高校数学「剰余の定理」３次式を２次式で割った余りに関する問題

高校数学「剰余の定理」３次式を２次式で割った余りに関する問題

◆問題
整式Ｐ(ｘ)をｘ²＋ｘ−２で割った余りが−３ｘ＋８，ｘ²−ｘ−６で割った余りが−５ｘ＋４であるとき、Ｐ(ｘ)をｘ²−４ｘ＋３で割った余りを求めよ。


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◆解答解説

【整式Ｐ(ｘ)をｘ²＋ｘ−２で割った余りが−３ｘ＋８，ｘ²−ｘ−６で割った余りが−５ｘ＋４であるとき、Ｐ(ｘ)をｘ²−４ｘ＋３で割った余りを求めよ。】

割る数と余りがセットでわかっているので、それぞれの商をＱ1(ｘ)，Ｑ2(ｘ)とおいて方程式を立ててみましょう！

Ｐ(ｘ)＝Ｑ1(ｘ)・(ｘ²＋ｘ−２)−３ｘ＋８
Ｐ(ｘ)＝Ｑ2(ｘ)・(ｘ²−ｘ−６)−５ｘ＋４

まずはこのように表すことができます。
カッコの中の２次式が因数分解できそうなので、それぞれやってみましょう！

Ｐ(ｘ)＝Ｑ1(ｘ)・(ｘ＋２)(ｘ−１)−３ｘ＋８
Ｐ(ｘ)＝Ｑ2(ｘ)・(ｘ＋２)(ｘ−３)−５ｘ＋４

このような式になったということは、ｘに１，３，−２を入れれば、Ｑ1(ｘ)，Ｑ2(ｘ)を含まない式を作ることができます。

Ｐ(１)＝−３＋８＝５
Ｐ(３)＝−１５＋４＝−１１
Ｐ(−２)＝６＋８＝１４

続いて、ｘ²−４ｘ＋３で割ったときの商をＱ(ｘ)，余りをａｘ＋ｂとおいて方程式を作ると、

Ｐ(ｘ)＝Ｑ(ｘ)・(ｘ²−４ｘ＋３)＋ａｘ＋ｂ
　　＝Ｑ(ｘ)・(ｘ−１)(ｘ−３)＋ａｘ＋ｂ

この式のＱ(ｘ)は、ｘ＝１，３のときに消去できることがわかります。
Ｐ(１)とＰ(３)の値はわかっているので、それらを利用すると、

Ｐ(１)＝ａ＋ｂ＝５
Ｐ(３)＝３ａ＋ｂ＝−１１

あとはこれらを連立して解けば、ａ＝−８，ｂ＝１３

聞いているのは余りなので、ａｘ＋ｂにこれらの値を代入して、

−８ｘ＋１３


◆関連項目
整式Ｐ(ｘ)＝ｘ³＋ａｘ²＋ｂｘ＋１をｘ2＋ｘ−２で割った余りが−２ｘ＋３であるとき
剰余の定理と因数定理
「式と証明」「複素数と方程式」まとめ


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中学歴史「国際社会と日本」国際関係の変化

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◆問題
空欄に適語を入れてください。

�@1960年、[　]条約の改正により、日米関係が強化された。

�A1972年、アメリカの統治下にあった[　]が日本に復帰し、その過程で、核兵器を「持たず、つくらず、持ち込ませず」という[　]が国会で採択された。

�B1965年、日本は[　]条約を結び、韓国政府を朝鮮半島で唯一の合法的な政府と認めた。

�C1978年、日本は中国と[　]条約を結んだ。


解答はこのページ下


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◆解答

�@1960年、[日米安全保障]条約の改正により、日米関係が強化された。

�A1972年、アメリカの統治下にあった[沖縄]が日本に復帰し、その過程で、核兵器を「持たず、つくらず、持ち込ませず」という[非核三原則]が国会で採択された。

�B1965年、日本は[日韓基本]条約を結び、韓国政府を朝鮮半島で唯一の合法的な政府と認めた。

�C1978年、日本は中国と[日中平和友好]条約を結んだ。


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日本史「幕府の衰退と近代への道」文化・文政時代�A

日本史「幕府の衰退と近代への道」文化・文政時代�A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

しかし、豪農や地主が力をつける一方、土地を失う百姓もあらわれ、荒廃地域が生じ、関東の農村では治安の乱れが目立った。幕府は1805年、(�@)を設けて犯罪者の取り締まりに当たらせた。さらに1827年には、幕領・私領・寺社領の違いをこえて、(�A)をつくらせ、農村秩序の維持をはかった。


解答はこのページ下


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◆解答

�@徳川家斉、�A大御所、�B文政

しかし、豪農や地主が力をつける一方、土地を失う百姓もあらわれ、荒廃地域が生じ、関東の農村では治安の乱れが目立った。幕府は1805年、関東取締役出役を設けて犯罪者の取り締まりに当たらせた。さらに1827年には、幕領・私領・寺社領の違いをこえて、寄場組合をつくらせ、農村秩序の維持をはかった。


前の問題→文化・文政時代�@
次の問題→大塩の乱�@


近世まとめ
中世まとめ、原始・古代まとめ


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