2023年08月17日

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液B

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液B

◆問題

塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、水酸化鉄(V)のコロイド溶液を生じる。この溶液をセロハンの袋に入れ、蒸留水中に浸しておくと前よりも純度の高い溶液が得られる。この操作を[ ]という。このとき、セロハンの袋の外の溶液は[ ]性を示す。操作後のコロイド溶液の一部をとり、少量の電解質水溶液を加えて放置すると沈殿が生じる。この現象を[ ]といい、水酸化鉄(V)のコロイドは[ ]コロイドといえる。水酸化鉄(V)のコロイド溶液に直接電圧をかけると、コロイド粒子が陰極側に移動するので、このコロイドは[ ]に帯電していることがわかる。

問1 空欄に適語を入れよ。

問2 下線部aの変化を化学反応式で示せ。

問3 下線部bについて、モル濃度が同じ場合、最も少量で沈殿を生じさせる水溶液を選べ。
NaClaq,Na2SO4aq,Ca(NO3)2aq,CaCl2aq


問3の解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

少量の電解質水溶液を加えて放置すると沈殿が生じる。

この場合、どういう電解質を加えれば沈殿が生じやすいか考えます。

問1でも考えたように、水酸化鉄(V)のコロイド粒子は、正に帯電した疎水コロイドです。
まず、正に帯電しているので、陰イオンによって凝析します。
そして陰イオンの価数が大きければ、つまり、1価の陰イオンよりも2価の陰イオンの方が凝析の効果が大きいです。

ということで、選択肢の電解質のうち、2価の陰イオンを生じるのはNa2SO4だから、

この問題の解答は「Na2SO4aq」となります。


問1に戻る


◆関連項目
コロイド
気体の性質・溶液の性質まとめ


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日本史「明治維新と富国強兵」新政府への反抗@

日本史「明治維新と富国強兵」新政府への反抗@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1873年征韓論が否決されると、西郷隆盛・板垣退助・(@)・江藤新平・副島種臣らの征韓派参議は一斉に辞職し(A)、翌1874年から士族の不満を背景に、政府批判の運動を始めた。

板垣退助・(@)らは、愛国公党を設立し、イギリス帰りの知識人とともに作成した民選議院設立の建白書を左院に提出し、政府官僚の専断(B)を批判して、国会の設立を求めた。これは自由民権運動の口火となった。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@後藤象二郎、A明治六年の政変、B有司専制

1873年征韓論が否決されると、西郷隆盛・板垣退助・後藤象二郎・江藤新平・副島種臣らの征韓派参議は一斉に辞職し(明治六年の政変)、翌1874年から士族の不満を背景に、政府批判の運動を始めた。

板垣退助・後藤象二郎らは、愛国公党を設立し、イギリス帰りの知識人とともに作成した民選議院設立の建白書を左院に提出し、政府官僚の専断(有司専制)を批判して、国会の設立を求めた。これは自由民権運動の口火となった。


前の問題→明治初期の対外関係C
次の問題→新政府への反抗A


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年08月16日

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液A

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液A

◆問題

塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、水酸化鉄(V)のコロイド溶液を生じる。この溶液をセロハンの袋に入れ、蒸留水中に浸しておくと前よりも純度の高い溶液が得られる。この操作を[ ]という。このとき、セロハンの袋の外の溶液は[ ]性を示す。操作後のコロイド溶液の一部をとり、少量の電解質水溶液を加えて放置すると沈殿が生じる。この現象を[ ]といい、水酸化鉄(V)のコロイドは[ ]コロイドといえる。水酸化鉄(V)のコロイド溶液に直接電圧をかけると、コロイド粒子が陰極側に移動するので、このコロイドは[ ]に帯電していることがわかる。

問1 空欄に適語を入れよ。

問2 下線部の変化を化学反応式で示せ。


問2の解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、水酸化鉄(V)のコロイド溶液を生じる

この反応を化学反応式で表します。

まず、この反応は、

「塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、塩化鉄(V)と沸騰水が反応して、水酸化鉄(V)が生じる」

という反応です。
水酸化鉄(V)が生じると、残った塩素と水の水素が合わさって塩化水素が生じる。と考えられます。
これのそれぞれの物質を化学式で表して、係数を合わせれば完成です。

FeCl3+H2O→Fe(OH)3+HCl

あとは係数を合わせます。
例えばClに着目すれば、反応後にもClは3個必要なので、HClは3個になります。
その他も合わせると、

FeCl3+3H2O→Fe(OH)3+3HCl


次の問題→水酸化鉄(V)コロイドを凝析させるために有効な水溶液


◆関連項目
コロイド
気体の性質・溶液の性質まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト追試英語第5問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト追試英語第5問の内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第5問

You are applying for a scholarship to attend an international summer
program. As part of the application process, you need to make a
presentation about a famous person from another country. Complete your
presentation slides based on the article below.


During his 87 years of life, both above and below the waves, Jacques
Cousteau did many great things. He was an officer in the French navy,
an explorer, an environmentalist, a filmmaker, a scientist, an author,
and a researcher who studied all forms of underwater life.

