2023年07月18日

高校数学「三角関数」三角関数の値B

高校数学「三角関数」三角関数の値B

■ 問題

θの動径が第4象限にあり、cosθ=4/5のとき、sinθ,tanθの値を求めよ。


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適切な時期に適切な対策をすれば、どんな目標でも達成可能です。志望校を諦める前に、まずは一度ご相談ください。


■ 解答解説

三角関数の値が1つわかっていて、他の値を出したいときは、三角関数の相互関係の公式を使うのが標準的です。

★sin2θ+cos2θ=1
★tanθ=sinθ/cosθ
★tan2θ+1=1/cos2θ

これらの公式については、数学1の三角比の記事も参考にしてください。

サインかコサインがわかっているときは、まず★sin2θ+cos2θ=1を使って、残り片方を出します。

今回の問題では「cosθ=4/5」だから、代入して、

sin2θ+(4/5)2θ=1
sin2θ+16/25=1
sin2θ=1−16/25
    =9/25

よって、sinθ=±3/5

第4象限だから、サインはマイナスなので、sinθ=−3/5


サインとコサインの両方がわかったら、★tanθ=sinθ/cosθに代入します。

tanθ=(−3/5)/(4/5)
   =−3/4


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◆関連問題
角度を弧度法で表す問題
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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高校数学「場合の数・確率」サイコロ3個の期待値

高校数学「場合の数・確率」サイコロ3個の期待値

■ 問題

サイコロ3個の出目の合計の期待値を求めよ。


■ ひとこと

サイコロ1個の期待値は・・・?


★★ お知らせ ★★

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■ 解答解説

期待値は、要するに平均です。

サイコロ1個の出目は1〜6だから、平均すると3.5です。
このように単純な事象の場合は、詳しく検証せずにイメージで大丈夫ですが、念のためここで期待値の計算方法を紹介しておきます。

「サイコロ1個の期待値は3.5」これをきちんと計算すると、以下のようになります。

それぞれの出目確率は1/6だから、

1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5×1/6+6×1/6=21/6=7/2

というわけで、「サイコロ1個の期待値は7/2=3.5」です。

これは「そのときの値×確率」を全パターンやった。というものです。
もっと複雑な事象でも、この方法は全く同じです。


ここで今回の問題に戻りましょう!
今回の問題ではサイコロ3個だから、この期待値を3倍すればOKです。

つまり求める期待値は、

3.5×3=10.5


場合の数・確率の練習には、以下の書籍もおすすめです!アマゾンのレビューでも高評価をいただいています。



◆関連項目
確率まとめ


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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学2B第1問[2]

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数2Bより

第1問

[2] a,bは正の実数であり、a≠1,b≠1を満たすとする。太郎さんは
log[a]bとlog[b]aの大小関係を調べることにした。

(1) 太郎さんは次のような考察をした。

 まず、log[3]9=[ス],log[9]3=1/[ス]である。この場合

  log[3]9>log[9]3

が成り立つ。

 一方、log[1/4][セ]=−3/2,log[セ](1/4)=−2/3である。
この場合

  log[1/4][セ]<log[セ](1/4)

が成り立つ。


(2) ここで

  log[a]b=t  ……{1}

とおく。

 (1)の考察をもとにして、太郎さんは次の式が成り立つと推測し、それが正しい
ことを確かめることにした。

  log[b]a=1/t  ……{2}

 {1}により、[ソ]である。このときにより[タ]が得られ、{2}が成り立つことが
確かめられる。

[ソ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} a^b=t  {1} a^t=b  {2} b^a=t |
|{3} b^t=a  {4} t^a=b  {5} t^b=a |
└―――――――――――――――――――――――┘

[タ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} a=t^(1/b)  {1} a=b^(1/t)  {2} b=t^(1/a) |
|{3} b=a^(1/t)  {4} t=b^(1/a)  {5} t=a^(1/b) |
└―――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) 次に、太郎さんは(2)の考察をもとにして

  t>1/t ……{3}

を満たす実数t(t≠0)の値の範囲を求めた。

┌―太郎さんの考察―――――――――――――――――――――――――┐
| t>0ならば、{3}の両辺にtを掛けることにより、t^2>1を得る。 |
|このようなt(t>0)の値の範囲は1<tである。          |
| t<0ならば、{3}の両辺にtを掛けることにより、t^2<1を得る。 |
|このようなt(t<0)の値の範囲は−1<t<0である。       |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

