2023年05月31日

高校数学「式と証明」「複素数と方程式」まとめ

高校数学「式と証明」「複素数と方程式」まとめ

高校数学2の「式と証明」「複素数と方程式」に関する、このブログに掲載した解説・問題の一覧です。


◆ 公式・解き方・考え方
等式の証明の基本的な方法

相加相乗平均の関係

2次方程式の解と係数の関係の公式を忘れてしまったとき

剰余の定理と因数定理

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◆ 問題

●等式
x(a+1)+y(b−a)=3x+2yがx,yの値にかかわらず常に成り立つようなa,bの値を求める
x+y+z=0のとき、x^3+y ^3+z^3=3xyzであることを証明する

●不等式
a>0のとき、不等式a+1/a≧2を証明
2+5y2+2x+5≧4xyを証明する
不等式a+b+1/(a+b)≧2の証明
a>0,b>0,ab=6のときの2a+bの最小値

●方程式・複素数
x^2−x+3=0の解をα,βとするとき、α+β,αβの値を求めよ2次方程式x^2−2x+3=0の2つの解をα,βとするとき…
2次方程式x2−mx+12=0の2つの解の比が3:4であるとき、定数mの値と2つの解を求めよ。
2次方程式x^2+2mx+2m^2−5=0が1より大きい異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ
2−2ix+3(2i−3)=0を満たすxの値

●高次方程式・因数定理
1の3乗根のうち虚数のものの1つをωとするとき(1) ω2+ω+1の値を求めよ。など

3次方程式x^3−3x^2+2=0を解く
3次方程式x3+ax2−x−6=0の解の1つが2のとき、定数aの値と他の解を求めよ。
3次方程式x3+ax2+bx−6=0が−1と2を解にもつとき、定数a,bの値と他の解を求めよ。

整式P(x)=x3+ax2+bx+1をx2+x−2で割った余りが−2x+3であるとき、定数a,bの値を求めよ。
整式P(x)を、x−2で割ったときの余りが−1,x+3で割ったときの余りが9であるとき、P(x)を(x−2)(x+3)で割ったときの余りを求めよ。
整式P(x)=x^3+ax^2+bx+1をx^2+x−2で割った余りが−2x+3であるとき、定数a,bの値を求めよ。
整式P(x)をx2+x−2で割った余りが−3x+8,x2−x−6で割った余りが−5x+4であるとき、P(x)をx2−4x+3で割った余りを求めよ。


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ラベル:数学
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中学歴史「第二次世界大戦」太平洋戦争

中学歴史「第二次世界大戦」太平洋戦争

◆問題
空欄に適語を入れてください。

@1941年、日本は北方の守りを固めるためにソ連と[ ]を結んだ。

A日本は1940年にフランス領インドシナ北部、1941年に南部を占領し、東南アジアの人々に対し、[ ]を唱えた。アメリカはこれに対して[ ]の輸出禁止を決定した。

B1941年に日本が真珠湾のアメリカ軍基地を攻撃し、マレー半島に上陸して[ ]が始まった。

C戦争が長期化すると、文科系の大学生などが軍隊に招集される[ ]が行われた。また、労働力の不足を補うため、中学生や女学生などが軍需工場で働かされた。

D日本は都市を中心に空襲を受け、1945年3月10日の[ ]では、約10万人の死者が出た。

E空襲が激しくなると、都市の小学生を集団で農村に移す[ ]が行われた。


解答はこのページ下


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◆解答

@1941年、日本は北方の守りを固めるためにソ連と[日ソ中立条約]を結んだ。

A日本は1940年にフランス領インドシナ北部、1941年に南部を占領し、東南アジアの人々に対し、[大東亜共栄圏]を唱えた。アメリカはこれに対して[石油]の輸出禁止を決定した。

B1941年に日本が真珠湾のアメリカ軍基地を攻撃し、マレー半島に上陸して[太平洋戦争]が始まった。

C戦争が長期化すると、文科系の大学生などが軍隊に招集される[学徒出陣]が行われた。また、労働力の不足を補うため、中学生や女学生などが軍需工場で働かされた。

D日本は都市を中心に空襲を受け、1945年3月10日の[東京大空襲]では、約10万人の死者が出た。

E空襲が激しくなると、都市の小学生を集団で農村に移す[集団疎開]が行われた。


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト英語第6問B 第2段落まで

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト英語第6問Bの本文第2段落までの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第6問

B You are in a student group preparing for an international science
presentation contest. You are using the following passage to create your
part of the presentation on extraordinary creatures.


