本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学２Ｂ第２問[1]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第２問
[1] ａを実数とし、ｆ(ｘ)＝ｘ^3－６ａｘ＋１６とおく。
(1) ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフの概形は
ａ＝０のとき、[ア]
ａ＜０のとき、[イ]
である。
[ア]，[イ]については、最も適当なものを、次の{0}～{5}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。
グラフはこちら→
http://www.a-ema.com/img/2022math2b2a.png(2) ａ＞０とし、ｐを実数とする。座標平面上の曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐが
３個の共有点をもつようなｐの値の範囲は[ウ]＜ｐ＜[エ]である。
ｐ＝[ウ]のとき、曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐは２個の共有点をもつ。それらの
ｘ座標をｑ，ｒ(ｑ＜ｒ)とする。曲線ｙ＝ｆ(ｘ)と直線ｙ＝ｐが点(ｒ，ｐ)で
接することに注意すると
ｑ＝[オカ]√[キ]・ａ^(1/2)，ｒ＝√[ク]・ａ^(1/2)
と表せる。
[ウ]，[エ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ２√２・ａ^(3/2)＋１６ {1} －２√２・ａ^(3/2)＋１６ ｜
｜{2} ４√２・ａ^(3/2)＋１６ {3} －４√２・ａ^(3/2)＋１６ ｜
｜{4} ８√２・ａ^(3/2)＋１６ {5} －８√２・ａ^(3/2)＋１６ ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――┘
(3) 方程式ｆ(ｘ)＝０の異なる実数解の個数をｎとする。次の{0}～{5}のうち、
正しいものは[ケ]と[コ]である。
[ケ]，[コ]の解答群(解答の順序は問わない。)
┌―――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｎ＝１ならばａ＜０ {1} ａ＜０ならばｎ＝１ ｜
｜{2} ｎ＝２ならばａ＜０ {3} ａ＜０ならばｎ＝２ ｜
｜{4} ｎ＝３ならばａ＞０ {5} ａ＞０ならばｎ＝３ ｜
└―――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分の解説記事→
http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■ 解説目次
◆１ 導関数は傾きを表す
◆２ 極値では導関数の値(＝微分係数)が０
◆３ 定数項はｙ軸上の点
◆４ ｙ'＝０は極値を表す
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 定数項はｙ軸上の点
では今回の問題です。
ｙ＝ｆ(ｘ)のグラフについての設問です。
「ｆ(ｘ)＝ｘ^3－６ａｘ＋１６」であり、まずはａ＝０の場合を考えます。
この場合の関数の式は「ｙ＝ｘ^3＋１６」ですね。
これはｙ＝ｘ^3に１６を足しただけなので、ｙ＝ｘ^3のグラフを上に１６移動した
ものです。定数項が１６だから、ｙ軸上の１６の点を通る。と考えてもよいです。
ｙ＝ｘ^3のグラフは全体として右上がりで、原点で接線の傾きがゼロとなるので、
１番が適切ですね。
よって、[ア]＝１
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◆４ ｙ'＝０は極値を表す
次はａ＜０のときです。
グラフの形を考えるときは、まずは微分して極値のときのｘの値を求めるのが王道
です。
ｙ'＝３ｘ^2－６ａ
ａ＜０なので、このｙ'の値は常にプラスになります。
つまり接線の傾きは常にプラスであり、極値を持ちません。
全体として右上がりであることと、ｙ軸上は１６の点を通ることは変わらないので
(以下略)
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