この考察により、{3}を満たすt(t≠0)の値の範囲は

  −1<t<0,1<tであることがわかる。

 ここで、aの値を一つ定めたとき、不等式

  log[a]b>log[b]a ……{4}

を満たす実数b(b>0,b≠1)の値の範囲について考える。

 {4}を満たすbの値の範囲はa>1のときは[チ]であり、0<a<1のときは
[ツ]である。

[チ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0<b<1/a,1<b<a  {1} 0<b<1/a,a<b |
|{2} 1/a<b<1,1<b<a  {3} 1/a<b<1,a<b |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 0<b<a,1<b<1/a  {1} 0<b<a,1/a<b |
|{2} a<b<1,1<b<1/a  {3} a<b<1,1/a<b |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


(4) p=12/13,q=12/11,r=14/13とする。

 次の{0}〜{3}のうち、正しいものは[テ]である。

[テ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} log[p]q>log[q]pかつlog[p]r>log[r]p   |
|{1} log[p]q>log[q]pかつlog[p]r<log[r]p   |
|{2} log[p]q<log[q]pかつlog[p]r>log[r]p   |
|{3} log[p]q<log[q]pかつlog[p]r<log[r]p   |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  指数対数の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html

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■ 解説目次

 ◆1 分数は累乗根・マイナスは逆数
 ◆2 指数・対数の関係
 ◆3 対数の計算法則
 ◆4 log[a]b=xは「aをbにするにはx乗」
 ◆5 log[a]b=xとおいて考える

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 log[a]c=bはa^b=c

では今回の問題です。
まずは対数の値を求めます。

◆2でも触れた「★a^b=cならばlog[a]c=b」という指数・対数の関係を
使います。

log[3]9は、3を9にするには何乗か?なので、2乗ですね。つまり、

log[3]9=2

log[9]3は、9を3にするには何乗か?なので、1/2乗ですね。
√9=3であり、平方根は1/2乗です。だから、

log[9]3=1/2

よって、[ス]=2

ちなみに、2>1/2だからlog[3]9>log[9]3ですね。


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 ◆5 1/2乗はルート、マイナスの指数は逆数

同様にして、log[1/4][セ]=−3/2とlog[セ](1/4)=−2/3について
考えます。[セ]の部分をxとすると、log[1/4]x=−3/2だから、

x=(1/4)^(-3/2)

1/2乗は√だから、


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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日本史「開国と幕末の動乱」幕府の滅亡@

日本史「開国と幕末の動乱」幕府の滅亡@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1867年、前年に同盟を結んだ薩長両藩は、武力倒幕を決意した。土佐藩はあくまで公武合体の立場をとり、(@)と坂本龍馬とが前藩主の山内豊信(容堂)を通して将軍徳川慶喜に、政権の返還を勧めた。慶喜もこれを受け入れ、10月14日、(A)を朝廷に提出した。同日、朝廷内の(B)らと結んだ薩長両藩は倒幕の密勅を手に入れていた。倒幕派は12月9日、薩摩藩などの武力を背景に朝廷でクーデターを決行し、王政復古の大号令を発し、天皇を中心とする新政府を樹立した。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@後藤象二郎、A大政奉還の上表、B岩倉具視

1867年、前年に同盟を結んだ薩長両藩は、武力倒幕を決意した。土佐藩はあくまで公武合体の立場をとり、後藤象二郎と坂本龍馬とが前藩主の山内豊信(容堂)を通して将軍徳川慶喜に、政権の返還を勧めた。慶喜もこれを受け入れ、10月14日、大政奉還の上表を朝廷に提出した。同日、朝廷内の岩倉具視らと結んだ薩長両藩は倒幕の密勅を手に入れていた。倒幕派は12月9日、薩摩藩などの武力を背景に朝廷でクーデターを決行し、王政復古の大号令を発し、天皇を中心とする新政府を樹立した。


前の問題→討幕運動の展開B
次の問題→幕府の滅亡A


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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