2023年07月28日

高校数学「三角関数」「最大最小」y=sin(θ+π/3)

高校数学「三角関数」「最大最小」y=sin(θ+π/3)

■問題

y=sin(θ+π/3)の最大値・最小値を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

y=sin(θ+π/3)の最大値・最小値を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。

このように、角度の部分が式になっている場合は、そこを文字でおくとやりやすいです。

t=θ+π/3とすると、π/3≦t<(7/3)π

これは、θの範囲が0から2πだから、θにπ/3を足せば、左右にもπ/3を足すので範囲がπ/3だけずれる。と理解しておくとよいと思います。

サインの値は、単位円上で上に行くほど大きく、下に行くほど小さいです。
つまり、最大は1,最小は−1ですね。

sint=1のときt=π/2,sint=−1のときt=(3/2)π
です。

t=θ+π/3だから、それぞれ置き換えて、

t=π/2にt=θ/π/3を代入すると、
θ+π/3=π/2
   θ=π/2−π/3
   θ=π/6

これがsint=1のときすなわち、最大値のときのθの値です。
よって、θ=π/6のとき最大値1

最小値も同様にして、
θ+π/3=(3/2)π
   θ=(3/2)π−π/3
   θ=(9/6)π−(2/6)π
   θ=(7/6)π
よって、θ=(7/6)πのとき最小値−1


◆関連問題
y=sinθの最大最小
三角関数まとめ


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ラベル:数学
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高校化学「気体の性質」水素の溶解度@

高校化学「気体の性質」水素の溶解度@

◆問題

水素は、0℃、1.0×10Paで、1Lの水に22mL溶ける。

(1) 0℃、5.0×10Paでは、1Lの水に溶ける水素は何molか?


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答解説

水素は、0℃、1.0×10Paで、1Lの水に22mL溶ける。
(1) 0℃、5.0×10Paでは、1Lの水に溶ける水素は何molか?


ヘンリーの法則により、気体の溶解度は圧力に比例します。
気体が液体に押しつけられれば、それだけ多く気体と液体が衝突するので、より多く溶ける。と考えられます。

この問題では圧力が5倍になっているので、溶解度も5倍です。

まず、0℃、1.0×10Paでは、22mL溶けるので、これが何molかといえば、

22×10-3/22.4=(22/22.4)×10-3≒0.982×10-3[mol]

です。
ちなみに、問題の途中なので、計算はいったんここまでとしています。

圧力が5倍なら溶解度も5倍、つまり、溶ける気体の物質量も5倍だから、求める物質量は、

0.982×10-3×5=4.91×10-3[mol]


次の問題→溶ける気体の体積


◆関連項目
気体の状態方程式
気体の性質まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学2B第2問[1]

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学2B第2問[1]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数2Bより

第2問

[1] aを実数とし、f(x)=x^3−6ax+16とおく。

(1) y=f(x)のグラフの概形は

  a=0のとき、[ア]
  a<0のとき、[イ]

である。

[ア],[イ]については、最も適当なものを、次の{0}〜{5}のうちから一つずつ
選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

グラフはこちら→http://www.a-ema.com/img/2022math2b2a.png


(2) a>0とし、pを実数とする。座標平面上の曲線y=f(x)と直線y=pが
3個の共有点をもつようなpの値の範囲は[ウ]<p<[エ]である。

 p=[ウ]のとき、曲線y=f(x)と直線y=pは2個の共有点をもつ。それらの
x座標をq,r(q<r)とする。曲線y=f(x)と直線y=pが点(r,p)で
接することに注意すると

  q=[オカ]√[キ]・a^(1/2),r=√[ク]・a^(1/2)

と表せる。

[ウ],[エ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 2√2・a^(3/2)+16  {1} −2√2・a^(3/2)+16 |
|{2} 4√2・a^(3/2)+16  {3} −4√2・a^(3/2)+16 |
|{4} 8√2・a^(3/2)+16  {5} −8√2・a^(3/2)+16 |
└――――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) 方程式f(x)=0の異なる実数解の個数をnとする。次の{0}〜{5}のうち、
正しいものは[ケ]と[コ]である。

[ケ],[コ]の解答群(解答の順序は問わない。)

┌―――――――――――――――――――――――――┐
|{0} n=1ならばa<0  {1} a<0ならばn=1 |
|{2} n=2ならばa<0  {3} a<0ならばn=2 |
|{4} n=3ならばa>0  {5} a>0ならばn=3 |
└―――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  微分積分の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html

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■ 解説目次

 ◆1 導関数は傾きを表す
 ◆2 極値では導関数の値(=微分係数)が0
 ◆3 定数項はy軸上の点
 ◆4 y'=0は極値を表す

(以下略)

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■ 解説

◆1,2は省略します。


 ◆3 定数項はy軸上の点

では今回の問題です。
y=f(x)のグラフについての設問です。

「f(x)=x^3−6ax+16」であり、まずはa=0の場合を考えます。

この場合の関数の式は「y=x^3+16」ですね。

これはy=x^3に16を足しただけなので、y=x^3のグラフを上に16移動した
ものです。定数項が16だから、y軸上の16の点を通る。と考えてもよいです。

y=x^3のグラフは全体として右上がりで、原点で接線の傾きがゼロとなるので、
1番が適切ですね。

よって、[ア]=1


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 ◆4 y'=0は極値を表す

次はa<0のときです。

グラフの形を考えるときは、まずは微分して極値のときのxの値を求めるのが王道
です。

y'=3x^2−6a

a<0なので、このy'の値は常にプラスになります。
つまり接線の傾きは常にプラスであり、極値を持ちません。

全体として右上がりであることと、y軸上は16の点を通ることは変わらないので


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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ラベル:数学
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日本史「明治維新と富国強兵」廃藩置県D

日本史「明治維新と富国強兵」廃藩置県D

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1872年の(@)にもとづき、翌年1月政府は徴兵令を公布した。これにより、士族・平民の区別なく、満20歳に達した男性から選抜して3年間の兵役に服させる兵制が立てられた。

警察制度も創設された。1873年に新設された(A)省は、殖産興業や地方行政にあたったほか、警察組織を統轄した。1874年には東京に(B)庁が設置された。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@徴兵告諭、A内務、B警視

1872年の徴兵告諭にもとづき、翌年1月政府は徴兵令を公布した。これにより、士族・平民の区別なく、満20歳に達した男性から選抜して3年間の兵役に服させる兵制が立てられた。

警察制度も創設された。1873年に新設された内務省は、殖産興業や地方行政にあたったほか、警察組織を統轄した。1874年には東京に警視庁が設置された。


前の問題→廃藩置県C
次の問題→四民平等@


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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