Born in France in 1910, he went to school in Paris and then entered the
French naval academy in 1930. After graduating 1933, he was training to
become a pilot, when he was involved in a car accident and was badly
injured. This put an end to his flying career. To help recover from his
injuries, Cousteau began swimming in the Mediterranean, which increased
his interest in life underwater. Around this time, he carried out his
first underwater research. Cousteau remained in the navy until 1949, even
though he could no longer follow his dream of becoming a pilot.

In the 1940s, Cousteau became friends with Marcel Ichac, who lived in the
same village. Both men shared a desire to explore unknown and
difficult-to-reach places. For Ichac this was mountain peaks, and for
Cousteau it was the mysterious world under the sea. In 1943, these two
neighbors became widely recognized when they won a prize for the first
French underwater documentary.

Their documentary, 18 Meters Deep, had been filmed the previous year
without breathing equipment. After their success they went on to make
another film, Shipwrecks, using one of the very first underwater breathing
devices, known as the Aqua-Lung. While filming Shipwrecks, Cousteau was not
satisfied with how long he could breathe underwater, and made improvements
to its design. His improved equipment enabled him to explore the wreck of
the Roman ship, the Mahdia, in 1948.

Cousteau was always watching the ocean, even from age four when he first
learned how to swim. In his book, The Silent World, published in 1953, he
describes a group of dolphins following his boat. He had long suspected
that dolphins used echolocation (navigating with sound waves), so he
decided to try an experiment. Cousteau changed direction by a few degrees
so that the boat wasn't following the best course, according to his
underwater maps. The dolphins followed for a few minutes, but then changed
back to their original course. Seeing this, Cousteau confirmed his
prediction about their ability, even though human use of echolocation was
still relatively new.

Throughout his life, Cousteau's work would continue to be recognized
internationally. He had the ability to capture the beauty of the world
below the surface of the ocean with cameras, and he shared the images with
ordinary people through his many publications. For this he was awarded the
Special Gold Medal by National Geographic in 1961. Later, his lifelong
passion for environmental work would help educate people on the necessity
of protecting the ocean and aquatic life. For this he was honored in 1977
with the United Nations International Environment Prize.

Jacques Cousteau's life has inspired writers, filmmakers, and even
musicians. In 2010, Brad Matsen published Jacques Cousteau: The Sea King.
This was followed by the film The Odyssey in 2016, which shows his time as
the captain of the research boat Calypso. When Cousteau was at the peak of
his career, the American musician John Denver used the research boat as
the title for a piece on his album Windsong.

Cousteau himself produced more than 50 books and 120 television
documentaries. His first documentary series, The Undersea World of Jacques
Cousteau, ran for ten years. His style of presentation made these programs
very popular, and a second documentary series, The Cousteau Odyssey, was
aired for another five years. Thanks to the life and work of Jacques
Cousteau, we have a better understanding of what is going on under waves.


問1 Which is the best subtitle for your presentation? [ 30 ]
{1} Capturing the Beauty of Nature in Photographs
{2} Discovering the Mysteries of Intelligent Creatures
{3} Exploring the Top and Bottom of the World
{4} Making the Unknown Undersea World Known

問2 Choose the best option to complete the Early Career (before 1940)
slide. [ 31 ]
{1} Developed underwater breathing equipment
{2} Forced to give up his dream of becoming a pilot
{3} Shifted his focus from the ocean to air
{4} Suffered severe injuries while underwater

問3 Choose [four] out of the five events ({1}〜{5}) in the order they
happened to complete the [In the 1940s] slide.
{1} Dived to the Mahdia using improved equipment
{2} Filmed a documentary without breathing equipment
{3} Helped one of his neighbors explore high places
{4} Left the French navy
{5} Won an award and became famous


問4 Choose the best combination to complete the Some Major Works slide.
[ 36 ]

問5 Choose two achievements to complete the [Contributions] slide.
(The order does not matter.) [ 37 ]・[ 38 ]
{1} Built a TV station to broadcast documentaries about marine life
{2} Encouraged people to protect the ocean environment
{3} Established prizes to honor innovative aquatic filmmaking
{4} Produced many beautiful images of the underwater world
{5} Trained pilots and researchers in the French navy

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■ スラッシュリーディング

第5問

You are applying / for a scholarship / to attend
/ an international summer program.
あなたは応募している / 奨学金に / 参加するための
/ 国際的なサマープログラムに

As part of the application process, / you need / to make a presentation
/ about a famous person / from another country.
応募過程の一部として / あなたは必要とする / プレゼンテーションをする
/ 有名な人について / 他の国からの

Complete / your presentation slides / based on the article below.
完成しなさい / あなたのプレゼンテーションスライドを / 下の記事に基づいて


During his 87 years of life, / both above and below the waves,
/ Jacques Cousteau did / many great things.
彼の87年の人生で / 波の上と下の両方で
/ Jacques Cousteauは行った / 多くの偉大なことを

He was an officer / in the French navy, / an explorer,
/ an environmentalist, / a filmmaker, / a scientist, / an author,
/ and a researcher / who studied / all forms / of underwater life.


