◆問題
△ＯＡＢにおいて、→ＯＡ＝→ａ，→ＯＢ＝→ｂとし、ＯＢの中点をＤとする。
(1) →ＡＤを→ａ，→ｂで表せ。
(2) ＡＢを３：１に内分する点をＥとするとき、→ＯＥを→ａ，→ｂで表せ。
(3) ＡＤを６：１に内分する点をＦとするとき、→ＯＦを→ａ，→ｂで表せ。
(4) ３点Ｏ，Ｅ，Ｆが一直線上にあることを示せ。
この記事では(4)を解説します。
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◆解説
「３点が一直線上にある」ときは「それらの点を始点・終点とするベクトルを２つ作ると平行になる」
ということができます。
そして、ベクトルの平行は、「片方を何倍かするともう片方に一致する」ですね。
今回の問題では、例えば→ＯＥと→ＯＦを比べればＯＫです。
(2)より、→ＯＥ＝(→ａ＋３・→ｂ)／４
(3)より、→ＯＦ＝(→ａ＋３・→ｂ)／７
で、
(４／７)・→ＯＥ＝(４／７)・(→ａ＋３・→ｂ)／４
＝(→ａ＋３・→ｂ)／７
だから→ＯＦと一致します。
つまり、→ＯＥ∥→ＯＦですね。
ならば、３点Ｏ，Ｅ，Ｆは一直線上にある。ということができます。
この問題の最初に戻る→→ＡＤを→ａ，→ｂで
◆関連問題
線分ＡＢの内分・外分、長さ、△ＡＢＣと点Ｐに関する位置ベクトル
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