2023年05月23日

中学数学「1次関数」動点Pと三角形の面積の問題

中学数学「1次関数」動点Pと三角形の面積の問題

◆問題

AB=5cm,BC=12cmの直角三角形ABCがある。点PがAを出発して、Bを通りCまで移動する。点Pがxcm動いたときの△APCの面積をycm2として、次の問いに答えなさい。

(1) 点Pが次の位置にあるとき、yをxの式で表しなさい。
@AB間  ABC間

(2) y=18となるときのxの値を求めなさい。


  A
 
C B


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◆解答・解説

三角形の面積を表す問題なので、「xを使って、底辺や高さを表して、式を立てる」のが標準的な解き方ですが、実はこの場合はそんなことをしなくても、x,yの関係式を簡単に求めることができます。

それは、

わかりやすいときのx,yを求める

という方法です。

x=0のとき、点Pは点A上にあるので、△APCの面積はゼロですね。つまり、x=0のときy=0です。

点PがBまで移動したときは、x=5です。このとき△APC=△ABCだから、面積は5×12÷2=30です。つまり、x=5のときy=30です。

この間の面積の変化の仕方は一定なので、x,yの関係は1次関数y=ax+bで表すことができます。
そして、x,yの組み合わせが2つわかっているので、それらをy=ax+bに代入することができる。というわけです。

x=0のときy=0つまり、原点を通るので、b=0です。

y=ax+bに、x=5,y=30,b=0を代入すると、
30=5a
 a=6

というわけで、@の答えは、y=6x

Aも同様にやっていきます。
PがCまで移動したときは、Pは5+12=17cm移動していて、△APC=0ですね。つまり、x=17のときy=0です。
点Bのときの、x=5,y=30は、BC間の値でもあるので、そのまま利用すれば、この時点ですでにy=ax+b上の点が2ヶ所わかっていることになります。
だから、普通に「2点を通る直線式の求め方」でAの式を求めることができます。

x=5,y=30のとき、30=5a+b
x=17,y=0のとき、0=17a+b

これらを連立して解けば、

30=−12a
 a=−30/12
  =−5/2

0=17×(−5/2)+b
0=−85/2+b
b=85/2

よって、Aのときの式は、y=−(5/2)x+85/2


(2) y=18となるときのxの値を求めなさい。
すでに式がわかっているので、y=18を代入して計算するだけです。

@のときはyは0から30まで変化し、Aのときは30から0まで変化したので、どちらでもy=18になる瞬間があるはずです。
というわけで、@,A両方やっていきます。

@のとき
18=6x
 x=3

Aのとき
18=−(5/2)x+85/2
(5/2)x=85/2−18
(5/2)x=49/2
   x=(49/2)×(2/5)
    =49/5


◆関連項目
動点Pと三角形の面積(動画)
1次関数まとめ


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中学英語I want to be a doctor like you.「〜したい」を「〜です」に書き換える

中学英語「be動詞」I want to be a doctor like you.


このページでは、この動画の問題のBを解説します。
I want to be a doctor like you.を「私はあなたのような医者です」という内容になるよう書き換えます。


今回の問題は、次の書籍のvol.20にも掲載されています。


I want to be a doctor like you.
(私はあなたのような医者になりたいです)

「私はあなたのような医者です」とするためには、「なりたいです」→「です」に変えます。

つまり、「want to be」を普通にbe動詞だけにします。
というわけで、

I am a doctor like you.


動画はこちら→I want to be a doctor like you. をいろいろ書き換える問題


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ラベル:英語
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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト数学1A第1問[2]

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学1A第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2023年共通テスト数1Aより

第1問

[2]

(1) 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A,Bを
AB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cを
とる。

(i) sin∠ACB=[サ]である。また、点Cを∠ACBが鈍角になるようにとる
とき、cos∠ACB=[シ]である。

(ii) 点Cを△ABCの面積が最大となるようにとる。点Cから直線ABに垂直な
直線を引き、直線ABとの交点をDとするとき、
tan∠OAD=[ス]である。また、△ABCの面積は[セソ]である。

[サ]〜[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 3/5   {1} 3/4   {2} 4/5   {3} 1   {4} 4/3 |
|{5} −3/5  {6} −3/4  {7} −4/5  {8} −1  {9} −4/3|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(2) 半径が5である球Sがある。この球面上に3点P,Q,Rをとったとき、
これらの3点を通る平面α上でPQ=8,QR=5,RP=9であったとする。

 球Sの球面上に点Tを三角錐TPQRの体積が最大となるようにとるとき、その
体積を求めよう。

 まず、cos∠QPR=[タ]/[チ]であることから、△PQRの面積は
[ツ]√[テト]である。

 次に、点Tから平面αに垂直な直線を引き、平面αとの交点をHとする。
このとき、PH,QH,RHの長さについて、[ナ]が成り立つ。

 以上より、三角錐TPQRの体積は[ニヌ](√[ネノ]+√[ハ])である。

[ナ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} PH<QH<RH    {1} PH<RH<QH           |
| {2} QH<PH<RH    {3} QH<RH<PH           |
| {4} RH<PH<QH    {5} RH<QH<PH           |
| {6} PH=QH=RH                         |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 第1問[2]は三角比
 ◆2 円Oは△ABCの外接円だから正弦定理

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第1問[2]は三角比

2023年共通テスト数学1A第1問[2]は、三角比に関する問題でした。

センター試験、共通テストを通して、三角比の問題では正弦定理と余弦定理の
少なくとも片方は必出です。両方とも使うこともあり得ます。
私立大学入試や国公立2次試験でも同様です。
まずはこれらの公式を適切に使えることを目指して練習しておきましょう!