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
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【中学5科】高校入試の重要ポイント
 http://pmana.jp/pc/pm707.html
ラベル:英語
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日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係C

日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係C

◆問題

空欄に適語を入れてください。

新政府は朝鮮に国交樹立を求めたが、鎖国政策をとっていた朝鮮は、(@)として正式の交渉には応じなかった。1873年留守政府首脳の西郷隆盛・板垣退助らは(A)論を唱えたが、帰国した大久保利通らの反対にあって挫折し、(A)派は下野した。1875年の(B)を機に日本は朝鮮に迫り、1876年日朝修好条規を結び、朝鮮を開国させた。

幕末からロシアとの間で懸案となっていた樺太については、1875年に(C)条約を結んだ。また、欧米系住民が定住していた小笠原諸島は、1876年に内務省の出張所をおいて統治を再開した。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@日本の交渉態度を不満、A征韓、B江華島事件、C樺太・千島交換条約

新政府は朝鮮に国交樹立を求めたが、鎖国政策をとっていた朝鮮は、日本の交渉態度を不満として正式の交渉には応じなかった。1873年留守政府首脳の西郷隆盛・板垣退助らは征韓論を唱えたが、帰国した大久保利通らの反対にあって挫折し、征韓派は下野した。1875年の江華島事件を機に日本は朝鮮に迫り、1876年日朝修好条規を結び、朝鮮を開国させた。

幕末からロシアとの間で懸案となっていた樺太については、1875年に樺太・千島交換条約を結んだ。また、欧米系住民が定住していた小笠原諸島は、1876年に内務省の出張所をおいて統治を再開した。


前の問題→明治初期の対外関係B
次の問題→新政府への反抗@


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2023年08月15日

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液@

高校化学「溶液の性質」水酸化鉄(V)のコロイド溶液@

◆問題

塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、水酸化鉄(V)のコロイド溶液を生じる。この溶液をセロハンの袋に入れ、蒸留水中に浸しておくと前よりも純度の高い溶液が得られる。この操作を[ ]という。このとき、セロハンの袋の外の溶液は[ ]性を示す。操作後のコロイド溶液の一部をとり、少量の電解質水溶液を加えて放置すると沈殿が生じる。この現象を[ ]といい、水酸化鉄(V)のコロイドは[ ]コロイドといえる。水酸化鉄(V)のコロイド溶液に直接電圧をかけると、コロイド粒子が陰極側に移動するので、このコロイドは[ ]に帯電していることがわかる。

問1 空欄に適語を入れよ。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

塩化鉄(V)水溶液を沸騰水中に入れると、水酸化鉄(V)のコロイド溶液を生じる。この溶液をセロハンの袋に入れ、蒸留水中に浸しておくと前よりも純度の高い溶液が得られる。この操作を[透析]という。このとき、セロハンの袋の外の溶液は[]性を示す。操作後のコロイド溶液の一部をとり、少量の電解質水溶液を加えて放置すると沈殿が生じる。この現象を[凝析]といい、水酸化鉄(V)のコロイドは[疎水]コロイドといえる。水酸化鉄(V)のコロイド溶液に直接電圧をかけると、コロイド粒子が陰極側に移動するので、このコロイドは[]に帯電していることがわかる。


次の問題→塩化鉄水溶液の化学反応式


◆関連項目
コロイド
気体の性質・溶液の性質まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学2B第5問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学2B第5問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数2Bより

第5問

 平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり、
→OA・→OB=−2/3および→OC=−→OAを満たすとする。tを
0<t<1を満たす実数とし、線分ABをt:(1−t)に内分する点をPとする。
また、直線OP上に点Qをとる。

(1) cos∠AOB=[アイ]/[ウ]である。

 また、実数kを用いて、→OQ=k・→OPと表せる。したがって

  →OQ=[エ]・→OA+[オ]・→OB ……{1}
  →CQ=[カ]・→OA+[キ]・→OB

となる。

 →OAと→OPが垂直となるのは、t=[ク]/[ケ]のときである。

[エ]〜[キ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} kt  {1} (k−kt)  {2} (kt+1)            |
|{3} (kt−1)  {4} (k−kt+1)  {5} (k−kt−1)     |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 以下、t≠[ク]/[ケ]とし、∠OCQが直角であるとする。


(2) ∠OCQが直角であることにより、(1)のkは

  k=[コ]/([サ]t−[シ]) ……{2}

となることがわかる。

 平面から直線OAを除いた部分は、直線OAを境に二つの部分に分けられる。
そのうち、点Bを含む部分をD1,含まない部分をD2とする。また、平面から
直線OBを除いた部分は、直線OBを境に二つの部分に分けられる。そのうち、
点Aを含む部分をE1,含まない部分をE2とする。

・0<t<[ク]/[ケ]ならば、点Qは[ス]。

・[ク]/[ケ]<t<1ならば、点Qは[セ]。

[ス],[セ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| {0} D1に含まれ、かつE1に含まれる                |
| {1} D1に含まれ、かつE2に含まれる                |
| {2} D2に含まれ、かつE1に含まれる                |
| {3} D2に含まれ、かつE2に含まれる                |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘


(3) 太郎さんと花子さんは、点Pの位置と|→OQ|の関係について考えている。
 t=1/2のとき、{1}と{2}により、|→OQ|=√[ソ]とわかる。

┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|太郎:t≠1/2のときにも、|→OQ|=√[ソ]となる場合があるかな。 |
|花子:|→OQ|をtを用いて表して、|→OQ|=√[ソ]を満たすtの値に |
|   ついて考えればいいと思うよ。                 |
|太郎:計算が大変そうだね。                     |
|花子:直線OAに関して、t=1/2のときの点Qと対象な点をRとしたら|
|   |→OR|=√[ソ]となるよ。                  |
|太郎:→ORを→OAと→OBを用いて表すことができれば、tの値が求め|
|   られそうだね。                        |
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 直線OAに関して、t=1/2のときの点Qと対象な点をRとすると