 Ask someone to name the world's toughest animal, and they might say the
Bactrian camel as it can survive in temperatures as high as 50℃, or the
Arctic fox which can survive in temperatures lower than -58℃. However,
both answers would be wrong as it is widely believed that the tardigrade
is the toughest creature on earth.

 Tardigrades, also known as water bears, are microscopic creatures, which
are between 0.1 mm to 0.5 mm in length. They live almost everywhere, from
6,000-meter-high mountains to 4,699 meters below the ocean's surface. They
can even be found under thick ice and in hot springs. Most live in water,
but some tardigrades can be found in some of the driest places on earth.
One researcher reported finding tardigrades living under rocks in a desert
without any recorded rainfall for 25 years. All they need are a few drops
or a thin layer of water to live in. When the water dries up, so do they.
They lose all but three percent of they body's water and their metabolism
slows down to 0.01% of its normal speed. The dried-out tardigrade is now in
a state called "tun," a kind of deep sleep. It will continue in this state
until it is once again soaked in water. Then, like a sponge, it absorbs the
water and springs back to life again as if nothing had happened. Whether
the tardigrade is in tun for 1 or 10 years does not really matter. The
moment it is surrounded by water, it comes alive again. When tardigrades
are in a state of tun, they are so tough that they can survive in
temperatures as low as -272℃ and as high as 151℃. Exactly how they
achieve this is still not fully understood.


つづく


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

B You are in a student group / preparing
/ for an international science presentation contest.
あなたは学生グループに入っている / 準備する
/ ある国際的な科学プレゼンテーションコンテストのために

You are using / the following passage / to create your part
/ of the presentation / on extraordinary creatures.
あなたは使っている / 次の文章を / あなたのパートを作るために
/ プレゼンテーションの / 変わった生き物についての


 Ask someone / to name the world's toughest animal, / and they might say
/ the Bactrian camel / as it can survive / in temperatures as high as 50℃,
誰かに尋ねなさい / 世界で最もタフな動物の名前を言う / そして言うかも知れない
/ Bactrian camelだと / それは生き残ることができる / 50℃もの高温でも


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

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          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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【中学5科】高校入試の重要ポイント
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ラベル:英語
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高校古文「形容詞」ク活用

高校古文「形容詞」ク活用

◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
ク活用|清し|清||[ ]|[ ]|し|[ ]|[ ]|○|
        ||[ ]|[ ]|○|[ ]|○|[ ]|

●ク活用とシク活用の標準的な見分け方
「[ ]」をつけて、活用語尾が「く」になれば「ク活用」、「しく」になれば「シク活用」


↓↓解答はお知らせの下↓↓

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◆解答

●活用表
ク活用|清し|清||[く] |[く] |し|[き]|[けれ]|○|
        ||[から]|[かり]|○|[かる]|○|[かれ]|

●ク活用とシク活用の標準的な見分け方
[なる]」をつけて、活用語尾が「く」になれば「ク活用」、「しく」になれば「シク活用」


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高校古文用言まとめ


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日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革D

日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革D

◆問題

空欄に適語を入れてください。

諸藩でも、田畑の荒廃や年貢収入の減少は同様であり、農村の復興を目指して特産物生産の奨励や藩の(@)制を強化したり、藩校を設立して人材の登用に力を注ぐなどした。改革に成果を挙げた熊本藩の(A)、米沢藩の上杉治憲、秋田藩の佐竹義和らは名君とみなされた。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@専売制、A細川重賢

諸藩でも、田畑の荒廃や年貢収入の減少は同様であり、農村の復興を目指して特産物生産の奨励や藩の専売制を強化したり、藩校を設立して人材の登用に力を注ぐなどした。改革に成果を挙げた熊本藩の細川重賢、米沢藩の上杉治憲、秋田藩の佐竹義和らは名君とみなされた。


前の問題→寛政の改革C
次の問題→鎖国の動揺@


近世まとめ
中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年05月30日

高校数学「相加相乗平均」不等式a+b+1/(a+b)≧2の証明

高校数学「相加相乗平均」不等式a+b+1/(a+b)≧2の証明

◆問題
a>0,b>0のとき、不等式a+b+1/(a+b)≧2を証明せよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

