高校数学「三角関数」「最大最小」ｙ＝２ｓｉｎ2θ＋２ｃｏｓθ＋４

高校数学「三角関数」「最大最小」ｙ＝２ｓｉｎ²θ＋２ｃｏｓθ＋４

■問題

ｙ＝２ｓｉｎ²θ＋２ｃｏｓθ＋４の最大値・最小値を求めよ。ただし、０≦θ＜２πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓

１０秒でわかる高校数学２Ｂ「三角関数」の考え方

「久しぶりの三角関数、分かりやすく直感で問題の解く方向が分かり楽しかった」などのコメントいただいています。ありがとうございます！



■解答解説

ｙ＝２ｓｉｎ²θ＋２ｃｏｓθ＋４ただし、０≦θ＜２πとする。

三角関数と２次関数の複合問題です。
サインとコサインの両方が含まれている場合は、三角関数の相互関係を用いて、どちらか片方に統一します。

今回の問題では、サインの２乗があるので、ｓｉｎ²θ＝１−ｃｏｓ²θでコサインにしてみましょう！

ｙ＝２(１−ｃｏｓ²θ)＋２ｃｏｓθ＋４
　＝２−２ｃｏｓ²θ＋２ｃｏｓθ＋４
　＝−２ｃｏｓ²θ＋２ｃｏｓθ＋６

これでコサインについての２次関数になりました。
ｃｏｓθ＝ｔなどとおいて、普通の２次関数の最大最小を考える場合と同じことをやります。
つまり、平方完成をして頂点を求めます。

ｙ＝−２ｔ²＋２ｔ＋６
　＝−２(ｔ²−ｔ)＋６
　＝−２(ｔ²−ｔ＋１／４−１／４)＋６
　＝−２{(ｔ−１／２)²−１／４}＋６
　＝−２(ｔ−１／２)²＋１／２＋６
　＝−２(ｔ−１／２)²＋１３／２

よって、頂点の座標は(１／２，１３／２)ですね。

−１≦ｃｏｓθ≦１なので、−１≦ｔ≦１だから、この頂点は定義域内にあります。
ｔの２乗の係数がマイナスなので上に凸だから、頂点は最大値です。

そして、定義域の両端のうち頂点から遠い方が最小値になります。
つまり、ｔ＝−１のときが最小です。

ｔ＝１をｙ＝−２ｔ²＋２ｔ＋６に代入すると、
ｙ＝−２−２＋６
　＝２

まとめると、

ｔ＝１／２すなわちθ＝π／３，(５／３)πのとき最大値１３／２
ｔ＝−１すなわちθ＝πのとき最小値２

このようになります。


◆関連問題
ｙ＝ｓｉｎθの最大最小
三角関数まとめ


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◆問題

空欄に適語を入れてください。

廃藩置県と同時に、中央政府の組織も整備された。神祇官を(�@)の外におき、(�@)を正院・左院・右院の三院制とし、正院のもとに各省をおく制度へ改めた。(�A)や岩倉具視らの公家とともに、薩長を中心に土肥を加えた４藩出身の実力者たちが実権を握り、のちに(�B)政治と呼ばれる政権の基礎が固まった。


解答はこのページ下


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◆解答

�@太政官、�A三条実美、�B藩閥

廃藩置県と同時に、中央政府の組織も整備された。神祇官を太政官の外におき、太政官を正院・左院・右院の三院制とし、正院のもとに各省をおく制度へ改めた。三条実美や岩倉具視らの公家とともに、薩長を中心に土肥を加えた４藩出身の実力者たちが実権を握り、のちに藩閥政治と呼ばれる政権の基礎が固まった。


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