  →CR=[タ]・→CQ
     =[チ]・→OA+[ツ]・→OB

となる。

 t≠1/2のとき、|→OQ|=√[ソ]となるtの値は[テ]/[ト]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  ベクトルの解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html

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■ 解説目次

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ
 ◆2 ベクトルの四則計算
 ◆3 円の中心と円周を結ぶと半径

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 ベクトルの成分と大きさ

2021年共通テストでは、第5問にベクトルの問題が配置されました。
順番は変わりましたが、第3問〜第5問が選択問題で、数列、ベクトル、確率統計
の3つの分野から2つを選ぶという形式は変わりませんでした。

まずは、ベクトルに関する基本的な用語と公式について確認しておきましょう!
「そんなの知ってるよ!」という人は、◆1,2は飛ばしてもらってもOKです。

ベクトルは大きさと向きの両方の情報を持った数量です。      →
2点A,Bがあるとき、AからBへ進むことをベクトルABといい、ABと
表します。

ABは、「Bの座標−Aの座標」で求めることができます。
 →                 →
|AB|は「ベクトルABの絶対値」で、ABの長さ(大きさ)を表します。

ベクトルは座標と同じような表現方法で、始点から終点までどのように動くかを
表すことができます。
                             →
例えば、AからBに行くには、右に1,上に2進むとすると、AB=(1,2)と
書くことができます。
     →
そして、|AB|は、三平方の定理で求めることができます。この例の場合は、
 →
|AB|=√(1^2+2^2)=√5ですね。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆2 ベクトルの四則計算

続いて、ベクトルの計算について、簡単に説明しておきます。

ベクトルで表された式の計算は、基本的に普通の文字と同様に計算することが
できますが、いくつか違うところがあります。

★異なるベクトルの和は、もとのベクトルを2辺とする平行四辺形を作って、
その対角線のベクトルとなります。

★異なるベクトルの差は、「終点−始点」と覚えておけば大丈夫です。
また、ベクトルは符号を変えると向きが逆になるので、
「差=向きが逆のベクトルの和」と考えた方がわかりやすい場合もあります。

ベクトルのかけ算は、「内積」といい、次の式で表されます。
  → →            → →
★ a・b=x1・x2+y1・y2=|a||b|cosθ

ベクトルの成分がわかっているときは「内積はx同士y同士を掛けて合計」です。
空間の場合は、z座標も同様に掛けて全て合計します。

ちなみに内積は、cosθを使って表し、cos90°=0なので、
ベクトルが垂直のときは、内積の値は必ず0になることを覚えておくとよいです。


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆3 円の中心と円周を結ぶと半径

では今回の問題の内容を確認しましょう!

「平面上の点Oを中心とする半径1の円周上に、3点A,B,Cがあり」
「→OA・→OB=−2/3および→OC=−→OAを満たす」

との記述があります。

半径1の円があり、その中心と円周上の点を始点・終点とするベクトルを考えて
いますね。

OA,OBは円Oの半径なので、|→OA|=|→OB|=1です。

内積の公式より、→OA・→OB=|→OA||→OB|cosθだから・・・


(以下略)


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係B

日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係B

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1871年に台湾で(@)事件が発生した。清国はこれに責任を負わないとしたため、1874年台湾出兵を行った。これに対し清国はイギリスの調停もあり、事実上の賠償金を支払った。ついで1879年には、日本政府は琉球藩・琉球王国の廃止と沖縄県の設置を強行した(A)。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@琉球漂流民殺害、A沖縄処分

1871年に台湾で琉球漂流民殺害事件が発生した。清国はこれに責任を負わないとしたため、1874年台湾出兵を行った。これに対し清国はイギリスの調停もあり、事実上の賠償金を支払った。ついで1879年には、日本政府は琉球藩・琉球王国の廃止と沖縄県の設置を強行した(沖縄処分)。


前の問題→明治初期の対外関係A
次の問題→明治初期の対外関係C


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年08月14日

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題A

◆問題

座標平面上に、直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2があり、直線lとx軸,y軸との交点をそれぞれA,B、直線mとx軸,y軸との交点をそれぞれC,Dとする。また、直線lと直線mの交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Dを通る直線の式を求めよ。

(2) △BPCを直線BCに平行な直線で2つの部分に分けたとき、頂点Pの側にできる三角形の面積が△BPCの面積の1/4になった。このときの直線の式を求めよ。


(2)の解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

「直線BCに平行な直線」とあるので、まずは直線BCの式(傾き)を求めましょう!