不等式の証明では、相加相乗平均の関係を使うと、簡単にできる場合があります。

「相加相乗平均」とは、2つの数をa,bとすると、

(a+b)/2≧√ab

になるという関係のことです。
左辺が足して2で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。
これは改めて証明しなくても、「公式・定理」と同様に使うことができます。

(a+b)/2≧√abの両辺を2倍して、a+b≧2√abの形で使うことも多いです。


相加相乗平均の関係より、(a+b)≧2√abで、a=a+b,b=1/(a+b)とすると、

a+b+1/(a+b)≧2√{(a+b)×1/(a+b)}

この式は成り立つことは間違いありません。
右辺を計算すると、約分して、

a+b+1/(a+b)≧2√1
a+b+1/(a+b)≧2

相加相乗平均の式から、与式と同じ形の式を導くことができました。
よって、与式は成り立つことがわかります。


ちなみに、等号が成り立つのは、

(a+b)=1/(a+b)より、(a+b)2=1のとき、すなわち、a+b=1のときです。


◆関連項目
相加相乗平均の基本
相加相乗平均の証明問題


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ラベル:数学
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中学歴史「第二次世界大戦」第二次世界大戦

中学歴史「第二次世界大戦」第二次世界大戦

◆問題
空欄に適語を入れてください。

@1939年にドイツは[ ]と不可侵条約を結び、9月に[ ]に侵攻した。これをきっかけとして、第二次世界大戦が始まった。

A1940年、イタリアがドイツ側で参戦した。同年[ ]が結ばれた。

Bアメリカとイギリスは1941年に[ ]を発表し、ファシズムに対決する決意と戦後の平和構想を明らかにした。

Cドイツは[ ]を徹底的に差別し、この民族の人々は第二次世界大戦中に約600万人が死亡したとされる。

Dドイツの占領地では、ナチスの支配に反対する人々が[ ]と呼ばれる抵抗運動をおこした。


解答はこのページ下


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◆解答

@1939年にドイツは[ソ連]と不可侵条約を結び、9月に[ポーランド]に侵攻した。これをきっかけとして、第二次世界大戦が始まった。

A1940年、イタリアがドイツ側で参戦した。同年[日独伊三国同盟]が結ばれた。

Bアメリカとイギリスは1941年に[大西洋憲章]を発表し、ファシズムに対決する決意と戦後の平和構想を明らかにした。

Cドイツは[ユダヤ人]を徹底的に差別し、この民族の人々は第二次世界大戦中に約600万人が死亡したとされる。

Dドイツの占領地では、ナチスの支配に反対する人々が[レジスタンス]と呼ばれる抵抗運動をおこした。


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学2B第1問[2]

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2023年共通テスト数2Bより

第1問

[2]

 (1) a>0,a≠1,b>0のとき、lob[a]b=xとおくと、[ツ]が成り立つ。

 [ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――┐
| {0} x^a=b   {1} x^b=a   |
| {2} a^x=b   {3} b^x=a   |
| {4} a^b=x   {5} b^a=x   |
└―――――――――――――――――――┘


(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。

(i) log[5]25=[テ],log[9]27=[ト]/[ナ]であり、どちらも有理数
である。

(ii) log[2]3が有理数か無理数のどちらであるかを考えよう。

 log[2]3が有理数であると仮定すると、log[2]3>0であるので、2つの
自然数p,qを用いてlog[2]3=p/qと表すことができる。このとき、(1)に
よりlog[2]3=p/qは[ニ]と変形できる。いま、2は偶数であり3は奇数で
あるので、[ニ]を満たす自然数p,qは存在しない。

 したがって、log[2]3は無理数であることがわかる。

(iii) a,bを2以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「[ヌ]ならば
log[a]bはつねに無理数である」ことがわかる。


[ニ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} p^2=3q^2   {1} q^2=p^3   {2} 2^q=3^p   |
| {3} p^3=2q^3   {4} p^2=q^3   {5} 2^p=3^q   |
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ヌ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} aが偶数                         |
| {1} bが偶数                         |
| {2} aが奇数                         |
| {3} bが奇数                         |
| {4} aとbがともに偶数、またはaとbがともに奇数       |
| {5} aとbのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数       |
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、底がa真数がbの対数はlog[a]b、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。

