本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学１Ａ第２問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年共通テスト第１日程数１Ａより
第２問
[1] 陸上競技の短距離１００ｍ走では、１００ｍ走るのにかかる時間(以下、タイム
と呼ぶ)は、１歩あたりの進む距離(以下、ストライドと呼ぶ)と１秒あたりの歩数
(以下、ピッチと呼ぶ)に関係がある。ストライドとピッチはそれぞれ以下の式で
与えられる。
ストライド(ｍ／歩)＝１００(ｍ)／１００ｍを走るのにかかった歩数(歩)
ピッチ(歩／秒)＝１００ｍを走るのにかかった歩数(歩)／タイム(秒)
ただし、１００ｍを走るのにかかった歩数は、最後の１歩がゴールラインをまたぐ
こともあるので、小数で表される。以下、単位は必要のない限り省略する。
例えば、タイムが10.81で、そのときの歩数が48.5であったとき、ストライドは
100/48.5より約2.06、ピッチは48.5/10.81より約4.49である。
なお、小数の形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、指定された桁数
の一つ下の桁を四捨五入して答えよ。また、必要に応じて、指定された桁まで{0}に
マークせよ。
(1) ストライドをｘ，ピッチをｚとおく。ピッチは１秒あたりの歩数、ストライド
は１歩あたりの進む距離なので、１秒あたりの進む距離すなわち平均速度は、ｘと
ｚを用いて[ア](ｍ／秒)と表される。
これより、タイムと、ストライド、ピッチとの関係は
タイム＝１００／[ア] ……{1}
と表されるので、[ア]が最大になるときにタイムが最もよくなる。ただし、タイム
がよくなるとはタイムの値が小さくなることである。
[ア]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} ｘ＋ｚ {1} ｚ－ｘ {2} ｘｚ ｜
｜{3} (ｘ＋ｚ)／２ {4} (ｚ－ｘ)／２ {5} ｘｚ／２ ｜
―――――――――――――――――――――――――――――
(2) 男子短距離１００ｍ走の選手である太郎さんは{1}に着目して、タイムが最も
よくなるストライドとピッチを考えることにした。
次の表は太郎さんが１００ｍを３回走ったときのストライドとピッチのデータで
ある。
――――――――――――――――――
｜ ｜１回目｜２回目｜３回目｜
｜ストライド｜ 2.05 ｜ 2.10 ｜ 2.15 ｜
｜ ピッチ ｜ 4.70 ｜ 4.60 ｜ 4.50 ｜
――――――――――――――――――
また、ストライドとピッチにはそれぞれ限界がある。太郎さんの場合、
ストライドの最大値は2.40、ピッチの最大値は4.80である。
太郎さんは、上の表から、ストライドが0.05大きくなるとピッチが0.1小さくなる
という関係があると考えて、ピッチがストライドの１次関数として表されると仮定
した。このとき、ピッチｚはストライドｘを用いて
ｚ＝[イウ]ｘ＋[エオ]／５ ……{2}
と表される。
{2}が太郎さんのストライドの最大値2.40とピッチの最大値4.80まで成り立つと
仮定すると、ｘの値の範囲は次のようになる。
[カ].[キク]≦ｘ≦2.40
ｙ＝[ア]とおく。{2}をｙ＝[ア]に代入することにより、ｙをｘの関数として
表すことができる。太郎さんのタイムが最もよくなるストライドとピッチを求める
ためには、[カ].[キク]≦ｘ≦2.40の範囲でｙの値を最大にするｘの値を見つければ
よい。このとき、ｙの値が最大になるのはｘ＝[ケ].[コサ]のときである。
よって太郎さんのタイムが最もよくなるのは、ストライドが[ケ].[コサ]のとき
であり、このとき、ピッチは[シ].[スセ]である。また、このときの太郎さんの
タイムは、{1}により[ソ]である。
[ソ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから一つ選べ。
―――――――――――――――――――
｜{0} 9.68 {1} 9.97 {2} 10.09 ｜
｜{3} 10.33 {4} 10.42 {5} 10.55 ｜
―――――――――――――――――――
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ストライドとピッチの意味
◆２ １秒あたりｚ歩進み、１歩あたりｘｍ進む
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ １秒あたりｚ歩進み、１歩あたりｘｍ進む
それでは(1)の問題です。
「ストライドをｘ，ピッチをｚ」とおいて、平均の速度を求めます。
１秒あたりｚ歩進み、１歩あたりｘｍ進むので、
ｚ歩進めば、ｘｍのｚ倍進むのだから、
１秒あたりｘｚｍ進む。
ということがわかります。
よって、[ア]＝２
さらに、「タイム＝１００／ｘｚ」ですね。
速さ＝ｘｚの値が大きいほど１００／ｘｚの値は小さくなる。すなわち・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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