Bは直線lの切片なので、直線BCの切片も4となります。

Cは直線mとx軸との交点なので、y=0を代入して計算します。

0=(−1/3)x+2
0=−x+6
x=6

つまり、C(6,0)です。

y=ax+bに、b=4,x=6,y=0を代入すると、
  0=6a+4
−6a=4
  a=−2/3

よって、直線BCの式はy=(−2/3)x+4となります。
そして、直線BCと平行な直線は傾きが−2/3です。
「平行な直線は傾きが等しい」という性質があります。そしてBCの傾きは−2/3だから、求める直線の傾きも−2/3です。

あとは「面積が1/4」という条件について考える必要があります。
BCに平行な直線で△BPCを切ると、点P側の三角形は、△BPCと形が同じつまり相似になります。
平行線の同位角は等しいので、2組の角がそれぞれ等しいので、相似ですね。

相似な図形で面積が1/4の場合は・・・

「相似比が1:2」です。

底辺も高さも1:2だから、面積は1/4となります。

相似比が1:2になればいいのだから、求める直線はBP(とCP)の中点を通ればいい。ということができます。


Pの座標はまだ求めていなかったので、ここで求めてみましょう!
Pは直線lと直線mの交点だから、これらの直線の式を連立して解けばOKです。

y=−2x+4,y=(−1/3)x+2の右辺同士をイコールで結んで、解きます。

 −2x+4=(−1/3)x+2
−6x+12=−x+6
   −5x=−6
     x=6/5

これをy=−2x+4に代入して、
y=−2×6/5+4
 =−12/5+20/5
 =8/5

つまり、P(6/5,8/5)です。

そしてBPの中点は、Bの座標とPの座標の平均です。
x座標・・・(0+6/5)÷2=3/5
y座標・・・(4+8/5)÷2=14/5

だから、BPの中点(3/5,14/5)です。

というわけで、傾きが−2/3で、(3/5,14/5)を通る直線が求める直線です。
y=ax+bに代入して計算していきましょう!

14/5=(−2/3)×(3/5)+b
14/5=−2/5+b
−b=−2/5−14/5
−b=−16/5
 b=16/5

だいぶ長くなりましたが、というわけで、求める直線は、

y=(−2/3)x+16/5


◆関連項目
交点y軸上で交わる条件平行な直線
1次関数まとめ
相似比と面積比


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中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題@

中学数学「1次関数」直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2に関する問題@

◆問題

座標平面上に、直線l:y=−2x+4,直線m:y=(−1/3)x+2があり、直線lとx軸,y軸との交点をそれぞれA,B、直線mとx軸,y軸との交点をそれぞれC,Dとする。また、直線lと直線mの交点をPとする。このとき次の問いに答えよ。

(1) 2点A,Dを通る直線の式を求めよ。


解答解説はこのページ下


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◆解答・解説

直線の式を求めるときは、多くの場合は2点の座標を求めればOKです。

「2点の座標→y=ax+bに代入して連立」

という方針です。

「A,Pを通る直線」を求めたいので、まずは点A,点Pの座標を求めましょう!


Aは「y=−2x+4とx軸との交点」です。

x軸上はy=0なので、この式にy=0を代入して解きます。

 0=−2x+4
2x=4
 x=2

よって、A(2,0)ですね。
y=0を入れたらx=2だったので、(2,0)です。


続いて点Dです。
点Dは「y=(−1/3)x+2とy軸との交点」です。

y軸上はx=0なので、この式にx=0を代入して解きます。
y=2だから、D(0,2)ですね。

y軸上の点は切片なので、b=2だからD(0,2)と見てもよいです。


2点の座標A(2,0),D(0,2)がわかったので、あとはこれら2点を通る直線の式を求めます。

2点がわかればとにかくy=ax+bに代入して連立で解けますが、この場合はDから切片がわかっているので、b=2を代入して、x,yにAの座標を代入する。と考えた方が簡単です。

  0=2a+2
−2a=2
  a=−1

よって、y=−x+2

傾きは−1,切片は2だから、a,bにそれぞれ代入すると、y=−x+2ですね!


◆関連項目
交点y軸上で交わる条件
1次関数まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト追試英語第4問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト追試英語第4問の内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第4問

To make a schedule for your homestay guest, Tom, you are reading the email
exchange between your family and him.


Hi Tom,

Your arrival is just around the corner, so we are writing to check some
details. First, what time will you land at Asuka International Airport?
We'd like to meet you in the arrivals area.

While you are staying with us, we'll eat meals together. We usually have
breakfast at 7:30 a.m. and dinner at 7 p.m. on weekdays. Do you think that
will work, or would another time suit you better?

We would like to show you around Asuka. There will be a neighborhood
festival on the day after you arrive from noon to 4 p.m. You can join one
of the groups carrying a portable shrine, called a mikoshi. After the
festival, at 8 p.m., there will be a fireworks display by the river until
9 p.m.

Also, we would like to take you to a restaurant one evening. Attached is
some information about our favorite places. As we don't know what you like,
please tell us which looks best to you.

Finally, according to your profile, you collect samurai figures. Chuo Dori,
the main street in our town, has many shops that sell them. There are also
shops selling food, clothes, computer games, stationary, etc. You can have
a great time there. What do you think? Would you like to go there?

See you soon,
Your Host Family


The email below is Tom's reply to your family.

Dear Host Family,

Thank you for your email. I'm really looking forward to my visit to Japan.
You don't have to come to the airport. Hinode University is arranging
transportation for us to the campus. There will be a welcome banquet till
7 p.m. in Memorial Hall. After the banquet, I will wait for you at the
entrance to the building. Would that be all right?

