高校数学「命題と集合」必要条件・十分条件2017年センター数学１Ａより

高校数学「命題と集合」必要条件・十分条件2017年センター数学１Ａより


2017年センター数学１Ａ第１問より、必要条件・十分条件や補集合に関する標準的な問題をピックアップしてみました。


◆問題


[2] 実数ｘに関する２つの条件ｐ，ｑを

　　ｐ：ｘ＝１
　　ｑ：ｘ²＝１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＿　＿
とする。また、条件ｐ，ｑの否定をそれぞれｐ，ｑで表す。

(1) 次の[ケ]，[コ]，[サ]，[シ]に当てはまるものを、下の⓪〜�Bのうちから
一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

　ｑはｐであるための[ケ]。
　ｐの否定はｑであるための[コ]。
　(ｐまたはｑの否定)はｑであるための[サ]。
　(ｐの否定かつｑ)はｑであるための[シ]。

⓪ 必要条件だが十分条件でない
�@ 十分条件だが必要条件でない
�A 必要十分条件である
�B 必要条件でも十分条件でもない


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◆解答解説

必要条件・十分条件の基本的な考え方は、こちらに掲載しています。そもそも「必要条件・十分条件ってなに？」という人は、こちらを参照しながら以下を読んでいってください。

命題ｐ，ｑは、

　　ｐ：ｘ＝１
　　ｑ：ｘ²＝１

と与えられています。

まずは「ｑはｐであるための[ケ]。」です。

ｑ⇒ｐは、「ｘ²＝１ならばｘ＝１」です。
ｘ²＝１を解くとｘ＝１，−１なので、ｘ＝１とは限りません。
つまり反例があります。偽です。

ｐ⇒ｑは、「ｘ＝１ならばｘ²＝１」なので、確かにその通りです。真です。

ということは、「そのままの命題」が偽で、「逆の命題」は真なので、
「ｐはｑであるための必要条件だが充分条件でない」ということができます。


残りの３つも同様に考えてみましょう。

　ｐの否定はｑであるための[コ]。

ｐの否定は、ｘ≠１つまり、ｘ以外の全ての数です。
「ｐの否定⇒ｑ」は偽(反例ｘ＝２など)、「ｑ⇒ｐの否定」も偽(反例ｘ＝１)
ということで、「必要条件でも十分条件でもない」です。


　(ｐまたはｑの否定)はｑであるための[サ]。

「または」は、少なくとも片方に入っているものは全て含むので、
「ｐまたはｑの否定」は「ｘ＝１またはｘ²≠１」つまり
「ｘ＝−１以外の数全て」です。
「(ｐまたはｑの否定)⇒ｑ」は偽(反例ｘ＝２など)、「ｑ⇒(ｐまたはｑの否定)」も偽(反例ｘ＝−１)ということで、これまた「必要条件でも十分条件でもない」です。


　(ｐの否定かつｑ)はｑであるための[シ]。

「かつ」は、両方の共通部分です。
「ｐの否定」は「ｘ≠１」つまり「１以外の全ての数」です。
「ｐの否定かつｑ」は、「１以外の全ての数」と「ｘ²＝１」の共通部分なので、ｘ＝−１を意味します。
(ｐの否定かつｑ)⇒ｑは真、ｑ⇒(ｐの否定かつｑ)は偽(反例ｘ＝１)だから、
「そのままの命題」は真、「逆の命題」は偽なので、
「十分条件だが必要条件でない」となります。


よって、[ケ]＝⓪，[コ]＝�B，[サ]＝�B，[シ]＝�@


◆関連問題
『ｘ＝０，ｙ＝０ならばｘｙ＝０である』の真偽
命題と集合まとめ


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中学歴史「世界恐慌と日本の中国侵略」日本の中国侵略

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◆問題
空欄に適語を入れてください。

�@1930年代に、日本でも[　]と呼ばれる不景気になり、農産物の価格が暴落、失業者が増大するなど、深刻な影響があった。

�A1931年に、関東軍が奉天郊外で南満州鉄道の線路を爆破して[　]と呼ばれる軍事行動が始まった。

�B1932年、関東軍は清朝最後の皇帝溥儀を元首とする[Ａ]を建国させた。しかし、翌年[Ｂ]は[Ａ]を承認せず日本軍の撤兵を求める勧告を決議したため、日本は[Ｂ]を脱退した。