        ↓↓指数・対数の解説記事はこちら↓↓
     http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html

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■ 解説目次

 ◆1 分数は累乗根・マイナスは逆数
 ◆2 指数・対数の関係
 ◆3 対数の計算法則
 ◆4 log[a]b=xは「aをbにするにはx乗」
 ◆5 log[a]b=xとおいて考える

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 log[a]b=xは「aをbにするにはx乗」

では今回の問題です。

log[a]b=xを指数を使って書き換える問題です。

この式は、「aをbにするにはx乗」を意味します。言い換えれば、

「aをx乗したらbになる」

ですね。

つまり、log[a]b=xを書き換えると、a^x=bとなります。

よって、[ツ]=2


・・・配点を確認したら、たったこれだけで3点!?
2Bを使う人は絶対に正解すべき問題ですね!


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆5 log[a]b=xとおいて考える

(2)では、a,bに色々な値を入れた場合について考えます。

(i) log[5]25=[テ],log[9]27=[ト]/[ナ]

先ほど◆4でも触れたように、log[a]bは「aをbにするには何乗か?」であり、
log[a]b=xとすれば、a^x=bです。この関係を用いてそれぞれを指数で
書き換えていきましょう!

log[5]25=xとすると、


(以下略)


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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【中学5科】高校入試の重要ポイント
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高校古文「動詞」カ行変格活用・サ行変格活用

高校古文「動詞」カ行変格活用・サ行変格活用

◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
カ行変格活用
|来|(来)||[ ]|[ ]|く|[ ]|[ ]|[ ]|

サ行変格活用
|為|(為)||[ ]|[ ]|す|[ ]|[ ]|[ ]|

●カ変動詞は「来」の1語だけ。
サ変動詞は「為」の1語だけだが、「名詞+す」など多数の複合語がある。


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◆解答

●活用表
カ行変格活用
|来|(来)||[こ]|[き]|く|[くる]|[くれ]|[こ、こよ]|

サ行変格活用
|為|(為)||[せ]|[し]|す|[する]|[すれ]|[せよ]|

●カ変動詞は「来」の1語だけ。
サ変動詞は「為」の1語だけだが、「名詞+す」など多数の複合語がある。


高校古文用言まとめ


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日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革C

日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革C

◆問題

空欄に適語を入れてください。

民間に対しては(@)を出して、政治への風刺や批判をおさえ、芝居を禁じるなど風俗の刷新も図った。林子平が『三国通覧図説』や『海国兵談』で(A)を説いたことを幕政への批判とみて弾圧し、黄表紙や洒落本の出版を禁じ、その出版元を処罰した。

寛政の改革のきびしい統制や倹約令は民衆の反発を招いた。さらに、朝廷との間にも「(B)」と呼ばれる一連の事件が発生し、将軍徳川家斉との対立もあって、定信は在職6年余りで退職に追い込まれた。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@出版統制令、A海岸防衛、B尊号一件

民間に対しては出版統制令を出して、政治への風刺や批判をおさえ、芝居を禁じるなど風俗の刷新も図った。林子平が『三国通覧図説』や『海国兵談』で海岸防衛を説いたことを幕政への批判とみて弾圧し、黄表紙や洒落本の出版を禁じ、その出版元を処罰した。

寛政の改革のきびしい統制や倹約令は民衆の反発を招いた。さらに、朝廷との間にも「尊号一件」と呼ばれる一連の事件が発生し、将軍徳川家斉との対立もあって、定信は在職6年余りで退職に追い込まれた。


前の問題→寛政の改革B
次の問題→寛政の改革D


近世まとめ
中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年05月29日

中学歴史「世界恐慌と日本の中国侵略」年表問題

中学歴史「世界恐慌と日本の中国侵略」年表問題

◆問題
空欄に適語を入れてください。

1929年 アメリカで株価が暴落→[ ]が起こる
1931年 [ ]が起こり、関東軍は中国東北部を占領
1932年 溥儀を元首とした[ ]を建国
    [ ]事件が起こり、海軍将校らが犬養毅首相を暗殺
1933年 日本が国際連盟を脱退
1936年 [ ]事件が起こり、陸軍将校らが政府要人を暗殺
1937年 [ ]事件をきっかけに北京郊外で日本軍と中国軍が衝突→[ ]戦争が始まる
    中国で国民党と共産党が提携して、[ ]が結成される
1938年 [ ]法が公布され、国家総力戦の体制がつくられた
1940年 [ ]が結成され、政党や政治団体は解散した