★正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
★余弦定理:a^2=b^2+c^2−2bc・cosA

正弦定理は角と対辺または外接円の半径がわかっているとき、
余弦定理は2辺と1角または3辺がわかっているとき
に使います。

ブログでも解説しています。参考にしてみてください。
http://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html


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 ◆2 円Oは△ABCの外接円だから正弦定理

では今回の問題です。

(1) 点Oを中心とし、半径が5である円Oがある。この円周上に2点A,Bを
AB=6となるようにとる。また、円Oの円周上に、2点A,Bとは異なる点Cを
とる。

という条件です。
つまりは円周上に3点A,B,Cがあるので、円Oは△ABCの外接円です。
外接円といえば正弦定理!ですね!

AB=c=6,R=5をc/sinC=2Rに代入すると・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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          発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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ラベル:数学
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中学英語「否定文」I want to be a doctor like you.

中学英語「否定文」I want to be a doctor like you.


このページでは、この動画の問題のAを解説します。
I want to be a doctor like you.を否定文に書き換える問題です。


今回の問題は、次の書籍のvol.20にも掲載されています。


I want to be a doctor like you.
(私はあなたのような医者になりたいです)

一般動詞の文なので、動詞の前にdon'tを置いて、動詞を原形にします。
というわけで、

I don't want to be a doctor like you.
(私はあなたのような医者になりたくありません)

don'tは短縮せずにdo notにしてもよいです。
その場合、

I do not want to be a doctor like you.

こうなります。


動画はこちら→I want to be a doctor like you. をいろいろ書き換える問題


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ラベル:英語
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中学英語「疑問文」I want to be a doctor like you.

中学英語「疑問文」I want to be a doctor like you.


このページでは、この動画の問題の@を解説します。
I want to be a doctor like you.を疑問文に書き換える問題です。


今回の問題は、次の書籍のvol.20にも掲載されています。


I want to be a doctor like you.
(私はあなたのような医者になりたいです)

一般動詞の文なので、主語の前にdoを置いて、動詞を原形にして、最後に?をつけます。
ただし、このまま疑問文にすると、

「私はあなたのような医者になりたいですか?」

となってしまって、意味が多少アレなので、「私」と「あなた」を入れ替えて、

「あなたは私のような医者になりたいですか?」

にしてみます。うーん、これでもちょっとアレですね(笑)

Do you want to be a doctor like me?


ちなみに、私を主語にしたまま疑問文にすると、

Do I want to be a doctor like you?

となります。自問自答する心の声と考えれば、普通にアリですね!


動画はこちら→I want to be a doctor like you. をいろいろ書き換える問題


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日本史「宝暦・天明期の文化」文学と芸能@

日本史「宝暦・天明期の文化」文学と芸能@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

江戸時代中期の文学は、身近な題材、出版物や貸本屋の普及もあって、広く民衆のものとなった。

小説では、浮世草子が衰えたあと、草双紙や洒落本が流行した。風刺の効いた絵入りの小説(@)も盛んに売り出された。洒落本や(@)は寛政の改革で取り締まられ、代表的作家の(A)が処罰された。
俳諧では、京都の蕪村が絵画的な句を詠んだ。また柄井川柳は、俳句の形式で世相や風俗を風刺する(B)を文学の一つの分野として定着させた。一方、(C)(蜀山人)・石川雅望(宿屋飯盛)を代表的作者とする狂歌もさかんにつくられた。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@黄表紙、A山東京伝、B川柳、C大田南畝

江戸時代中期の文学は、身近な題材、出版物や貸本屋の普及もあって、広く民衆のものとなった。

小説では、浮世草子が衰えたあと、草双紙や洒落本が流行した。風刺の効いた絵入りの小説黄表紙も盛んに売り出された。洒落本や黄表紙は寛政の改革で取り締まられ、代表的作家の山東京伝が処罰された。
俳諧では、京都の蕪村が絵画的な句を詠んだ。また柄井川柳は、俳句の形式で世相や風俗を風刺する川柳を文学の一つの分野として定着させた。一方、大田南畝(蜀山人)・石川雅望(宿屋飯盛)を代表的作者とする狂歌もさかんにつくられた。


前の問題→儒学教育と学校B
次の問題→文学と芸能A


近世まとめ
中世まとめ原始・古代まとめ


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