高校数学「数と式」「平方根」ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき

高校数学「数と式」「平方根」ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき


先日の高校生の授業から、１問ピックアップします。


◆問題

ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)のとき、次の値を求めよ。

(1) ｘ＋ｙ
(2) ｘｙ
(3) ｘ²＋ｙ²
(4) ｘ³＋ｙ³


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◆解答解説

いわゆる「対称式」の問題です。
まずは問題の指示の通りに、(1)，(2)を計算してみましょう。

(1) ｘ＋ｙ
ｘ＝(２＋√３)／(２−√３)，ｙ＝(２−√３)／(２＋√３)なので、通分して足します。

ｘ＋ｙ＝(２＋√３)／(２−√３)＋(２−√３)／(２＋√３)
　　　＝(２＋√３)²／{(２−√３)(２＋√３)}＋(２−√３)²／{(２＋√３)(２−√３)}
　　　＝(４＋４√３＋３)／(４−３)＋(４−４√３＋３)／(４−３)
　　　＝７＋４√３＋７−４√３
　　　＝１４

(2) ｘｙ

ｘｙ＝{(２＋√３)／(２−√３)}{(２−√３)／(２＋√３)}
　　＝(４−３)／(４−３)
　　＝１

これらを使って(3)，(4)を計算していきます。

(3) ｘ²＋ｙ²

(ｘ＋ｙ)²＝ｘ²＋２ｘｙ＋ｙ²
だから、
ｘ²＋ｙ²＝(ｘ＋ｙ)²−２ｘｙ

これに(1)，(2)の解答を代入すると、

　ｘ²＋ｙ²
＝１４²−２×１
＝１９６−１
＝１９５


(4) ｘ³＋ｙ³

３乗なので、３乗の公式を使います。

(ｘ＋ｙ)³＝ｘ³＋３ｘ²ｙ＋３ｘｙ²
だから、
(4) ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³−３ｘ²ｙ−３ｘｙ²
さらに共通因数をくくれば、
ｘ³＋ｙ³＝(ｘ＋ｙ)³−３ｘｙ(ｘ＋ｙ)

(3)と同様に、(1)，(2)の解答を代入します。

ｘ³＋ｙ³＝１４³−３×１×１４
　　　　　　　＝２７４４−４２
　　　　　　　＝２７０２


◆関連問題
ｘ＋１／ｘ＝３のとき、ｘ^2＋１／ｘ^2の値を求めよ。

数と式まとめ


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学１Ａ第５問 完成

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学１Ａ第５問を解説します。


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■　問題

2023年共通テスト数１Ａより

第５問

(1) 円Ｏに対して、次の[手順１]で作図を行う。

┌―[手順１]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1)　円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜　　　　円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜
｜(Step 2)　円Ｏの周上に、点Ｄを∠ＣＯＤが鈍角となるようにとる。　　｜
｜　　　　直線ＣＤを引き、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＥとする。　｜
｜(Step 3)　点Ｄを通り直線ＯＣに垂直な直線を引き、直線ＯＣとの交点を｜
｜　　　　Ｆとし、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＧとする。　　　　　｜
｜(Step 4)　点Ｇにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＨとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png


　このとき、直線ｌと点Ｄの位置によらず、直線ＥＨは円Ｏの接線である。
このことは、次の[構想]に基づいて、後のように説明できる。

┌―[構想]―――――――――――――――――――――――――――――┐
｜　直線ＥＨが円Ｏの接線であることを証明するためには、　　　　　　　｜
｜∠ＯＥＨ＝[アイ]°であることを示せば良い。　　　　　　　　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

　[手順１]の(Step 1)と(Step 4)により、４点Ｃ，Ｇ，Ｈ，[ウ]は同一円周上に
あることがわかる。よって、∠ＣＨＧ＝[エ]である。一方、点Ｅは円Ｏの周上に
あることことから、[エ]＝[オ]がわかる。よって、∠ＣＨＧ＝[オ]であるので、
４点Ｃ，Ｇ，Ｈ，[カ]は同一円周上にある。この円が点[ウ]を通ることにより、
∠ＯＥＨ＝[アイ]°を示すことができる。

[ウ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｂ　　{1} Ｄ　　{2} Ｆ　　{3} Ｏ　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――┘

[エ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＡＦＣ　{1} ∠ＣＤＦ　{2} ∠ＣＧＨ　{3} ∠ＣＢＯ　{4} ∠ＦＯＧ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[オ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＡＥＤ　{1} ∠ＡＤＥ　{2} ∠ＢＯＥ　{3} ∠ＤＥＧ　{4} ∠ＥＯＨ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[カ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ａ　　{1} Ｄ　　{2} Ｅ　　{3} Ｆ　　　　　｜
└―――――――――――――――――――――――┘


