本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学2B第2問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2023年共通テスト数2Bより
第2問
[1]
(1) kを正の定数とし、次の3次関数を考える。
f(x)=x^2・(k−x)
y=f(x)のグラフとx軸との共有点の座標は(0,0)と([ア],0)である。
f(x)導関数f'(x)は
f'(x)=[イウ]x^2+[エ]kx
である。
x=[オ]のとき、f(x)は極小値[カ]をとる。
x=[キ]のとき、f(x)は極大値[ク]をとる。
また、0<x<kの範囲においてx=[キ]のときは最大となることがわかる。
[ア],[オ]〜[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0 {1} (1/3)k {2} (1/2)k {3} (2/3)k |
|{4} k {5} (3/2)k {6} −4k^2 {7} (1/8)k^2 |
|{8} (2/27)k^3 {9} (4/27)k^3 {a} (4/9)k^3 {b} 4k^3|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 後の図のように底面が半径9の円で高さが15の円錐に内接する円柱を考える。
円柱の底面の半径と体積をそれぞれx,Vとする。Vをxの式で表すと
V=([ケ]/[コ])πx^2・([サ]−x) (0<x<9)
である。(1)の考察より、x=[シ]のときVは最大となることがわかる。Vの最大値
は[スセソ]πである。
図はこちら→
http://www.a-ema.com/img/center2023math2b21.png※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
↓↓微分・積分の解説記事はこちら↓↓
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■ 解説目次
◆1 導関数は傾きを表す
◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
◆3 x軸上はy=0
◆4 導関数だから微分
(以下略)
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■ 解説
◆1,2は省略します。
◆3 x軸上はy=0
では今回の問題です。
関数f(x)=x^2・(k−x)が与えられていて、このy=f(x)とx軸との交点を
求めます。
x軸上はy=0だから、イコールゼロで解けばOK!ですね!
x^2・(k−x)=0
よって、x^2=0よりx=0,k−x=0よりx=kが得られます。
つまり、x軸との交点は(0,0)と(k,0)ですね。
よって、[ア]=4
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆4 導関数だから微分
続いてf'(x)を求めます。
導関数は普通に微分の計算ですね。
◆1でも触れたように、
★ y=x^nならば、y'=nx^(n-1)
です。
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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