本日配信のメルマガ。2020年センター数学１Ａ第１問[3]

本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学１Ａ第１問[3]を解説します。


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■　問題

2020年大学入試センター試験数学１Ａより

第１問

[3] ｃを定数とする。２次関数ｙ＝ｘ^2のグラフを２点(ｃ，０)，(ｃ＋４，０)を
通るように平行移動して得られるグラフをＧとする。

(1) Ｇをグラフにもつ２次関数は、ｃを用いて

　ｙ＝ｘ^2−２(ｃ＋[ツ])＋ｃ(ｃ＋[テ])

と表せる。

　２点(３，０)，(３，−３)を両端とする線分とＧが共有点をもつようなｃの値の
範囲は

　−[ト]≦ｃ≦[ナ]，[ニ]≦ｃ≦[ヌ]

である。

(2) [ニ]≦ｃ≦[ヌ]の場合を考える。Ｇが点(３，−１)を通るとき、Ｇは２次関数
ｙ＝ｘ^2のグラフをｘ軸方向に[ネ]＋√[ノ]，ｙ軸方向に[ハヒ]だけ平行移動した
ものである。また、このときＧとｙ軸との交点のｙ座標は[フ]＋[ヘ]√[ホ]である。


※ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　ｙ座標がゼロならｘ軸上
　◆２　ｘ軸との交点は２次方程式の解

(以下略)

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■　解説


　◆１　ｙ座標がゼロならｘ軸上

２０２０年センター数学１Ａも第１問[3]は、２次関数の問題でした。
問題の配置としては、例年通りでしたが、問われた内容は少し珍しいものでした。
普段通り「まずは平方完成して・・・」とやろうとして戸惑ってしまった人も多い
と思います。
とは言っても、まずは問題の設定を確実に読み取り、どんなときに何をするか
しっかり把握していれば特に難しい問題ではなかったと思います。

というわけで、まずは問題の設定を確認してみましょう！

「ｃを定数とする。２次関数ｙ＝ｘ^2のグラフを２点(ｃ，０)，(ｃ＋４，０)を
通るように平行移動して得られるグラフをＧとする。」

とあります。Ｇのグラフが通る２点はどちらもｙ座標がゼロなので、これらの点は
ともにｘ軸上の点であることが読み取れるはずです。


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　◆２　ｘ軸との交点は２次方程式の解

最初の設問では、このＧの式を求めます。

たとえばｙ＝(ｘ−１)(ｘ−２)という２次関数ならば、ｘ軸との交点は(１，０)，
(２，０)ですね。
２次方程式(ｘ−１)(ｘ−２)＝０の解がｘ軸との交点のｘ座標となります。

つまり、式が決まればｘ軸との交点が決まり、ｘ軸との交点が決まれば式が決まる
という関係が成り立ちます。

Ｇは(ｃ，０)，(ｃ＋４，０)を通り、これら２点はｘ軸上の点であることが
わかっています。

さらに、ｙ＝ｘ^2を平行移動したので、ｘの２乗の係数はそのまま１です。

ということは、


つづく


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高校物理「運動量の保存」ばねで連結された小球の衝突�B

高校物理「運動量の保存」ばねで連結された小球の衝突�B

◆問題

小球Ａ，Ｂ，Ｃがあり、小球ＡとＢはばね定数ｋの軽いばねで連結されている。小球ＡとＣの質量はｍ，小球Ｂの質量はＭとする。小球Ａ，Ｂ，Ｃはなめらかな水平面上にこの順に並べられ、小球Ａは左側が壁に接している。

参考図
│
│Ａ〜〜Ｂ　　Ｃ
└────────

(1) 小球Ｃが左向きに一定の速さｖ0で進み、小球Ｂと弾性衝突した。この衝突直後の小球Ｂの速さＶを、ｍ，Ｍ，ｖ0を用いて表せ。

(2) (1)の衝突の直後から、Ｂの運動に伴い、ばねはいったん縮んだ後、再び伸びて自然長に戻る。この間に壁が小球Ａに与える力積の大きさを、Ｖを用いて表せ。

(3) ばねが自然長に戻った後、Ａは壁を離れ、ばねは伸縮を繰り返しながら、全体として右向きに移動する。このとき、ばねが最も縮んだときの自然長からの縮みを求めよ。


この記事では(3)を解説します。


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◆解説

問題文にもありますが、バネが縮んで伸びて、自然長に戻った後は、Ａがバネに引っ張られる形になり、ＡとバネとＢは一体となって伸び縮みしながら右に動いていきます。

バネが最も縮んだときは、Ａから見たＢの相対速度はゼロになるので、このときはＡとＢの速さは同じになります。
このときのＡとＢの速さをＶ’とすれば、運動量保存の式を立てることができます。

Ａが壁から離れる瞬間は、Ａの速さはゼロ、Ｂの速さはＶだから、

ｍ×０＋ＭＶ＝ｍＶ’＋ＭＶ’
　　　ＭＶ＝(ｍ＋Ｍ)Ｖ’
よって、Ｖ’＝ＭＶ／(ｍ＋Ｍ)

さらに、力学的エネルギーの保存の式を立てることもできます。
「最も縮んだとき」のバネの縮みをｘとすると、

Ｋ1＋Ｕ1＝Ｋ2＋Ｕ2で、速さの条件は運動量の場合と同じだから、

０＋(１／２)ＭＶ²＋０＝(１／２)ｍＶ’²＋(１／２)ＭＶ’²＋(１／２)ｋｘ²

まず両辺を２倍して、ＭＶ²＝ｍＶ’²＋ＭＶ’²＋ｋｘ²

あとはｘについて解いていきます。

ｋｘ²＝ＭＶ²−ｍＶ’²−ＭＶ’²
　ｘ²＝(１／ｋ)(ＭＶ²−ｍＶ’²−ＭＶ’²)
　ｘ²＝(１／ｋ){ＭＶ²−Ｖ’²(ｍ＋Ｍ)}

Ｖ’＝ＭＶ／(ｍ＋Ｍ)を代入して、Ｖ’を消去して、

　ｘ²＝(１／ｋ){ＭＶ²−(ｍ＋Ｍ)Ｍ²Ｖ²／(ｍ＋Ｍ)²}
　ｘ²＝(１／ｋ){ＭＶ²−Ｍ²Ｖ²／(ｍ＋Ｍ)}
　ｘ²＝(１／ｋ){(ｍ＋Ｍ)ＭＶ²／(ｍ＋Ｍ)−Ｍ²Ｖ²／(ｍ＋Ｍ)}
　ｘ²＝(１／ｋ){ｍＭＶ²／(ｍ＋Ｍ)}

さらに整理すると、

　ｘ²＝ｍＭＶ²／ｋ(ｍ＋Ｍ)

よって、ｘ＝√{ｍＭＶ²／ｋ(ｍ＋Ｍ)}＝Ｖ√{ｍＭ／ｋ(ｍ＋Ｍ)}


この問題の最初に戻る→衝突直後のＢの速さ


■関連項目
力のモーメント・運動量まとめ


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