I think I need half a day to recover from the flight, so I might like to
get up late and just relax in the afternoon the next day. The fireworks at
night sound exciting.

Starting Monday, my language lessons are from 8 a.m., so could we eat
breakfast 30 minutes earlier? My afternoon activities finish at 5 p.m.
Dinner at 7 p.m. would be perfect.

Thank you for the list of restaurants with comments. To tell you the truth,
I'm not fond of seafood, and I don't eat red meat. I have no afternoon
activities on the 10th, so could we go out to eat on that day?

As for shopping, Chuo Dori sounds like a great place. While we're there I'd
like to buy some Japanese snacks for my family, too. Since my language
classes finish at noon on the 12th, could we go shopping on that afternoon?

Can't wait to meet you!

Tom


(表は省略します)


問1 Where will your family meet Tom? [ 24 ]
{1} Asuka International Airport
{2} the Banquet Room
{3} the entrance to Memorial Hall
{4} the main gate of Hinode University

問2 Choose what Tom will do on Sunday. [ 25 ]
{1} Attend a welcome banquet
{2} Carry a portable shrine
{3} Go to a festival
{4} Watch fireworks

問3 Choose the restaurant where your family will take Tom. [ 26 ]
{1} Asuka Steak
{2} Kagura Ramen
{3} Sushi Homban
{4} Tempura Iroha

問4 Choose what Tom will shop for. [ 27 ]・[ 28 ] (The order does not matter.)
{1} Action figures
{2} Clothes
{3} Computer games
{4} Food
{5} Stationery

問5 You will have breakfast with Tom at [ 29 ]
{1} 6:30 a.m.
{2} 7:00 a.m.
{3} 7:30 a.m.
{4} 8:00 a.m.

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■ スラッシュリーディング

第4問

To make a schedule / for your homestay guest, Tom,
/ you are reading / the email exchange / between your family and him.
スケジュールを作るための / あなたのホームステイゲストのTomのため
/ あなたは読んでいる / メールのやりとりを / あなたの家族と彼の間の

Hi Tom,
こんにちはTom

Your arrival / is just around the corner, / so / we are writing / to check
/ some details.
あなたの到着は / もうすぐです / だから / 私たちは書いている / 確認するため
/ いくつかの詳細を

First, / what time / will you land / at Asuka International Airport?
最初に / 何時に / あなたは着陸する / Asuka国際空港に


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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解説の続きは、本日21時配信予定の

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★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
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日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係A

日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1871年清国と日清修好条規を結び、相互に開港して(@)を認め合うことなどを定めた。

琉球王国は江戸時代以来、事実上薩摩藩に支配されながら、名目上は(A)とする両属関係にあったが、政府は1872年琉球藩をおいて政府直属とし、琉球国王尚泰を藩王とした。清国はこれに強く抗議し、この措置を認めなかった。


解答はこのページ下


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◆解答

@領事裁判権、A清国を宗主国

1871年清国と日清修好条規を結び、相互に開港して領事裁判権を認め合うことなどを定めた。

琉球王国は江戸時代以来、事実上薩摩藩に支配されながら、名目上は清国を宗主国とする両属関係にあったが、政府は1872年琉球藩をおいて政府直属とし、琉球国王尚泰を藩王とした。清国はこれに強く抗議し、この措置を認めなかった。


前の問題→明治初期の対外関係@
次の問題→明治初期の対外関係B


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2023年08月13日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問5より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問5より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問3 音源が点A,点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれfA,fBであった。fAと音源の速さvを表す式を求めよ。

問4  次に、音源と観測者を入れ替えた場合を考える。図3に示すように、音源を点Qの位置に固定し、観測者が点Oを中心に時計回りに等速円運動をする。



このとき、等速円運動をする観測者が測定する音の振動数についての記述として最も適当なものを、次の@〜Dのうちから1つ選べ。[ 19 ]
@ 点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。
A 点Bにおいて最も大きく、点Aにおいて最も小さい。
B 点Cにおいて最も大きく、点Dにおいて最も小さい。
C 点Dにおいて最も大きく、点Cにおいて最も小さい。
D 観測の位置によらず常に等しい。


音源が等速円運動している場合(図1)と観測者が等速円運動している場合(図3)の音の速さや波長について考える。

問5 次の文章(a)〜(d)のうち、正しいものの組み合わせを、後の@〜Eのうちから1つ選べ。[ 20 ]

(a) 図1の場合、観測者から見ると、点Aを通過したときに出した音の速さの方が、点Bを通過したときに出した音の速さより大きい。
(b) 図1の場合、原点Oを通過する音波の波長は、音源の位置によらずすべて等しい。
(c) 図3の場合、音源から見た音の速さは、音が進む向きによらずすべて等しい。
(d) 図3の場合、点Cを通過する音波の波長は、点Dを通過する音波の波長より長い。


問5の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

正しいものの組み合わせを選ぶ問題ですが、つまりはa〜dそれぞれの正誤を判断すればOKです!

