本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学２Ｂ第１問[1]の(1)

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学２Ｂ第１問[1]の(1)を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■　問題

2021年大学入試共通テスト第１日程数学２Ｂより

第１問

[1] 座標平面上に点Ａ(−８，０)をとる。また、不等式

　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０

の表す領域をＤとする。


(1) 領域Ｄは、中心が点([ア]，[イ])，半径が[ウ]の円の[エ]である。

[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} 周　　{1} 内部　　{2} 外部　　　｜
｜{3} 周および内部　　{4} 周および外部｜
└――――――――――――――――――┘

　以下、点([ア]，[イ])をＱとし、方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０

の表す図形をＣとする。

(2) 点Ａを通る直線と領域Ｄが共有点をもつのはどのようなときかを考えよう。

(i) (1)により、直線ｙ＝[オ]は点Ａを通るＣの接線の一つとなることがわかる。

　太郎さんと花子さんは点Ａを通るＣのもう一つの接線について話している。
　点Ａを通り、傾きがｋの直線をｌとする。

┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜太郎：直線ｌの方程式はｙ＝ｋ(ｘ＋８)と表すことができるから、｜
｜　　　これを　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜　　　　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０　　　　　　　　　｜
｜　　　に代入することで接線を求められそうだね。　　　　　　　｜
｜花子：ｘ軸と直線ＡＱのなす角のタンジェントに注目することでも｜
｜　　　求められそうだよ。　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
└――――――――――――――――――――――――――――――┘

(ii) 太郎さんの求め方について考えてみよう。
　ｙ＝ｋ(ｘ＋８)をｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４＝０に代入すると、ｘについて
の２次方程式
　(ｋ^2＋１)ｘ^2＋(１６ｋ^2−１０ｋ−４)ｘ＋６４ｋ^2−８０ｋ＋４＝０
が得られる。この方程式が[カ]のときのｋの値が接線の傾きとなる。

[カ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――┐
｜{0} 重解をもつ　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜{1} 異なる二つの実数解をもち、一つは０である｜
｜{2} 異なる二つの正の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{3} 正の実数解と負の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{4} 異なる二つの負の実数解をもつ　　　　　　｜
｜{5} 異なる二つの虚数解をもつ　　　　　　　　｜
└――――――――――――――――――――――┘

(iii) 花子さんの求め方について考えてみよう。
　ｘ軸と直線ＡＱのなす角θ(０＜θ≦π／２)とすると

　　ｔａｎθ＝[キ]／[ク]

であり、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きはｔａｎ[ケ]と表すことができる。

[ケ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} θ　　{1} ２θ　　{2} (θ＋π／２)　　　　　｜
｜{3} (θ−π／２)　　{4} (θ＋π)　　{5} (θ−π)｜
｜{6} (２θ−π／２)　　{7} (２θ−π／２)　　　　｜
└――――――――――――――――――――――――┘

(iv) 点Ａを通るＣの接線のうち、直線ｙ＝[オ]と異なる接線の傾きをｋ0とする。
このとき、(ii)または(iii)の考え方を用いることにより

　　ｋ0＝[コ]／[サ]

であることがわかる。
　直線ｌと領域Ｄが共有点を持つようなｋの値の範囲は[シ]である。

[シ]の解答群
┌――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋ＞ｋ0　　{1} ｋ≧ｋ0　　　　　｜
｜{2} ｋ＜ｋ0　　{3} ｋ≦ｋ0　　　　　｜
｜{4} ０＜ｋ＜ｋ0　　{5} ０≦ｋ≦ｋ0　｜
└――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　円の方程式と領域の基本
　◆２　円の中心と半径なら平方完成

(以下略)

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■　解説


◆１は省略します。


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　◆２　円の中心と半径なら平方完成

では今回の問題です。

ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０

これを領域Ｄとして、まずは円の中心と半径を求めます。

◆１でも触れたように、円は(ｘ−ａ)^2＋(ｙ−ｂ)^2＝ｒ^2の形になります。
この形になるように、与式を変形していきましょう！
カッコの２乗だから平方完成ですね。

　　　　　　　　　　　　ｘ^2＋ｙ^2−４ｘ−１０ｙ＋４≦０
　　　　　　　　　　(ｘ^2−４ｘ)＋(ｙ^2−１０ｙ)＋４≦０
(ｘ^2−４ｘ＋４−４)＋(ｙ^2−１０ｙ＋２５−２５)＋４≦０
　　　　　　　　(ｘ−２)^2−４＋(ｙ−５)^2−２５＋４≦０
　　　　　　　　　　　　　　　(ｘ−２)^2＋(ｙ−５)^2≦２５

これで中心と半径がわかる形になりました。


(以下略)


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高校物理「熱力学」「力学的エネルギー」粗い斜面上を滑る物体�B

高校物理「熱力学」「力学的エネルギー」粗い斜面上を滑る物体�B

◆問題

水平とのなす角が４５°の粗い斜面上に、質量ｍ[ｋｇ]の物体を静かに置くと、物体は斜面を滑り始めた。物体と斜面との動摩擦係数をμ'，重力加速度の大きさをｇ[ｍ／ｓ2]として、次の問いに答えよ。

(1) 物体に働く重力、垂直抗力をそれぞれ求めよ。

(2) 物体が斜面上をｓ[ｍ]滑る間に、重力、動摩擦力、垂直抗力がした仕事をそれぞれ求めよ。

(3) 物体が斜面上をｓ[ｍ]滑る間に、この物体の温度は何[Ｋ]上昇するか求めよ。ただし、物体の比熱をｃ[Ｊ／(ｇ・Ｋ)]とし、摩擦によって生じた熱量は全て物体の温度上昇に使われるものとする。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

「摩擦によって発生した熱量＝摩擦力がした仕事」と考えます。

(2)で求めたように、摩擦力がした仕事の大きさは(√２／２)μ'ｍｇｓ[Ｊ]です。

これが全て物体の温度上昇に使われる。という設定です。

物体の比熱はｃ[Ｊ／(ｇ・Ｋ)]なので、ｍ[ｋｇ]の物体を１Ｋ上げるには、１０００ｍｃ[Ｊ]の熱量(＝仕事)が必要です。

というわけで、求める温度上昇をΔＴとすると、

ΔＴ＝(√２／２)μ'ｍｇｓ／１０００ｍｃ
　＝√２・μ'ｇｓ／２０００ｃ[Ｋ]


この問題の最初に戻る→(1) 物体に働く重力、垂直抗力をそれぞれ求めよ。


◆関連項目
熱力学まとめ
力〜エネルギーまとめ


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