解答はこのページ下


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◆解答

1929年 アメリカで株価が暴落→[世界恐慌]が起こる
1931年 [満州事変]が起こり、関東軍は中国東北部を占領
1932年 溥儀を元首とした[満州国]を建国
    [五・一五]事件が起こり、海軍将校らが犬養毅首相を暗殺
1933年 日本が国際連盟を脱退
1936年 [二・二六]事件が起こり、陸軍将校らが政府要人を暗殺
1937年 [盧溝橋]事件をきっかけに北京郊外で日本軍と中国軍が衝突→[日中]戦争が始まる
    中国で国民党と共産党が提携して、[抗日民族統一戦線]が結成される
1938年 [国家総動員]法が公布され、国家総力戦の体制がつくられた
1940年 [大政翼賛会]が結成され、政党や政治団体は解散した


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト英語第6問B 本文第1段落まで

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト英語第6問Bの本文第1段落までの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第6問

B You are in a student group preparing for an international science
presentation contest. You are using the following passage to create your
part of the presentation on extraordinary creatures.


 Ask someone to name the world's toughest animal, and they might say the
Bactrian camel as it can survive in temperatures as high as 50℃, or the
Arctic fox which can survive in temperatures lower than -58℃. However,
both answers would be wrong as it is widely believed that the tardigrade
is the toughest creature on earth.


つづく


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

B You are in a student group / preparing
/ for an international science presentation contest.
あなたは学生グループに入っている / 準備する
/ ある国際的な科学プレゼンテーションコンテストのために

You are using / the following passage / to create your part
/ of the presentation / on extraordinary creatures.
あなたは使っている / 次の文章を / あなたのパートを作るために
/ プレゼンテーションの / 変わった生き物についての


 Ask someone / to name the world's toughest animal, / and they might say
/ the Bactrian camel / as it can survive / in temperatures as high as 50℃,
誰かに尋ねなさい / 世界で最もタフな動物の名前を言う / そして言うかも知れない
/ Bactrian camelだと / それは生き残ることができる / 50℃もの高温でも


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

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解説の続きは、本日21時配信予定の

【高校英語】共通テストの英文解釈
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に掲載します!
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翻訳も行っている著者が、スラッシュリーディング、全文訳とともに解説します。
月・水・土配信。\550/月。初月無料です。

※追試はスラッシュリーディングのみの掲載とします。


ブログにもメルマガの記事を分割して掲載しています。

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【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html
ラベル:英語
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高校古文「動詞」ラ行変格活用

高校古文「動詞」ラ行変格活用

◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
|あり|あ||[ ]|[ ]|り|[ ]|[ ]|[ ]|

●ラ変の動詞は[ ]、[ ]、[ ]、[ ]の4語だけ。


↓↓解答はお知らせの下↓↓

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◆解答

●活用表
|あり|あ||[ら]|[り]|り|[る]|[れ]|[れ]|

●ラ変の動詞は[あり]、[おり]、[はべり]、[いまそかり]の4語だけ。


高校古文用言まとめ


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日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革B

日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革B

◆問題

空欄に適語を入れてください。

幕府役人や旗本・御家人の生活安定のために、松平定信は(@)を出して米の売却などを扱う札差に貸金を放棄させた。旗本たちには武芸奨励を命じ、(A)を発した。1790年には、湯島聖堂の学問所で朱子学以外の講義や研究を禁じ、学術試験を行い人材登用につなげた。儒官には柴野栗山・尾藤二洲・(B)を任じた。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@棄捐令、B寛政異学の禁、B岡田寒泉

幕府役人や旗本・御家人の生活安定のために、松平定信は棄捐令を出して米の売却などを扱う札差に貸金を放棄させた。旗本たちには武芸奨励を命じ、寛政異学の禁を発した。1790年には、湯島聖堂の学問所で朱子学以外の講義や研究を禁じ、学術試験を行い人材登用につなげた。儒官には柴野栗山・尾藤二洲・岡田寒泉を任じた。


