高校数学「微分積分」速度と道のり�A

高校数学「微分積分」速度と道のり�A

■　問題

ｘ軸上を加速度２で運動する物体がある。時刻ｔ＝０における速度を−２，そのときの座標をｘ＝０とするとき、次の問いに答えよ。

(1) ｔ1秒後の速度ｖ(ｔ1)を求めよ。

(2) ｔ1秒後の位置ｘ(ｔ1)を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

一定の加速度で運動する物体の位置も、物理の公式を使って式を表すこともできますが、ここでは数学の微分積分の単元の問題として解いてみましょう。

加速度、速度、道のりは、微分積分の関係になっています。
「速度を積分すると道のり(位置)になる」ということができます。

時刻ｔ＝ａからｔ＝ｂの物体の運動について、速さをｖ，道のりをｓとすると、

ｓ＝∫[a〜b]|ｖ(ｔ)|ｄｔ

と表すことができます。

今回の問題では、時間はｔ＝０からｔ＝ｔ1で、ｓ＝ｘ(ｔ1)を求めます。

(1)よりｖ(ｔ1)＝２ｔ−２だから、

ｘ(ｔ1)＝∫[0〜t1](２ｔ−２)ｄｔ
　　　＝[ｔ²−２ｔ][0〜t1]
　　　＝ｔ1²−２ｔ1


次の問題→ｔ＝０からｔ＝４までの道のり


◆関連項目
微分積分(数学３)まとめ
物理…速度、速さ、加速度


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