�C1932年、海軍将校らが首相の[　]を暗殺した。これを[　]という。

�D1936年、陸軍の青年将校が首相官邸などを襲い、大臣などを殺傷した。これを[　]という。


解答はこのページ下


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◆解答

�@1930年代に、日本でも[昭和恐慌]と呼ばれる不景気になり、農産物の価格が暴落、失業者が増大するなど、深刻な影響があった。

�A1931年に、関東軍が奉天郊外で南満州鉄道の線路を爆破して[満州事変]と呼ばれる軍事行動が始まった。

�B1932年、関東軍は清朝最後の皇帝溥儀を元首とする[満州国]を建国させた。しかし、翌年[国際連盟]は[満州国]を承認せず日本軍の撤兵を求める勧告を決議したため、日本は[国際連盟]を脱退した。

�C1932年、海軍将校らが首相の[犬養毅]を暗殺した。これを[五・一五事件]という。

�D1936年、陸軍の青年将校が首相官邸などを襲い、大臣などを殺傷した。これを[二・二六事件]という。


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■　問題

2023年共通テスト数２Ｂより

第１問

[1] 三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) ｘ＝π／６のときｓｉｎｘ[ア]ｓｉｎ２ｘであり、ｘ＝(２／３)πのとき
ｓｉｎｘ[イ]ｓｉｎ２ｘである。

[ア]，[イ]の解答群
┌―――――――――――――――――――┐
｜　{0} ＜　　　{1} ＝　　　{2} ＞　　　｜
└―――――――――――――――――――┘

(2) ｓｉｎｘとｓｉｎ２ｘの大小関係を詳しく調べよう。

　　ｓｉｎ２ｘ−ｓｉｎｘ＝ｓｉｎｘ([ウ]ｃｏｓｘ−[エ])

であるから、ｓｉｎ２ｘ−ｓｉｎｘ＞０が成り立つことは

　「ｓｉｎｘ＞０　かつ　[ウ]ｃｏｓｘ−[エ]＞０」　……{1}

または

　「ｓｉｎｘ＜０　かつ　[ウ]ｃｏｓｘ−[エ]＜０」　……{2}

が成り立つことと同値である。０≦ｘ≦２πのとき、{1}が成り立つようなｘの値の
範囲は

　　０＜ｘ＜π／[オ]

であり、{2}が成り立つようなｘの値の範囲は

　　π＜ｘ＜([カ]／[キ])π

である。よって、０≦ｘ≦２πのとき、ｓｉｎ２ｘ＞ｓｉｎｘが成り立つような
ｘの値の範囲は

　　０＜ｘ＜π／[オ]，π＜ｘ＜([カ]／[キ])π

である。


(3) ｓｉｎ３ｘとｓｉｎ４ｘの値の大小関係を調べよう。
　三角関数の加法定理を用いると、等式

　　ｓｉｎ(α＋β)−ｓｉｎ(α−β)＝２ｃｏｓαｓｉｎβ　……{3}

が得られる。α＋β＝４ｘ，α−β＝３ｘを満たすα，βに対して{3}を用いる
ことにより、ｓｉｎ４ｘ−ｓｉｎ３ｘ＞０が成り立つことは

　　「ｃｏｓ[ク]＞０　かつ　ｓｉｎ[ケ]＞０]　……{4}

または

　　「ｃｏｓ[ク]＜０　かつ　ｓｉｎ[ケ]＜０]　……{5}

が成り立つことと同値であることがわかる。

　０≦ｘ≦πのとき、{4}，{5}により、ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ３ｘが成り立つような
ｘの値の範囲は

　　０＜ｘ＜π／[コ]，([サ]／[シ])π＜ｘ＜([ス]／[セ])π

である。

[ク]，[ケ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜　{0} ０　　　　　　{1} ｘ　　　　　　{2} ２ｘ　　　　　{3} ３ｘ　　　｜
｜　{4} ４ｘ　　　　　{5} ５ｘ　　　　　{6} ６ｘ　　　　　{7} ｘ／２　　｜
｜　{8} (３／２)ｘ　　{9} (５／２)ｘ　　{a} (７／２)ｘ　　{b} (９／２)ｘ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(4) (2), (3)の考察から、０≦ｘ≦πのとき、ｓｉｎ３ｘ＞ｓｉｎ４ｘ＞ｓｉｎ２ｘ
が成り立つようなｘの値の範囲は