前の問題→寛政の改革A
次の問題→寛政の改革C


近世まとめ
中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年05月28日

高校数学「相加相乗平均」a>0,b>0,ab=6のときの2a+bの最小値

高校数学「相加相乗平均」a>0,b>0,ab=6のときの2a+bの最小値

◆問題
a>0,b>0,ab=6のとき、2a+bの最小値を求めよ。また、そのときのa,bの値を求めよ。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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与えられた条件では、aとbがかけてあり、最小値を考える式ではaとbが足してある。
このように、かけ算の式と足し算の式を組み合わせた問題の場合、「相加平均と相乗平均の関係」を使うと簡単に最小値が出せる場合があります。

「相加相乗平均」とは、2つの数をa,bとすると、

(a+b)/2≧√ab

になるという関係のことです。
左辺が足して2で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。
これは改めて証明しなくても、「公式・定理」と同様に使うことができます。

このような大小関係があるということは、これを最小値の計算に使うこともできる。というわけです。

今回の問題では、2a+bの最小値を考えます。
これを相加相乗平均に当てはめると、

(2a+b)/2≧√(2a・b)
  2a+b≧2√(2ab)

このような式ができます。
ab=6なので、

  2a+b≧2√(2×6)=2√12=4√3

つまり、2a+b≧4√3だから、最小値は4√3です。


この不等式の等号が成り立つのは、2a=bのときです。
ab=6なので、2a2=6より、a2=3だから、a=√3です。

そして、2a=bなので、b=2√3ですね。

これで聞いていることが全て出ました。
つまり、「a=√3,b=2√3のとき、最小値4√3」


動画による解説はこちら


◆関連項目
相加相乗平均の基本
相加相乗平均の証明問題


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ラベル:数学
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中学歴史「世界恐慌と日本の中国侵略」日中戦争

中学歴史「世界恐慌と日本の中国侵略」日中戦争

◆問題
空欄に適語を入れてください。

@1937年に北京郊外で起きた、日本軍と中国軍の衝突を[ ]といい、これをきっかけに[ ]戦争が起こった。

A中国では、日本軍と戦うために、蒋介石の国民党と[ ]の共産党が内戦を停止して[ ]を作った。

B1937年末、日本軍が中国の首都[ ]を占領する際に、多数の死傷者が出たと言われている。

C戦時体制強化のため、1938年に[ ]を公布し、議会の承認なしに資源や労働力を動員できるようにした。

D1940年、政党や政治団体が解散して、[ ]が結成された。

E朝鮮の人々を日本人とするため、創氏改名を進めるなどの[ ]政策を行った。


解答はこのページ下


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◆解答

@1937年に北京郊外で起きた、日本軍と中国軍の衝突を[盧溝橋事件]といい、これをきっかけに[日中]戦争が起こった。

A中国では、日本軍と戦うために、蒋介石の国民党と[毛沢東]の共産党が内戦を停止して[抗日民族統一戦線]を作った。

B1937年末、日本軍が中国の首都[南京]を占領する際に、多数の死傷者が出たと言われている。

C戦時体制強化のため、1938年に[国家総動員法]を公布し、議会の承認なしに資源や労働力を動員できるようにした。

D1940年、政党や政治団体が解散して、[大政翼賛会]が結成された。

E朝鮮の人々を日本人とするため、創氏改名を進めるなどの[皇民化]政策を行った。


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高校古文「動詞」ナ行変格活用

高校古文「動詞」ナ行変格活用

◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
|往ぬ|(往)||[ ]|[ ]|ぬ|[ ]|[ ]|[ ]|

●ナ変の動詞は[ ]と[ ]の2語だけ。


↓↓解答はお知らせの下↓↓

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◆解答

●活用表
|往ぬ|(往)||[な]|[に]|ぬ|[ぬる]|[ぬれ]|[ね]|

●ナ変の動詞は[往ぬ]と[死ぬ]の2語だけ。


高校古文用言まとめ


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日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革A

