【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数2Bより
第5問
平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
→OA・→OB=−2/3および→OC=−→OAを満たすとする。tを
0<t<1を満たす実数とし、線分ABをt:(1−t)に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。
(1) cos∠AOB=[アイ]/[ウ]である。
また、実数kを用いて、→OQ=k・→OPと表せる。したがって
→OQ=[エ]・→OA+[オ]・→OB ……{1}
→CQ=[カ]・→OA+[キ]・→OB
となる。
→OAと→OPが垂直となるのは、t=[ク]/[ケ]のときである。
[エ]〜[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} kt {1} (k−kt) {2} (kt+1) |
|{3} (kt−1) {4} (k−kt+1) {5} (k−kt−1) |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
以下、t≠[ク]/[ケ]とし、∠OCQが直角であるとする。
(2) ∠OCQが直角であることにより、(1)のkは
k=[コ]/([サ]t−[シ]) ……{2}
となることがわかる。
平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分をD1,含まない部分をD2とする。また、平面から
直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。そのうち、
点Aを含む部分をE1,含まない部分をE2とする。
・0<t<[ク]/[ケ]ならば、点Qは[ス]。
・[ク]/[ケ]<t<1ならば、点Qは[セ]。
[ス],[セ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} D1に含まれ、かつE1に含まれる |
| {1} D1に含まれ、かつE2に含まれる |
| {2} D2に含まれ、かつE1に含まれる |
| {3} D2に含まれ、かつE2に含まれる |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|→OQ|の関係について考えている。
t=1/2のとき、{1}と{2}により、|→OQ|=√[ソ]とわかる。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:t≠1/2のときにも、|→OQ|=√[ソ]となる場合があるかな。 |
|花子:|→OQ|をtを用いて表して、|→OQ|=√[ソ]を満たすtの値に |
| ついて考えればいいと思うよ。 |
|太郎:計算が大変そうだね。 |
|花子:直線OAに関して、t=1/2のときの点Qと対象な点をRとしたら|
| |→OR|=√[ソ]となるよ。 |
|太郎:→ORを→OAと→OBを用いて表すことができれば、tの値が求め|
| られそうだね。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
直線OAに関して、t=1/2のときの点Qと対象な点をRとすると
→CR=[タ]・→CQ
=[チ]・→OA+[ツ]・→OB
となる。
t≠1/2のとき、|→OQ|=√[ソ]となるtの値は[テ]/[ト]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 ベクトルの成分と大きさ
◆2 ベクトルの四則計算
◆3 円の中心と円周を結ぶと半径
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
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◆3 円の中心と円周を結ぶと半径
では今回の問題の内容を確認しましょう!
「平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり」
「→OA・→OB=−2/3および→OC=−→OAを満たす」
との記述があります。
半径1の円があり、その中心と円周上の点を始点・終点とするベクトルを考えて
いますね。
OA,OBは円Oの半径なので、|→OA|=|→OB|=1です。
内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθだから、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル:数学