◆問題
ａ＞０，ｂ＞０，ａｂ＝６のとき、２ａ＋ｂの最小値を求めよ。また、そのときのａ，ｂの値を求めよ。
↓解答解説はお知らせの下に↓
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与えられた条件では、ａとｂがかけてあり、最小値を考える式ではａとｂが足してある。
このように、かけ算の式と足し算の式を組み合わせた問題の場合、「相加平均と相乗平均の関係」を使うと簡単に最小値が出せる場合があります。
「相加相乗平均」とは、２つの数をａ，ｂとすると、
(ａ＋ｂ)／２≧√ａｂ
になるという関係のことです。
左辺が足して２で割ったので「相加平均」、右辺は掛けてルートしたので「相乗平均」です。
言葉で説明すれば、(相加平均)≧(相乗平均)という関係があるということができます。
これは改めて証明しなくても、「公式・定理」と同様に使うことができます。
このような大小関係があるということは、これを最小値の計算に使うこともできる。というわけです。
今回の問題では、２ａ＋ｂの最小値を考えます。
これを相加相乗平均に当てはめると、
(２ａ＋ｂ)／２≧√(２ａ・ｂ)
２ａ＋ｂ≧２√(２ａｂ)
このような式ができます。
ａｂ＝６なので、
２ａ＋ｂ≧２√(２×６)＝２√１２＝４√３
つまり、２ａ＋ｂ≧４√３だから、最小値は４√３です。
この不等式の等号が成り立つのは、２ａ＝ｂのときです。
ａｂ＝６なので、２ａ2＝６より、ａ2＝３だから、ａ＝√３です。
そして、２ａ＝ｂなので、ｂ＝２√３ですね。
これで聞いていることが全て出ました。
つまり、「ａ＝√３，ｂ＝２√３のとき、最小値４√３」
動画による解説はこちら
◆関連項目
相加相乗平均の基本
相加相乗平均の証明問題
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ラベル：数学