(a) 図1の場合、観測者から見ると、点Aを通過したときに出した音の速さの方が、点Bを通過したときに出した音の速さより大きい。
→風が吹くなどの要素がないので、音速は変わりません。つまり、aは誤り。

(b) 図1の場合、原点Oを通過する音波の波長は、音源の位置によらずすべて等しい。
→音源がOを中心とする等速円運動をしているので、音源からOの方向の速度の変化はありません。だから、振動数は一定、音速も変わらないので波長も変わりません。つまり、bは正しい。

(c) 図3の場合、音源から見た音の速さは、音が進む向きによらずすべて等しい。
→aと同様に、音速は一定です。つまりcは正しい。

(d) 図3の場合、点Cを通過する音波の波長は、点Dを通過する音波の波長より長い。
→音波の進む向きに対する速度はどちらもゼロなので、bと同様に、振動数は一定、音速も一定だから波長も一定です。つまり、dは誤り。

というわけで、「bとcが正しい」ですね!


この問題の最初に戻る→音源にはたらいている向心力の大きさと、向心力がする仕事を表す式


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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高校数学「三角関数」三角不等式cos2θ+9sinθ+4<0

高校数学「三角関数」三角不等式cos2θ+9sinθ+4<0

■問題

三角不等式cos2θ+9sinθ+4<0を解け。ただし、0<θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

三角不等式cos2θ−9sinθ+4<0を解け。ただし、0<θ<2πとする。

このように角度の部分が一致していないときは、まずは角度を合わせます。
2倍角の公式を使ってみましょう!

★ cos2θ=cos2θ−sin2θ

まず2倍角の公式はコレです。
あとは、式がサインだけかコサインだけになるようにさらに変形します。
今回はサインの1次の項が含まれているので、サインに統一します。

三角関数の相互関係を使って、

★ cos2θ=(1−sin2θ)−sin2θ
      =1−2sin2θ

というわけで、与式は

1−2sin2θ+9sinθ+4<0
−2sin2θ+9sinθ+5<0
 2sin2θ−9sinθ−5>0

このように書き換えることができます。
あとはサインの2次不等式と考えて解けばOKですね!

(2sinθ+1)(sinθ−5)>0
よって、sinθ<−1/2,sinθ>5

−1≦sinθ≦1だから、求めるsinθの値は、sinθ<−1/2

このようになるθの範囲は、(7/6)π<θ<(11/6)π


◆関連項目
2倍角の公式三角方程式sin2θ=cosθ
三角関数まとめ


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日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係@

日本史「明治維新と富国強兵」明治初期の対外関係@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

幕府から引き継いだ不平等条約の改正のため、1871年末、右大臣(@)を大使とする岩倉使節団がアメリカ・ヨーロッパに派遣された。まずアメリカと交渉したが、目的を達することはできなかった。1876年から外務卿の(A)が、アメリカと交渉して関税自主権の回復にほぼ成功したが、イギリス・ドイツなどの反対で無効となった。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@岩倉具視、A寺島宗則

幕府から引き継いだ不平等条約の改正のため、1871年末、右大臣岩倉具視を大使とする岩倉使節団がアメリカ・ヨーロッパに派遣された。まずアメリカと交渉したが、目的を達することはできなかった。1876年から外務卿の寺島宗則が、アメリカと交渉して関税自主権の回復にほぼ成功したが、イギリス・ドイツなどの反対で無効となった。


前の問題→文明開化D
次の問題→明治初期の対外関係A


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2023年08月12日

高校数学「三角関数」三角方程式cos2θ−5cosθ+3=0

高校数学「三角関数」三角方程式cos2θ−5cosθ+3=0

■問題

三角方程式cos2θ−5cosθ+3=0を解け。ただし、0<θ<2πとする。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

三角方程式cos2θ−5cosθ+3=0を解け。ただし、0<θ<2πとする。

このように角度の部分が一致していないときは、まずは角度を合わせます。
2倍角の公式を使ってみましょう!

★ cos2θ=cos2θ−sin2θ

まず2倍角の公式はコレです。
あとは、式がサインだけかコサインだけになるようにさらに変形します。
今回はコサインの1次の項が含まれているので、コサインに統一します。

三角関数の相互関係を使って、

★ cos2θ=cos2θ−(1−cos2θ)
      =2cos2θ−1

というわけで、与式は

2cos2θ−1−5cosθ+3=0
2cos2θ−5cosθ+2=0

このように書き換えることができます。
あとはコサインの2次方程式と考えて解けばOKですね!

(2cosθ−1)(cosθ−2)=0
よって、cosθ=1/2,2

−1≦cosθ≦1だから、cosθ=2は不適。

つまり、この方程式を満たすのは、cosθ=1/2となります。

あとはこの場合のθの値を求めて・・・

θ=π/3,(5/3)π


◆関連項目
2倍角の公式三角方程式sin2θ=cosθ
三角関数まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト英語第3問B

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト英語第3問Bを解説します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題


第3問

B Your British friend shows you an interesting article about dogs in
the UK.

[A Dog-Lover's Paradise]

A visit to Robert Gray's dog rescue shelter in Greenfields will surprise
you if your idea of a dog shelter is a place where dogs are often kept in
crowded conditions. When I was asked to visit there last summer to take
photographs for this magazine, I jumped at the chance. I will never forget
how wonderful it was to see so many healthy, happy dogs running freely
across the fields.