日本史「幕府の衰退と近代への道」寛政の改革A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

打ちこわしに見舞われた江戸では、両替商を中心とする豪商が(@)として登用され、改革が進められた。物価や米価の調節をはかり、正業をもたない者に資金を与えて農村に帰ることを奨励する(A)を出した。治安対策として人別改めを強めるとともに石川島に人足寄場を設け、無宿人を収容し、技術を身につけさせようとした。また町々に町費節約を命じ、節約分の7割を積み立てさせ(B)、新設の江戸町会所で運用させ、飢饉・災害時に困窮した貧民を救済する体制を整えた。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@勘定所御用達、A旧里帰農令、B七分積金

打ちこわしに見舞われた江戸では、両替商を中心とする豪商が勘定所御用達として登用され、改革が進められた。物価や米価の調節をはかり、正業をもたない者に資金を与えて農村に帰ることを奨励する旧里帰農令を出した。治安対策として人別改めを強めるとともに石川島に人足寄場を設け、無宿人を収容し、技術を身につけさせようとした。また町々に町費節約を命じ、節約分の7割を積み立てさせ(七分積金)、新設の江戸町会所で運用させ、飢饉・災害時に困窮した貧民を救済する体制を整えた。


前の問題→寛政の改革@
次の問題→寛政の改革B


近世まとめ
中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年05月27日

高校数学「不等式の証明」x^2+5y^2+2x+5≧4xyを証明する

高校数学「不等式の証明」x2+5y2+2x+5≧4xyを証明する

◆問題
不等式x2+5y2+2x+5≧4xyを証明せよ。


↓↓解答はお知らせの下↓↓

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◆解答
不等式の証明は、「大きい方から小さい方を引いて、ゼロ以上であることを示す」ことで解決できる場合が多いです。
そして、ゼロ以上であることを示すためには、「何かの2乗」のかたまりをつくっていきます。

この問題でも、この方針でやってみましょう!

 x2+5y2+2x+5−4xy

xの2次式とみなして、平方完成と同じ考え方をしていきます。

=x2−4xy+2x+5y2+5

=(x−2y+1)2

いったんこのようにして、2行目に展開したものを書きます。

=x2−4xy+2x+5y2+5
=x2+2(−2y+1)x+(−2y+1)2−(−2y+1)2+5y2+5
=(x−2y+1)2

続いて、カッコの2乗で使わなかった項を3行目の残りに書きます。

=x2−4xy+2x+5y2+5
=x2+2(−2y+1)x+(−2y+1)2−(−2y+1)2+5y2+5
=(x−2y+1)2−(−2y+1)2+5y2+5

あとはyの2次式の部分をまとめます。

=(x−2y+1)2−(4y2−4y+1)+5y2+5
=(x−2y+1)2−4y2+4y−1+5y2+5
=(x−2y+1)2+y2+4y+4
=(x−2y+1)2+(y+2)2

x−2y+1,y+2はそれぞれ実数なので、この式の値はゼロ以上ですね。

=(x−2y+1)2+(y+2)2≧0

というわけで、大きい方から小さい方を引いたらゼロ以上なので、もとの不等式が成り立つことがわかりました。


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト英語第6問A 完成

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト英語第6問Aを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第6問

A You are in a discussion group in school. You have been asked to
summarize the following article. You will speak about it, using only notes.

              [Collecting]

 Collecting has existed at all levels of society, across cultures and age
groups since early times. Museums are proof that things have been
collected, saved, and passed down for future generations. There are various
reasons for starting a collection. For example, Ms. A enjoys going to yard
sales every Saturday morning with her children. At yard sales, people sell
unwanted things in front of their houses. One day, while looking for
antique dishes, an unusual painting caught her eye and she bought it for
only a few dollars. Over time, she found similar pieces that left an
impression on her, and she now has a modest collection of artwork, some of
which may be worth more than she paid. One person's trash can be another
person's treasure. Regardless of how someone's collection was started, it
is human nature to collect things.

 In 1988, researchers Brenda Danet and Tamar Katriel analyzed 80 years of
studies on children under the age of 10, and found that about 90% collected
something. This shows us that people like to gather things from an early
age. Even after becoming adults, people continue collecting stuff.
Researchers in the field generally agree that approximately one third of
adults maintain this behavior. Why is this? The primary explanation is
related to emotions. Some save greeting cards from friends and family,
dried flowers from special events, seashells from a day at the beach, old
photos, and so on. For others, their collection is a connection to their
youth. They may have baseball cards, comic books, or miniature cars that
they have kept since they were small. Others have an attachment to history;
they seek and hold onto historical documents, signed letters and autographs
from famous people, and so forth.

