memory stick
　{2} To hand in her history homework
　{3} To lend her a USB memory stick
　{4} To print out her history homework

問２　How will you reply to Julie's second text message? [ 2 ]
　{1} Don't worry. You'll find it.
　{2} I'm really glad to hear that.
　{3} Look in your bag again.
　{4} You must be disappointed.


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル１は{1}で表記しています。

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■　スラッシュリーディング

Ａ　Your dormitory roommate Julie / has sent / a text message
/ to your mobile phone / with a request.
あなたの寮のルームメイトのJulieは / 送った / テキストメッセージを
/ あなたの携帯電話に / 頼みがあって

―――――――――――――――――――――――――――――――

Help!!
助けて！

Last night / I saved / my history homework / on a USB memory stick.
昨夜 / 私は保存した / 私の歴史の宿題を / USBメモリーに



(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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高校数学「三角比」「三角方程式」２ｓｉｎθ＝√３

高校数学「三角比」「三角方程式」２ｓｉｎθ＝√３

■　問題

２ｓｉｎθ＝√３を満たすθの値を求めよ。ただし、０°≦θ≦１８０°とする。


まずはｓｉｎθについて解きます。


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■　解答解説

三角方程式では三角比を含む式のθの値を求めます。
三角比の項に係数があるときはまずは式を変形して、単純な形にします。

２ｓｉｎθ＝√３
　ｓｉｎθ＝√３／２

ｓｉｎθの値が√３／２になるときのθの値がこの方程式の解です。

三角比の値を考えるときは単位円を描いて考えると良いです。

ｓｉｎθ＝ｙ／ｒだから、ｙ＝√３，ｒ＝２なので、半径２の円を描いて、円周上の点のうちｙ＝√３の場所を考えます。
第１象限と第２象限に１箇所ずつこのような点がありますね。
円周上の点からｘ軸に垂線を下ろすと、３０°６０°９０°の三角形ができます。
θは第１象限のｘ軸の部分からの回転した角度を表すので、求める解は、

θ＝６０°，１２０°


↓三角比の解き方の練習に活用してください。↓



三角比まとめ


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高校英語「使役動詞・知覚動詞」�DBackground noise...

高校英語「使役動詞・知覚動詞」�DBackground noise...

◆問題
次の英文を正しく並べ替えて、日本語訳してください。

(5) Background noise (music / often / on / people / helps / concentrate).


今回の問題は、主にセンター試験の英文を題材とした、この英文法問題集のP.22に掲載されています。



◆解答・解説

(5) Background noise (often helps people concentrate on music).
「背景の騒音はしばしば、人々が音楽に集中するのを助けます」


「help 人 do」の形で「人がdoするのを助ける」という内容を表します。


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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学１Ａ第３問

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■　問題

2021年共通テスト第１日程数１Ａより

第３問

　中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。

(1) 当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａと、当たりくじを引く確率が１／３
である箱Ｂの二つの箱の場合を考える。

(i) 各箱で、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したとき

　　箱Ａにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ア]／[イ]　…{1}
　　箱Ｂにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ウ]／[エ]　…{2}

である。

(ii) まず、ＡとＢのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中
ちょうど１回当たった。このとき、箱Ａが選ばれる事象をＡ、箱Ｂが選ばれる事象
をＢ、３回中ちょうど１回当たる事象をＷとすると

　　Ｐ(Ａ∩Ｗ)＝(１／２)×([ア]／[イ])，Ｐ(Ｂ∩Ｗ)＝(１／２)×([ウ]／[エ])

である。Ｐ(Ｗ)＝Ｐ(Ａ∩Ｗ)＋Ｐ(Ｂ∩Ｗ)であるから、３回中ちょうど１回
当たったとき、選んだ箱がＡである条件付き確率ＰW(Ａ)は[オカ]／[キク]となる。
また、条件付き確率ＰW(Ｂ)は[ケコ]／[サシ]となる。


(2) (1)のＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)について、次の[事実](＊)が成り立つ。

―事実(＊)―――――――――――――――――――――――――――
｜Ｐw(Ａ)とＰw(Ｂ)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。｜
――――――――――――――――――――――――――――――――

[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} 和　　{2} ２乗の和　　{2} ３乗の和　　{3} 比　　{4} 積　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――


(3) 花子さんと太郎さんは[事実](＊)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：[事実](＊)はなぜ成り立つのかな？　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜太郎：ＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)を求めるのに必要なＰ(Ａ∩Ｗ)とＰ(Ｂ∩Ｗ)の計算｜
｜　　　で、{1]，{2}の確率に同じ数１／２をかけているからだよ。　　　　｜
｜花子：なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数１／３をかける　｜
｜　　　ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。　　　　　　　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

　当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃの三つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを１本引いてはもとに戻す
試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。このとき、選んだ
箱がＡである条件付き確率は[セソタ]／[チツテ]となる。


(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で３回中　｜
｜　　　ちょうど１回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。｜
｜太郎：そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、｜
｜　　　その大きさを比較することができるね。　　　　　　　　　　　　　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

　当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃ，１／５である箱Ｄの四つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを１本引いて
はもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。

[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ　　{1} Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｃ　　{2} Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ　｜
｜{3} Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｂ　　{4} Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｃ　　{5} Ｂ，Ａ，Ｃ，Ｄ　｜
｜{6} Ｂ，Ａ，Ｄ，Ｃ　　{7} Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｄ　　{8} Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ　｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
　◆２　同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
　◆３　同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　同じ確率を繰り返すなら「反復試行」