(2) 円Ｏに対して、(1)の[手順１]とは直線ｌの引き方を変え、次の[手順２]で
作図を行う。

┌―[手順２]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1)　円Ｏと共有点をもたない直線ｌを引く。中心Ｏから直線ｌに　｜
｜　　　　垂直な直線を引き、直線ｌとの交点をＰとする。　　　　　　　｜
｜(Step 2)　円Ｏの周上に、点Ｑを∠ＰＯＱが鈍角となるようにとる。直線｜
｜　　　　ＰＱを引き、円Ｏとの交点でＱとは異なる点をＲとする。　　　｜
｜(Step 3)　点Ｑを通り直線ＯＰに垂直な直線を引き、円Ｏとの交点でＱ　｜
｜　　　　とは異なる点をＳとする。　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
｜(Step 4)　点Ｓにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＴとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

　このとき、∠ＰＴＳ＝[キ]である。

　円Ｏの半径が√５で、ＯＴ＝３√６であったとすると、３点Ｏ，Ｐ，Ｒを通る
円の半径は([ク]√[ケ])／[コ]であり、ＲＴ＝[サ]である。

[キ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ∠ＰＱＳ　{1} ∠ＰＳＴ　{2} ∠ＱＰＳ　{3} ∠ＱＲＳ　{4} ∠ＳＲＴ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、マーク部分の□は[ ]、マル１は{1}
で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　平面図形の性質は、中学の内容も重要！
　◆２　接線と半径は垂直に交わる
　◆３　対角の和が１８０°なら頂点が同一円周上

(以下略)

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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　接線と半径は垂直に交わる

では今回の問題です。

(1) 円Ｏに対して、次の[手順１]で作図を行う。

┌―[手順１]――――――――――――――――――――――――――――┐
｜(Step 1)　円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜　　　　円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜
｜(Step 2)　円Ｏの周上に、点Ｄを∠ＣＯＤが鈍角となるようにとる。　　｜
｜　　　　直線ＣＤを引き、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＥとする。　｜
｜(Step 3)　点Ｄを通り直線ＯＣに垂直な直線を引き、直線ＯＣとの交点を｜
｜　　　　Ｆとし、円Ｏとの交点でＤとは異なる点をＧとする。　　　　　｜
｜(Step 4)　点Ｇにおける円Ｏの接線を引き、直線ｌとの交点をＨとする。｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

参考図→http://www.a-ema.com/img/center2023math1a5.png

このように図を描くと、「直線ｌと点Ｄの位置によらず、直線ＥＨは円Ｏの接線」
になります。

まずは、接線の性質を利用して、このことを証明していきます。
円と接線の性質のひとつに、「接線と接点に引いた半径は垂直に交わる」という
ものがあります。

つまり、これが成り立てば、ＥＨがＯの接線であることを証明できます。
∠ＯＥＨ＝９０°を示すのが目標ですね。

よって、[アイ]＝９０


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　◆３　対角の和が１８０°なら頂点が同一円周上

問題の誘導に従って、◆２の内容を述べていきましょう！

「[手順１]の(Step 1)と(Step 4)により」とあるので、これらを確認してみます。

｜(Step 1)　円Ｏと異なる２点で交わり、中心Ｏを通らない直線ｌを引く。｜
｜　　　　円Ｏと直線ｌとの交点をＡ，Ｂとし、線分ＡＢの中点Ｃをとる。｜

線分ＡＢは弦なので、ＯＣとＡＢは垂直に交わります。


つづく


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高校古文「助動詞」らし

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◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
｜らし||○｜○｜らし｜[　]｜[　]｜○｜無変化型


●接続
活用語の[　]形に接続する。ただし、ラ変型活用語と形容詞・形容動詞には[　]形に接続する。

●意味
[　](〜らしい、〜に違いない)


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◆解答

●活用表
｜らし||○｜○｜らし｜[らし]｜[らし]｜○｜無変化型


●接続
活用語の[終止]形に接続する。ただし、ラ変型活用語と形容詞・形容動詞には[連体]形に接続する。

●意味
[推定](〜らしい、〜に違いない)


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日本史「宝暦・天明期の文化」洋学の始まり�A

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

1774年、(�@)や杉田玄白らが西洋医学の解剖書を訳述した『解体新書』は洋学を取り入れた成果であった。ついで大槻玄沢や宇田川玄随が出て、玄沢の門人稲村三伯は蘭日辞書『(�A)』をつくった。高松藩の足軽の家に生まれた(�B)は物理学の研究を進めた。


解答はこのページ下


用語集ならコレ！

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

�@前野良沢、�Aハルマ和解、�B平賀源内

1774年、前野良沢や杉田玄白らが西洋医学の解剖書を訳述した『解体新書』は洋学を取り入れた成果であった。ついで大槻玄沢や宇田川玄随が出て、玄沢の門人稲村三伯は蘭日辞書『ハルマ和解』をつくった。高松藩の足軽の家に生まれた平賀源内は物理学の研究を進めた。


前の問題→洋学の始まり�@
次の問題→国学の発達と尊王論�@


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