 For some individuals there is a social reason. People collect things such
as pins to share, show, and even trade, making new friends this way. Others,
like some holders of Guinness World Records, appreciate the fame they
achieve for their unique collection. Cards, stickers, stamps, coins, and
toys have topped the "usual" collection list, but some collectors lean
toward the more unexpected. In September 2014, Guinness World Records
recognized Harry Sperl, of Germany, for having the largest hamburger-related
collection in the world, with 3724 items; from T-shirts to pillows to dog
toys, Sperl's room is filled with all things "hamburger." Similarly, Liu
Fuchang, of China, is a collector of playing cards. He has 11087 different
sets.

 Perhaps the easiest motivation to understand is pleasure. Some people
start collections for pure enjoyment. They may purchase and put up paintings
just to gaze at frequently, or they may collect audio recordings and old-
fashioned vinyl records to enjoy listening to their favorite music. This
type of collector is unlikely to be very interested in the monetary value
of their treasured music, while others collect objects specifically as an
investment. While it is possible to download certain classic games for free,
having the same game unopened in its original packaging, in "mint condition,"
can make the game worth a lot. Owning various valuable "collector's items"
could ensure some financial security.

 This behavior of collecting things will definitely continue into the
distant future. Although the reasons why people keep things will likely
remain the same, advances in technology will have an influence on
collections. As technology can remove physical constraints, it is now
possible for an individual to have vast digital libraries of music and art
that would have been unimaginable 30 years ago. It is unclear, though, what
other impacts technology will have on collections. Can you even imagine the
form and scale that the next generations collections will take?


Your notes:
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|○             [Collecting]               |
|○                                  |
|○ [Introduction]                          |
|○  ◆Collecting has been part of the human experience.       |
|○  ◆The yard sale story tells us that [ 39 ].           |
|○                                  |
|○ [Facts]                              |
|○  ◆[ 40 ]                            |
|○  ◆Guinness World Records                    |
|○   ◇Sperl: 3,724 hamburger-related items            |
|○   ◇Liu: 11,087 sets of playing cards              |
|○                                  |
|○ [Reasons for collecting]                     |
|○  ◆Motivation for collecting can be emotional or social.     |
|○  ◆Various reasons mentioned: [ 41 ], [ 42 ], interest in    |
|○   history, childhood excitement, becoming famous, sharing, etc. |
|○ [Collections in the future]                    |
|   ◆[ 43 ]                            |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


問1 Choose the best option for [ 39 ].
{1} a great place for people to sell things to collectors at a high price
is a yard sale
{2} people can evaluate items incorrectly and end up paying too much money
for junk
{3} something not important to one person may be of value to someone else
{4} things once collected and thrown in another person's yard may be
valuable to others

問2 Choose the best option for [ 40 ].
{1} About two thirds of children do not collect ordinary things.
{2} Almost one third of adults start collecting things for pleasure.
{3} Approximately 10% of kids have collections similar to their friends.
{4} Roughly 30% of people keep collecting into adulthood.

問3 Choose the best options for [ 41 ] and [ 42 ]. (The order does not
matter.)
{1} desire to advance technology
{2} fear of missing unexpected opportunities
{3} filling a sense of emptiness
{4} reminder of precious events
{5} reusing objects for the future
{6} seeking some sort of profit

問4 Choose the best option for [ 43 ].
{1} Collections will likely continue to change in size and shape.
{2} Collections of mint-condition games will have more digital copies of
them.
{3} People who have lost their passion for collecting will start again.
{4} Reasons for collecting will change because of advances in technology.


※一部記号は省略、マーク部分の□や下線部は[ ]、マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

A You are in a discussion group / in school.
あなたはディスカッショングループに入っている / 学校で

You have been asked / to summarize / the following article.
あなたは頼まれた / まとめることを / 次の記事を

You will speak / about it, / using only notes.
あなたは話すでしょう / それについて / メモだけを使って


  [Collecting]
  [集めること]

 Collecting has existed / at all levels / of society, / across cultures
/ and age groups / since early times.
集めることは存在している / 全てのレベルで / 社会の / あらゆる文化で
/ そして年齢層で / 大昔から


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

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