2023年07月21日

高校数学「三角関数」「三角方程式」2(cosθ)^2−cosθ−1=0

高校数学「三角関数」「三角方程式」2cos2θ−cosθ−1=0

■問題

三角方程式2cos2θ−cosθ−1=0を解け。ただし、0≦θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

三角方程式2cos2θ−cosθ−1=0を解け。ただし、0≦θ<2πとする。

コサインについての2次方程式です。

このページの解説では、cosθ=tとおいてやってみます。
慣れている人は、もちろん置き換えずにそのままcosθで解いてもOKです。

置き換えると、

2t2−t−1=0

このようになります。
これは普通に2次方程式ですね。
だから普通に解きます。つまり、因数分解して、

(2t+1)(t−1)=0
よって、t=−1/2,1

ここでtをcosθに戻せば、

cosθ=−1/2,1

あとは、これらを満たすθの値をもとめればOK!です。

cosθ=−1/2のとき、θ=(2/3)π,(4/3)π
cosθ=1のとき、θ=0

よって、θ=0,(2/3)π,(4/3)π


◆関連問題
三角方程式2√3(cosx)^2−2sinxcosx=√3を解け。
3(tanθ)^2≦1
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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中学理科「力・エネルギー」まとめ

中学理科「力・エネルギー」まとめ

主に中学3年の「物体の運動」「力と仕事」「エネルギー」の記事です。


◆用語・性質等
等速直線運動
記録タイマー
力のつりあい
力の合成・合力
力の分解・分力


◆問題
記録タイマーから速さを求める問題
動滑車を使って物体を持ち上げる場合
動滑車・定滑車の比較
仕事・エネルギーに関する用語問題


どんどん追加していきます!
リクエストがあればお気軽にどうぞ!


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学1A第2問[1]

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学1A第2問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数1Aより

第2問

[1] p,qを実数とする。
 花子さんと太郎さんは、次の二つの2次方程式について考えている。

  x^2+px+q=0 ……{1}
  x^2+qx+p=0 ……{2}

{1}または{2}を満たす実数xの個数をnとおく。

(1) p=4,q=−4のとき、n=[ア]である。
  また、p=1,q=−2のときn=[イ]である。

(2) p=−6のとき、n=3になる場合を考える。

┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:例えば、{1}と{2}をともに満たす実数xがあるときはn=3に|
|   なりそうだね。                     |
|太郎:それをαとしたら、α^2−6α+q=0とα^2+qα−6=0|
|   が成り立つよ。                     |
|花子:なるほど。それならば、α^2を消去すれば、αの値が求められ|
|   そうだね。                       |
|太郎:確かにαの値が求まるけど、実際にn=3となっているかどう|
|   かの確認が必要だね。                  |
|花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。      |
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘

n=3となるqの値は

  q=[ウ],[エ]

である。ただし、[ウ]<[エ]とする。


(3) 花子さんと太郎さんは、グラフ表示ソフトを用いて、{1},{2}の左辺をyと
おいた2次関数y=x^2+px+qとy=x^2+qx+pのグラフの動きを考えて
いる。

p=−6に固定したまま、qの値だけを変化させる。

  y=x^2−6x+q ……{3}
  y=x^2+qx−6 ……{4}

の二つのグラフについて、q=1のときのグラフを点線で、qの値を1から増加
させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき、{3}のグラフの移動の様子を
示すと[オ]となり、{4}のグラフの移動の様子を示すと[カ]となる。

[オ],[カ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{7}のうちから一つずつ選べ。
ただし、同じ物を繰り返し選んでもよい。なお、x軸とy軸は省略しているが、
x軸は右方向、y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。

グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math1a21a.png


(4) [ウ]<q<[エ]とする。全体集合Uを実数全体の集合とし、Uの部分集合
A,Bを

  A={x|x^2−6x+q<0}
  B={x|x^2+qx−6<0}
                     _
とする。Uの部分集合Xに対し、Xの補集合をXと表す。このとき次のことが
成り立つ。

 ・x∈Aは、x∈Bであるための[キ]。
         _
 ・x∈Bは、x∈Aであるための[ク]。

[キ],[ク]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 必要条件であるが、十分条件ではない       |
|{1} 十分条件であるが、必要条件ではない       |
|{2} 必要十分条件である               |
|{3} 必要条件でも十分条件でもない          |
└――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件
 ◆2 解の個数なら判別式

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 第2問[1]は2次方程式、2次関数、必要条件・十分条件

2022年共通テスト数学1A第2問[1]は、2次方程式、2次関数、必要・十分条件の
問題でした。
対話文も含む問題になっていますが、着実に読み取って解いていきましょう!

まず

  x^2+px+q=0 ……{1}
  x^2+qx+p=0 ……{2}

これらの2つの2次方程式があり、これらを満たす実数xの個数をnとしています。

解の個数についての問題なので、判別式を使うのがノーマルですが、それだけで
なく、実際に解がいくつになるかも考えた方が良い場合もあります。

高校数学の2次関数については、ブログでいろいろな論点について解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/478441371.html
このメルマガとあわせて御覧ください。


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 ◆2 解の個数なら判別式

では(1)です。
pとqの値が与えられて、そのときのnの値を求めます。

まず「p=4,q=−4のとき」は、

x^2+4x−4=0 ……{1}
x^2−4x+4=0 ……{2}

です。
それぞれの判別式D=b^2−4acの値を求めます。

D1=4^2−4×1×(−4)=16+16=32>0
D2=(−4)^2−4×1×4=16−16=0

つまり・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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日本史「開国と幕末の動乱」幕末の科学技術と文化A

日本史「開国と幕末の動乱」幕末の科学技術と文化A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

慶応期には、幕府がフランスの顧問団を招き、(@)の建設を進め、新式の陸軍を訓練した。横浜に来日した宣教師の中には、アメリカ人(A)やフルベッキのように英学の教授を通じて、欧米の文化を伝えるものも現れた。こうして欧米をみならい近代化を進めるべきという声が強まっていった。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@横須賀製鉄所、Aヘボン

慶応期には、幕府がフランスの顧問団を招き、横須賀製鉄所の建設を進め、新式の陸軍を訓練した。横浜に来日した宣教師の中には、アメリカ人ヘボンやフルベッキのように英学の教授を通じて、欧米の文化を伝えるものも現れた。こうして欧米をみならい近代化を進めるべきという声が強まっていった。


前の問題→幕末の科学技術と文化@
次の問題→戊辰戦争と新政府の発足@


近代・現代まとめ
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