高校物理「波動」「ドップラー効果」反射板が動くとき�@

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◆問題

観測者Ｏ，音源Ｓ，反射板Ｒが一直線上に並んでいる。Ｏ，Ｓは静止し、Ｒは速さｖで左向きに移動している。
音源の出す音の振動数をｆ，音速をＶとして次の問いに答えよ。

(1) 風が吹いていないとき、観測者Ｏが聞く、反射板Ｒによる反射音の振動数を求めよ。


参考図

　　　　　　　←
　Ｏ　　Ｓ　　Ｒ
　｜　　▼　　｜
―――――――――


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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をｆ'，音源の振動数をｆ，音速をＶ，音源の速度をｖs，観測者の速度をｖoとすると、

ｆ'＝{(Ｖ−ｖo)／(Ｖ−ｖs)}ｆ

の式が成り立ちます。

今回の問題では、反射板が動きます。

反射板は、一度音を受け取り、即座に反対方向に出すと考えることができます。
音を受け取るときは観測者、出すときは音源と考えて式を立てます。

まずＲが受ける音をｆ1として式を立てます。ｖs＝０，ｖo＝−ｖ，音源の振動数はｆだから、

ｆ1＝[{(Ｖ−(−ｖ)}／(Ｖ−０)]ｆ
　＝{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ

反射板Ｒの受ける音の振動数は{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ[Ｈｚ]です。
Ｒはこの振動数の音を出しながら左にｖの速さで移動するので、反射音に関してはｖs＝ｖです。そして観測者Ｏは動かないので、ｖo＝０です。
つまり、求める振動数をｆ'とすると、

ｆ'＝{(Ｖ−０)／(Ｖ−ｖ)}{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ
　＝{Ｖ／(Ｖ−ｖ)]{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ
　＝{(Ｖ＋ｖ)／(Ｖ−ｖ)}ｆ　　←Ｖで約分した


次の問題→風があるとき


◆関連問題
風があるとき、反射板があるとき

ドップラー効果
波動まとめ


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■　問題

2019年センター試験数１Ａより

第１問

[3] ａとｂはともに正の実数とする。ｘの２次関数

　　ｙ＝ｘ^2＋(２ａ−ｂ)ｘ＋ａ^2＋１

のグラフをＧとする。

(1) グラフＧの頂点の座標は

　　(ｂ／[チ]−ａ，−ｂ^2／[ツ]＋ａｂ＋[テ])

である。

(2) グラフＧが点(−１，６)を通るとき、ｂのとり得る値の最大値は[ト]であり、
そのときのａの値は[ナ]である。

　ｂ＝[ト]，ａ＝[ナ]のとき、グラフＧは２次関数ｙ＝ｘ^2のグラフをｘ軸方向に
[ニ]／[ヌ]，ｙ軸方向に[ネノ]／[ハ]だけ平行移動したものである。


※ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　２次関数は頂点が重要
　◆２　オススメの平方完成の方法
　◆３　１行飛ばして２乗

(以下略)

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■　解説


◆１，２は省略します。


　◆３　１行飛ばして２乗

では今回の問題です。

２次関数「ｙ＝ｘ^2＋(２ａ−ｂ)ｘ＋ａ^2＋１」をＧとして、Ｇについて考えます。

まず最初は頂点を聞いています。
頂点なら、平方完成ですね。

少し難しい式ですが、基本は◆２のような簡単な関数と同様です。
落ち着いてひとつひとつやってみましょう！

まずは１行空けて、ｘの係数の半分を入れて２乗の式を書く。

ｙ＝ｘ^2＋(２ａ−ｂ)ｘ＋ａ^2＋１
　＝
　＝{ｘ＋(２ａ−ｂ)／２}^2

次に真ん中の行に展開した式を書く。

ｙ＝ｘ^2＋(２ａ−ｂ)ｘ＋ａ^2＋１
　＝ｘ^2＋(２ａ−ｂ)ｘ＋{(２ａ−ｂ)／２}^2
　＝{ｘ＋(２ａ−ｂ)／２}^2

カッコの２乗を作るために追加した項を差し引き・・・


つづく


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