2022年06月27日

高校数学「積分」y=xe^(-x),y=x/e,y=x/e^2で囲まれた図形の面積

高校数学「積分」y=xe-x,y=x/e,y=x/e2で囲まれた図形の面積

■ 問題

次の直線や曲線で囲まれた図形の面積を求めよ。

y=xe-x,y=x/e,y=x/e2


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

式が少し難しく見えますが、面積ならとにかく、「交点を求めて定積分」です。

y=x/eとy=x/e2はともに1次関数というか比例なので、これらは原点を通ります。
だから交点は(0,0)ですね。

その他の交点は普通に連立方程式を解きます。

y=xe-x,y=x/eより、
xe-x=x/e
xe-x−x/e=0
x(e-x−1/e)=0
よって、x=0,e-x−1/e=0すなわちx=1

y=xe-x,y=x/e2より、
x(e-x−1/e2)=0
よって、x=0,e-x−1/e2=0すなわちx=2

グラフはここでは省略しますが、0〜1の区間はy=x/eとy=x/e2の間、1〜2の区間はy=xe-2とy=x/e2の間の面積を計算すればOKです。
これはつまり、∫[0〜1](x/e)dx+∫[1〜2](xe-x)dx−∫[0〜2](x/e2)dxとなります。

∫[0〜1](x/e)dxと∫[0〜2](x/e2)dxの部分は三角形なので、普通に頂点の座標から面積を出します。

∫[0〜1](x/e)dx=(1/2)×1×1/e=1/2e
∫[0〜2](x/e2)dx=(1/2)×2×2/e2=2/e2

∫[1〜2](xe-x)dxの部分は曲線なので、定積分の計算をちゃんとやります。
xとe-xの積の積分なので、部分積分法を使って、

 ∫[1〜2](xe-x)dx
=[−xe-x][1〜2]+∫[1〜2]e-xdx
=−2e-2−(−e-1)+[−(e-x][1〜2]
=−2/e2+1/e+(−1/e2+1/e)
=−3/e2+2/e

というわけで、求める面積は、

 1/2e+(−3/e2)+2/e−2/e2
=5/2e−5/e2
=(5e−10)/2e2
=5(e−2)/2e2


◆関連項目
部分積分法面積の求め方
微分積分(数学3)まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2022年共通テスト追試英語第2問A

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト追試英語第2問Aをスラッシュリーディングします。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2022年大学入試共通テスト追試英語より

第2問

A You are an exchange student in the UK. Your host family is going to
take you to Hambury for a weekend to experience some culture. You are
looking at the information about what you can do near the hotel and the
reviews of the hotel where you will stay.

[White Horse Hotel]
[In Hambury Square]
[Things to do & see near the hotel:]

Hambury Church: It's only 10 minutes on foot.
The farmers' market: It's held in the square every first and third weekend.
The Kings Arms: Have lunch in the oldest building in Hambury (just across
from the Hotel).
East Street: You can get all your gifts there (15-minute walk from the
hotel).
The Steam House: It's next to Hambury Railway Museum, by the station.
The walking tour (90 minutes): It starts in the square at 11 am every
Tuesday and Saturday.
The stone circle: Every Tuesday lunchtime there live music (just behind
the church).
The old castle (admission:£5): See the play Romeo and Juliet every
Saturday night. (Get your tickets at the castle gate, across from the
station, for £15.)

[Become a member of the White House Hotel and get:]
a free ticket to the railway museum
tickets to the play for only £9 per person
a discount coupon for Memory Photo Studio (get a photo of you wearing
traditional Victorian clothes). Open every day, 9:00 am--5:30 pm.
Membership is free for staying guests.

[Most popular reviews:]

[We will be back]
It's a nice hotel in the centre of the town with a great breakfast. Though
the shops are limited, the town is pretty and walking to the beautiful
church only took 5 minutes. The tea and cakes at the Steam House are a
must. Sally

[Lovely Town]
Our room was very comfortable, and the staff were kind. Coming from
Australia, I thought the play in the castle was great, and the walking tour
was very interesting. I also recommend the stone circle (if you don't mind
a 10-minute walk up a hill). Ben


問1 [ 6 ] is the closest to the White Horse Hotel.
{1} East Street
{2} Hambury Church
{3} The Kings Arms
{4} The stone circle

問2 [ 7 ] is one combination of activities you can do if you visit
Hambury on the third Saturday of the month.
A: go on a walking tour
B: have your photo taken
C: listen to the live music
D: shop at the farmers' market

問3 You must want to get cheaper tickets for Romeo and Juliet. You will
[ 8 ].
{1} become a member of the hotel
{2} buy your tickets at the castle
{3} get free tickets from the hotel
{4} wear traditional Victorian clothes

問4 One advantage of the hotel the reviews do not mention is the [ 9 ].
{1] comfort
{2} discounts
{3} food
{4} service

問5 Which best reflects the opinions of the reviewers? [ 10 ]
{1} The activities were fun, and the shops good.
{2} The hotel room was pretty, and the photo studio great.
{3} The music was good, and the activities interesting.
{4} The sightseeing was exciting, and the hotel conveniently placed.


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■ スラッシュリーディング

A You are an exchange student / in the UK.
あなたは交換学生だ / イギリスの

Your host family / is going to take you / to Hambury / for a weekend
/ to experience / some culture.
あなたのホストファミリーは / あなたを連れて行く予定だ / Hamburyに / 終末に
/ 経験するため / 何か文化を


(以下略)


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ラベル:英語
posted by えま at 17:00| Comment(0) | TrackBack(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

日本史「摂関政治」摂関政治@

日本史「摂関政治」摂関政治@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

10世紀後半から11世紀頃の、摂政・関白が引き続いて任命された時代の政治を摂関政治とよび、摂政・関白を出す家柄を(@)という。摂政・関白は藤原氏の「氏長者」を兼ね、人事の全体を掌握し、絶大な権力を握った。

(@)の内部では、摂政・関白の地位をめぐって争いが続いたが、(A)のときにおさまった。(A)は4人の娘を中宮(皇后)や皇太子妃とし、30年にわたって朝廷で権勢をふるった。(B)・(C)・(D)の3代の天皇は道長の外孫であり、(A)の後を継いだ藤原頼通は、これら3天皇の50年にわたって摂政・関白をつとめ、(@)の勢力は安定していた。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


@摂関家、A藤原道長、B後一条、C後朱雀、D後冷泉

10世紀後半から11世紀頃の、摂政・関白が引き続いて任命された時代の政治を摂関政治とよび、摂政・関白を出す家柄を摂関家という。摂政・関白は藤原氏の「氏長者」を兼ね、人事の全体を掌握し、絶大な権力を握った。

摂関家の内部では、摂政・関白の地位をめぐって争いが続いたが、藤原道長のときにおさまった。道長は4人の娘を中宮(皇后)や皇太子妃とし、30年にわたって朝廷で権勢をふるった。後一条・後朱雀・後冷泉の3代の天皇は道長の外孫であり、道長の後を継いだ藤原頼通は、これら3天皇の50年にわたって摂政・関白をつとめ、摂関家の勢力は安定していた。


前の問題→藤原家北家の発展C
次の問題→摂関政治A


原始・古代まとめ


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posted by えま at 07:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 日本史 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
こんなヤツです
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