本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学1A第2問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数1Aより
第2問
[2] 太郎さんと花子さんは、バスケットボールのプロ選手の中には、リングと同じ
高さでシュートを打てる人がいることを知り、シュートを打つ高さによってホールの
軌道がどう変わるかについて考えている。
二人は、図1のように座標軸が定められた平面上に、プロ選手と花子さんが
シュートを打つ様子を真横から見た図をかき、ボールがリングに入った場合に
ついて、後の[仮定]を設定して考えることにした。長さの単位はメートルであるが、
以下では省略する。
図はこちら→
http://www.a-ema.com/img/center2023math1a22.png┌[仮定]―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|・平面上では、ボールを直径0.2の円とする。 |
|・リングを真横から見たときの左端を点A(3.8,3),右端を(4.2,3)と|
| し、リングの太さは無視する。 |
|・ボールがリングや他のものに当たらずに上からリングを通り、かつ、ボールの|
| 中心がABの中点M(4,3)を通る場合を考える。ただし、ボールがリングに|
| 当たるとは、ボールの中心とAまたはBの距離が0.1以下になることとする|
|・プロ選手がシュートを打つ場合のボールの中心を点Pとし、Pは、はじめに点|
| P0(0,3)にあるものとする。また、P0,Mを通る、上に凸の放物線をC1 |
| とし、PはC1上を動くものとする。 |
|・花子さんがシュートを打つ場合のボールの中心を点Hとし、Hは、はじめに点|
| H0(0,2)にあるものとする。また、H0,Mを通る、上に凸の放物線をC2 |
| とし、HはC2上を動くものとする。 |
|・放物線C1やC2に対して、頂点のy座標を「[シュートの高さ]」とし、頂点の|
| x座標を「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」とする。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(1) 放物線C1の方程式におけるx^2の係数をaとする。放物線C1の方程式は
y=ax^2−[キ]ax+[ク]
と表すことができる。また、プロ選手の「[シュートの高さ]」は
−[ケ]a+[コ]
である。
放物線C2の方程式におけるx^2の係数をpとする。放物線C2の方程式は
y=p{x−(2−1/8p)}^2−(16p−1)^2/64p+2
と表すことができる。
プロ選手と花子さんの[ボールが最も高くなるときの地上の位置]の比較の記述と
して、次の{0}〜{3}のうち、正しいものは[サ]である。
[サ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} プロ選手と花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」は |
| つねに一致する。 |
|{1} プロ選手の「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方が、つねに |
| Mのx座標に近い。 |
|{2} 花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方が、つねに |
| Mのx座標に近い。 |
|{3} プロ選手の「[ボールが最も高くなるときの地上の位置]」の方がMのx座標|
| に近いときもあれば、花子さんの「[ボールが最も高くなるときの地上の |
| 位置]」の方がMのx座標に近いときもある。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 二人は、ボールがリングすれすれを通る場合のプロ選手と花子さんの
「[シュートの高さ]」について次のように話している。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:例えば、プロ選手のボールがリングに当たらないようにするには、Pが |
| リングの左端Aのどのくらい上を通れば良いのかな。 |
|花子:Aの真上の点でPが通る点Dを、線分DMがAを中心とする半径0.1の|
| 円と接するようにとって考えてみたらどうかな。 |
|太郎:なるほど。Pの軌道は上に凸の放物線で山なりだから、その場合、図2の|
| ように、PはDを通った後で線分DMより上側を通るのでボールはリング|
| に当たらないね。 |
|花子:放物線C1とC2がDを通る場合でプロ選手と私の「[シュートの高さ]」を|
| 比べてみようよ。 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
図2はこちら→
http://www.a-ema.com/img/center2023math1a22b.png 図2のように、Mを通る直線lが、Aを中心とする半径0.1の円に直線ABの
上側で接しているとする。また、Aを通り直線ABに垂直な直線を引き、lとの
交点をDとする。このときAD=√3/15である。
よって、放物線C2がDを通るとき、C1の方程式は
y=−([シ]√[ス]/[セソ])(x^2−[キ]x)+[ク]
となる。
また、放物線C2がDを通るとき、(1)で与えられたC2の方程式を用いると、
花子さんの「[シュートの高さ]」は約3.4と求められる。
以上のことから、放物線C1とC2がDを通るとき、プロ選手と花子さんの
「[シュートの高さ]」を比べると、[タ]の「[シュートの高さ]」の方が大きく、
その差はボール[チ]である。なお、√3=1.7320508…である。
[タ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} プロ選手 {1} 花子さん |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[チ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 約1個分 {1} 約2個分 {2} 約3個分 {3} 約4個分 |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 2023年数学1A第2問[2]は2次関数
◆2 C1の記述を探してみると・・・
◆3 代入してbについて解く
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 代入してbについて解く
それではC1の式を求めていきましょう!
問題文に、「放物線C1の方程式におけるx^2の係数をaとする」とあり、通る点の
座標は◆2で確認した通りです。
求める2次関数の式を、y=ax^2+bx+cとすると、
(0,3)を代入すると、3=c
(4,3)を代入すると、3=16a+4b+c
さらに・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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