高校物理「波動」「ドップラー効果」車の速さを求める問題�@

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◆問題

水平な平面上に設置された測定装置に向かって、車が接近してくるとする。測定装置から振動数ｆ0の音波を出すと、その音波は車に当たって反射して、測定装置に戻ってくる。この戻ってきた音波を測定することにより、車の速さを求めることができる。音速をＶ，車の速さをｖ，Ｖ＞ｖとして次の問いに答えよ。

(1) 測定装置に戻ってきた音波の振動数ｆ'を求めよ。


参考図

装置　　　　車
　▼　　　　←
　｜　　　　□□　　　　　
―――――――――


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◆解説

ドップラー効果の問題です。
観測者が聞く音の振動数をｆ'，音源の振動数をｆ，音速をＶ，音源の速度をｖs，観測者の速度をｖoとすると、

ｆ'＝{(Ｖ−ｖo)／(Ｖ−ｖs)}ｆ

の式が成り立ちます。

まず、測定装置から音が出て、その音は車に反射して測定装置に戻ってきて、測定装置はその音の振動数を測定することができる。という設定ですね。

この場合、車は「動く反射板」のはたらきをします。反射板が動くときのドップラー効果の場合と同様です。
つまり、振動数ｆ0の音波を受け取って、動きながら反射するので、ドップラー効果の影響を受けた振動数ｆ'の音を出します。

車は音に向かって進んでいるので、ｖo＝−ｖと考えます。車が受け取る音の振動数をｆ1とすると、

ｆ1＝[{(Ｖ−(−ｖ)}／(Ｖ−０)]ｆ0
　＝{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ0

ですね。
車はｖの速さでこの振動数の音を出すと考えられるので、

ｆ'＝{(Ｖ−０)／(Ｖ−ｖ)}{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ0
　＝{Ｖ／(Ｖ−ｖ)}{(Ｖ＋ｖ)／Ｖ}ｆ0
　＝{(Ｖ＋ｖ)／(Ｖ−ｖ)}ｆ0

これが車が反射する音、すなわち、測定装置が観測する音の振動数です。


次の問題→うなりを使って車の速さを求める


◆関連問題
反射板が動くときのドップラー効果

ドップラー効果
波動まとめ


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本日配信のメルマガ。2019年センター数学２Ｂ第１問[2]

本日配信のメルマガでは、2019年大学入試センター試験数学２Ｂ第１問[2]を解説します。


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■　問題

2019年センター試験数２Ｂより

第１問

[ 2 ]　連立方程式

　　{ｌｏｇ[2](ｘ＋２)−２ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝−１　……{2}
　　{(１／３)^y−１１(１／３)^(x+1)＋６＝０　……{3}

を満たすｘ，ｙを求めよう。

　真数の条件により、ｘ，ｙのとり得る値の範囲は[タ]である。[タ]に当てはまる
ものを、次の{0}〜{5}のうちから一つ選べ。ただし、対数ｌｏｇ[a]ｂに対し、
ａを底といい、ｂを真数という。

{0} ｘ＞０，ｙ＞０　　{1} ｘ＞２，ｙ＞３　　{2} ｘ＞−２，ｙ＞−３
{3} ｘ＜０，ｙ＜０　　{4} ｘ＜２，ｙ＜３　　{5} ｘ＜−２，ｙ＜−３

　底の変換公式により

　　ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝{ｌｏｇ[2](ｙ＋３)}／[チ]

である。よって、{2}から

　　ｙ＝[ツ]ｘ＋[テ]　……{4}

が得られる。

　次に、ｔ＝(１／３)^xとおき、{4}を用いて{3}をｔの方程式に書き直すと

　　ｔ^2−[トナ]ｔ＋[ニヌ]＝０　……{5}

が得られる。また、ｘが[タ]におけるｘの範囲を動くとき、ｔのとり得る値の
範囲は

　　[ネ]＜ｔ＜[ノ]　……{6}

である。

　{6}の範囲で方程式{5}を解くと、ｔ＝[ハ]となる。したがって、連立方程式
{2}，{3}を満たす実数ｘ，ｙの値は

　　ｘ＝ｌｏｇ[3]([ヒ]／[フ])，ｙ＝ｌｏｇ[3]([ヘ]／[ホ])

であることがわかる。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、対数の底やマーク部分の□は[ ]で
表記しています。

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■　解説目次

　◆１　分数の指数の計算
　◆２　指数・対数の関係
　◆３　対数の計算法則
　◆４　底が正の数なら真数も正の数

(以下略)

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■　解説


◆１〜３は省略します。


　◆４　底が正の数なら真数も正の数

では今回の問題です。

　　{ｌｏｇ[2](ｘ＋２)−２ｌｏｇ[4](ｙ＋３)＝−１　……{2}
　　{(１／３)^y−１１(１／３)^(x+1)＋６＝０　……{3}

このような連立方程式のｘ，ｙを求める問題です。

指数・対数に慣れていない人にとっては、途方もなく難しく見えると思いますが、
大学入試レベルとしては、普通程度の難易度の式です。
落ち着いてひとつひとつわかることを確認して、式や値を求めていきましょう！

最初の設問では、真数条件より、ｘ，ｙの値の範囲を表します。

指数対数の底が正の数ならば、その真数も正の数になる。というのが真数条件です。
つまり、もとの数が正の数ならば、それを何乗しても正の数にしかならない。
ということですね。

ということは、ｌｏｇ[2](ｘ＋２)のｘ＋２は正の数、つまり、ｘ＋２＞０である
ことがわかります。これを解くと、


(以下略)


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日本史「室町幕府の成立」南北朝の動乱�@

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

1336年、京都を制圧した足利尊氏は、持明院統の(�@)天皇を立て、建武式目を発表した。これに対し後醍醐天皇は、(�A)の山中にこもって正当の皇位を主張した。
これが(�A)の南朝(大覚寺統)と(�B)の北朝(持明院統)による南北朝の動乱の始まりである。


解答はこのページ下


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�@光明、�A吉野、�B京都

1336年、京都を制圧した足利尊氏は、持明院統の光明天皇を立て、建武式目を発表した。これに対し後醍醐天皇は、吉野の山中にこもって正当の皇位を主張した。
これが吉野の南朝(大覚寺統)と京都の北朝(持明院統)による南北朝の動乱の始まりである。


前の問題→建武の新政�A
次の問題→南北朝の動乱�A


中世まとめ、原始・古代まとめ


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