■ 問題
次の数列{ａｎ}の初項から第ｎ項までの和を求めよ。
１／１・２，１／２・３，１／３・４，１／４・５，……，１／ｎ(ｎ＋１)
■ 選択肢
① 分母は１，２，３，４，…となる数列と２，３，４，５，…となる数列の積だから、２つの等差数列の和を掛ける
② 分母の一般項はｎ(ｎ＋１)＝ｎ2＋ｎだから、Σ[k=1～n](ｎ2＋ｎ)の逆数を求める
③ それぞれ計算すると、１／２，１／６，１／１２，１／２０である！
④ 部分分数分解をする
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■ 選択肢の解答
④ 部分分数分解をする
今回の数列のように、分母が等差数列の積の形になっているときは、いわゆる「部分分数分解」をします。
部分分数分解をすると、積を差の形で表すことができて、次々と相殺できる項が現れて、最初と最後だけが残る場合があります。
■ 計算式
まず、求める数列の和は、次のように表すことができます。
１／１・２＋１／２・３＋１／３・４＋１／４・５＋……＋１／ｎ(ｎ＋１)
これを部分分数分解してみると、
(１／１－１／２)＋(１／２－１／３)＋(１／３－１／４)＋(１／４－１／５)＋……＋{１／ｎ－１／(ｎ＋１)}
このようになります。最初と最後をのぞいて、それぞれの括弧内の後ろの項と次の括弧内の前の項が相殺してプラマイゼロになります。すると、最初と最後だけが残ります。
１／１－１／(ｎ＋１)
＝(ｎ＋１－１)／(ｎ＋１)
＝ｎ／(ｎ＋１)
この問題は次の書籍のP.37に掲載されています。書籍では、間違いの選択肢のコメントや計算式、類題とその解答解説も掲載しています。
◆関連項目
数列まとめ
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ラベル：数学