　　π／[コ]＜ｘ＜π／[ソ]，([ス]／[セ])π＜ｘ＜([タ]／[チ])π

であることがわかる。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　　　　　　　　↓↓三角関数の解説記事はこちら↓↓
　　　　　http://a-ema.seesaa.net/article/478360103.html

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■　解説目次

　◆１　２倍角は加法定理でα＋αの場合
　◆２　サインの値を出すだけ
　◆３　ｓｉｎ２ｘなら２倍角

(以下略)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■　解説

◆１は省略します。


　◆２　サインの値を出すだけ

では今回の問題です。

(1) ｘ＝π／６のときｓｉｎｘ[ア]ｓｉｎ２ｘであり、ｘ＝(２／３)πのとき
ｓｉｎｘ[イ]ｓｉｎ２ｘである。

ｓｉｎｘとｓｉｎ２ｘの大小関係を比べる問題です。

ｘの値が与えられているので、２倍角の公式を使うまでもなく、普通に値を出せば
比較できますね！


ｘ＝π／６のとき、

ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ(π／６)＝１／２
ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ(π／３)＝√３／２
だから、ｓｉｎｘ＜ｓｉｎ２ｘです。


ｘ＝(２／３)πのとき

ｓｉｎｘ＝ｓｉｎ(２／３)π＝√３／２
ｓｉｎ２ｘ＝ｓｉｎ(４／３)π＝−√３／２
だから、ｓｉｎｘ＞ｓｉｎ２ｘです。

よって、[ア]＝０，[イ]＝２


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

　◆３　ｓｉｎ２ｘなら２倍角

(2)は、ｓｉｎ２ｘ−ｓｉｎｘについて考えます。

ｓｉｎ２ｘは角度の部分がｘの２倍だから、２倍角の公式が使えます。

★ｓｉｎ２ｘ＝２ｓｉｎｘｃｏｓｘ

だから、


(以下略)


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高校古文「動詞」上一段活用

高校古文「動詞」上一段活用

◆問題
空欄を埋めてください。

●活用表
｜みる|(み)||[　]｜[　]｜みる｜[　]｜[　]｜[　]｜

●上一段活用の主な動詞
ひ→[　]
い→[　]、[　]
き→[　]
に→[　]、[　]
み→[　]
ゐ→[　]、[　]
る


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◆解答

●活用表
｜みる|(み)||[み]｜[み]｜みる｜[みる]｜[みれ]｜[みよ]｜

●上一段活用の主な動詞
ひ→干る
い→射る、鋳る
き→着る
に→似る、煮る
み→見る
ゐ→居る、率る
る


高校古文用言まとめ


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日本史「宝暦・天明期の文化」絵画�A

日本史「宝暦・天明期の文化」絵画�A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

伝統的な絵画では、(�@)に始まる円山派が写実を重んじ、遠近法を取り入れた立体感のある作品を描いた。また、18世紀後半に(�A)や蕪村が、明や清の影響を受けた文人画と呼ばれる画風を大成した。

西洋画は、蘭学の隆盛につれて油絵の具などとともに絵画の技法が伝えられ、18世紀後半に、(�B)や亜欧堂田善らが活躍した。(�B)は平賀源内に学んで(�C)を創始した。


解答はこのページ下


用語集ならコレ！

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

�@円山応挙、�A池大雅、�B司馬江漢、�C銅版画

伝統的な絵画では、円山応挙に始まる円山派が写実を重んじ、遠近法を取り入れた立体感のある作品を描いた。また、18世紀後半に池大雅や蕪村が、明や清の影響を受けた文人画と呼ばれる画風を大成した。

西洋画は、蘭学の隆盛につれて油絵の具などとともに絵画の技法が伝えられ、18世紀後半に、司馬江漢や亜欧堂田善らが活躍した。司馬江漢は平賀源内に学んで銅版画を創始した。


前の問題→絵画�@
次の問題→寛政の改革�@


近世まとめ
中世まとめ、原始・古代まとめ


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