では今回の問題です。

箱Ａと箱Ｂがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。

まずは「当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａ」から３回連続ひいて、
ちょうど１回当たる確率を考えます。

同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。

あたりは３回中１回なので、あたりが何回目に出るか？のパターンは3Ｃ1＝３通り
あります。
あたりは１／２，ハズレも１／２なので、あたり１回ハズレ２回の確率は、

3Ｃ1・(１／２)(１／２)^2＝３／８

となります。

箱Ｂも同様にやると、


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき�B

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき�B

◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を４／３，ガラスの屈折率を３／２として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。

(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、ｓｉｎθcの値を求めよ。

(3) 水中からガラスへ入射する光の入射角をθ1とする。光がガラスを通過して空気中に出るためのｓｉｎθ1の範囲を求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

(2)より、ガラスと空気の境界面ではｓｉｎθc＝２／３です。

このときθ1がいくつになるかを考える。という方針です。

(1)より、水に対するガラスの屈折率は９／８なので、屈折の公式より

ｓｉｎθ1／ｓｉｎθc＝９／８

これを計算すると、

ｓｉｎθ1＝(９／８)ｓｉｎθc
　　　　＝(９／８)×(２／３)
　　　　＝３／４

境界面に対して垂直に近いほど、つまり、入射角が小さいほど光はまっすぐ通過していくので、サインの値はこのときよりも小さいと光は空気中に出て行くと考えられます。
よって、

０≦ｓｉｎθ1＜３／４


この問題の最初に戻る→(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。


◆関連項目
屈折、全反射
波動まとめ


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中学英語「助動詞(疑問文)」We should leave...

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意味を把握することが必要です。わからない語句は辞書を使って調べて、書き
出して、問題文の意味を読み解いて・・・とやりたいところですが、まずは辞書を
引く時点で面倒ですね。この時点でみんな寝ちゃいます(笑)　睡魔と戦って無理に
突き進み、「よくわからないけど、なんとなく」で終わってしまったという経験を
お持ちの方も多いと思います。

そんな人でも最後までやり切ることができるようにしたいと思って執筆しました。

まずはこの記事で、雰囲気をつかんでください。
そしてもし気に入っていただけたら、書籍もご利用いただければ幸いです。

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[Question]
次の英文を疑問文に直してください。

38　We should leave here now.


[words]
should：〜すべき leave：立ち去る
here：ここを


見開き２ページで１単元としています。
１ページ目にはこのように、問題とその文に登場する語句を掲載しています。


解答解説はお知らせの下へ！

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[point]
助動詞は動詞の直前に入って、動詞の意味を補う言葉で、動詞は必ず原形になります。助動詞の文の疑問文は、助動詞を主語の前に移動し、文尾に？をつけるだけです。


[Answer]
38　Should we leave here now?
　　「私たちは今ここを立ち去るべきですか？」


２ページ目にはこのように、文法のポイントと解答、英文の和訳を掲載しています。

問題・語句から解答解説まで２ページで１セットとなっていて、あちこちの
ページを行ったり来たりしなくても、一通りのことが完結するようにしました。
これで「めんどくさいと寝ちゃう人」でも、やり切ることができるはずです！


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今回の問題は、

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高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき�A

高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき�A

◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を４／３，ガラスの屈折率を３／２として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。

(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、ｓｉｎθcの値を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

臨界角とは全反射がおこるギリギリの入射角のことです。

屈折率の公式より

ｓｉｎθ1／ｓｉｎθ2＝ｎ2／ｎ1

なので、これに適切な値を代入していきます。
入射角はθc，臨界角のときは屈折角が９０°です。
ガラスの屈折率は問題文より３／２，空気の屈折率は通常は１です。
よって、

ｓｉｎθc／ｓｉｎ９０°＝１／(３／２)

ｓｉｎ９０°＝１だから、

ｓｉｎθc＝１／(３／２)＝２／３


次の問題→ガラスと空気の境界面で全反射が起こらない条件


◆関連項目
屈折、全反射
波動まとめ


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高校物理「波動」ガラスが水面上に置かれているとき�@

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◆問題

一定の厚さのガラスが水面上に置かれている。水の屈折率を４／３，ガラスの屈折率を３／２として次の問いに答えよ。

(1) 水に対するガラスの屈折率を求めよ。


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


◆解説

屈折の公式は次のようになっています。

ｎ12＝ｓｉｎθ1／ｓｉｎθ2＝ｖ1／ｖ2＝λ1／λ2＝ｎ2／ｎ1

媒質１に対する媒質２の屈折率はこのように、サインでも、速さでも、波長でも、それぞれの屈折率からでも求めることができます。
屈折率を使う場合だけは添え字の１，２が逆になっていることに注意してください。

この問題では、水に対するガラスの屈折率を聞いているので、ｎ1は水の屈折率で３／４，ｎ2はガラスの屈折率で３／２です。

ｎ12＝ｎ2／ｎ1だから、

ｎ12＝(３／２)／(４／３)
　　＝(３／２)×(３／４)
　　＝９／８


次の問題→(2) ガラスから空気中へ光が進むときの臨界角をθcとして、ｓｉｎθcの値を求めよ。


◆関連項目
屈折、全反射
波動まとめ


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