【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2019年センター試験数２Ｂより
第３問
初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳnとする。また、
数列{Ｔn}は、初項が−１であり、{Ｔn}の階差数列が数列{Ｓn}であるような数列と
する。
(1) Ｓ2＝[アイ]，Ｔ2＝[ウ]である。
(2) {Ｓn}と{Ｔn}の一般項は、それぞれ
Ｓn＝[エ]^[オ]−[カ]
Ｔn＝([キ]^[ク])／[ケ]−ｎ−[コ]／[サ]
である。ただし、[オ]と[ク]については、当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうち
から一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
{0} ｎ−１ {1} ｎ {2} ｎ＋１ {3} ｎ＋２ {4} ｎ＋３
(3) 数列{ａn}は、初項が−３であり、漸化式
ｎａn+1＝４(ｎ＋１)ａn＋８Ｔn (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすとする。{ａn}の一般項を求めよう。
そのために、ｂn＝(ａn＋２Ｔn)／ｎにより定められる数列{ｂn}を考える。{ｂn}
の初項は[シス]である。
{Ｔn}は漸化式
Ｔn+1＝[セ]Ｔn＋[ソ]ｎ＋[タ] (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすから、{ｂn}は漸化式
ｂn+1＝[チ]ｂn＋[ツ] (ｎ＝１，２，３，…)
を満たすことがわかる。よって、{ｂn}の一般項は
ｂn＝[テト]・[チ]^[ナ]−[ニ]
である。ただし、[ナ]については、当てはまるものを、次の{0}〜{4}のうちから
一つ選べ。
{0} ｎ−１ {1} ｎ {2} ｎ＋１ {3} ｎ＋２ {4} ｎ＋３
したがって、{Ｔn}，{ｂn}の一般項から{ａn}の一般項を求めると
ａn＝{[ヌ]([ネ]ｎ＋[ノ])[チ]^[ナ]＋[ハ]}／[ヒ]
である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、数列{ａn}のｎ＋１項目はａn+1、
一般項ｎ^2の初項から第ｎ項までの数列の和はΣ[k=1〜n]ｋ^2、マル１は{1}、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ 等差数列と等比数列の用語・公式
◆２ Ｓ2は初項＋第２項
◆３ 公比＞１なのでｒ−１に代入
(以下略)
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■ 解説
◆１は省略します。
◆２ Ｓ2は初項＋第２項
では今回の問題を確認してみましょう！
「初項が３，公比が４の等比数列の初項から第ｎ項までの和をＳn」と言って
います。
最初の設問では、この数列のＳ2を求めます。
初項が３，公比が４なので、Ｓ2＝３＋３×４＝１５
よって、[アイ]＝１５
・・・一応これでも正解ですが、続きの問題のことも考えると、ちゃんと公式を
使って求められるようにしておいた方がよいです。
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◆３ 公比＞１なのでｒ−１に代入
◆１で触れたように、等比数列の和は
和Ｓn＝{ａ(ｒ^n−１)}／(ｒ−１)＝{ａ(１−ｒ^n)}／(１−ｒ)
で求められます。
今回の問題では、初項ａ＝３，公比ｒ＝４，項数ｎ＝２なので、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