At the time of my visit, around 70 dogs were living there. Since then, the
number has grown to over 100. For these dogs, the shelter is a safe place
away from their past lives of neglect. The owner, Robert Gray, began
taking in homeless dogs from the streets of Melchester in 2008, when dogs
running wild in the city were growing problem. Robert started the shelter
in his back garden, but the number of dogs kept increasing day by day,
quickly reaching 20. So, in the summer of 2009, he moved the shelter to
his uncle's farm in Greenfields.

Although what I was in Greenfields seemed like a paradise for the dogs,
Robert told me that he has faced many difficulties in running the shelter.
Since the very early days in Melchester, the cost of providing the dogs
with food and medical treatment has been a problem. Another issue concerns
the behaviour of the dogs. Some neighbouring farmers are unhappy about dogs
wandering onto their land and barking loudly, which can frighten their farm
animals. Most of the dogs are actually very friendly, though.

The number of dogs continues to grow, and Robert hopes that visitors will
find a dog they like and give it a permanent home. One adorable dog named
Muttley followed me everywhere. I was in love! I promised Muttley that I
would return soon to take him home with me.

Mike Davis (January, 2022)


問1 Put the following events ({1}〜{4}) into the order they happened.
{1} The dog shelter began having financial problems.
{2} The dog shelter moved to a new location.
{3} The number of dogs reached one hundred.
{4} The writer visited the dog shelter in Greenfields.

問2 The dog shelter was started because [ 22 ].
{1} in Melchester, there were a lot of dogs without owners
{2} people wanted to see dogs running freely in the streets
{3} the farmers in Greenfields were worried about their dogs
{4} there was a need for a place where people can adopt dogs

問3 From this article, you learnt that [ 23 ].
{1} Robert's uncle started rescuing dogs in 2008
{2} the dogs are quiet and well behaved
{3} the shelter has stopped accepting more dogs
{4} the writer is thinking of adopting a dog

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■ スラッシュリーディング

B Your British friend shows you / an interesting article / about dogs
/ in the UK.
あなたのイギリスの友達はあなたに見せる / ある面白い記事を / 犬についての
/ イギリスの

[A Dog-Lover's Paradise]
[犬好きの楽園]

A visit / to Robert Gray's dog rescue shelter / in Greenfields
/ will surprise you / if / your idea of a dog shelter
/ is a place / where dogs are often kept / in crowded conditions.
訪問は / Robert Grayのドッグレスキューシェルターへの / Greenfieldsの
/ あなたを驚かせるでしょう / もし / あなたのドッグシェルターの考えが
/ 場所である / そこで犬はよく飼われる / 混雑した条件で

When / I was asked / to visit there / last summer / to take photographs
/ for this magazine, / I jumped / at the chance.


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
 http://www.mag2.com/m/0001641009.html

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日本史「明治維新と富国強兵」文明開化D

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

1872年12月には、(@)するなど、長いあいだの行事や慣習が改められた。

洋服の着用やざんぎり頭は文明開化の象徴とみられた。東京の銀座通りには煉瓦づくりの建物が並び、(A)・鉄道馬車などが東京の名物となり、牛鍋が流行した。近代化の波はしだいに農村にも及んでいったが、古い芸術品や芸能など貴重な文化遺産が失われることもあった。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@旧暦を廃して太陽暦を採用、Aガス灯

1872年12月には、旧暦を廃して太陽暦を採用するなど、長いあいだの行事や慣習が改められた。

洋服の着用やざんぎり頭は文明開化の象徴とみられた。東京の銀座通りには煉瓦づくりの建物が並び、ガス灯・鉄道馬車などが東京の名物となり、牛鍋が流行した。近代化の波はしだいに農村にも及んでいったが、古い芸術品や芸能など貴重な文化遺産が失われることもあった。


前の問題→文明開化C
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2023年08月11日

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問4より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問4より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。



問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。

問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問3 音源が点A,点Bを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれfA,fBであった。fAと音源の速さvを表す式を求めよ。

問4  次に、音源と観測者を入れ替えた場合を考える。図3に示すように、音源を点Qの位置に固定し、観測者が点Oを中心に時計回りに等速円運動をする。



このとき、等速円運動をする観測者が測定する音の振動数についての記述として最も適当なものを、次の@〜Dのうちから1つ選べ。[ 19 ]
@ 点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。
A 点Bにおいて最も大きく、点Aにおいて最も小さい。
B 点Cにおいて最も大きく、点Dにおいて最も小さい。
C 点Dにおいて最も大きく、点Cにおいて最も小さい。
D 観測の位置によらず常に等しい。


問4の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
具体的には、観測者が音源に近づくとき音は高く聞こえ、観測者が音源から遠ざかるとき音は低く聞こえます。

観測者が観測する音の振動数をf,音源から出る音の振動数をf0,音速をV,音源の速度をvs,観測者の速度をvoとすると、以下の式が成り立ちます。

★f={(V−vo)/(V−vs)}f0

ドップラー効果の式はコレですが、式を考えるまでもなくとにかく、

「近づくときは振動数が大きい。遠ざかるときは振動数が小さい」

と考えればいいですね。

ということは、「@点Aにおいて最も大きく、点Bにおいて最も小さい。」が正解です。


次の問題→図1の場合と図3の場合についての考察


◆関連項目
円運動ドップラー効果
円運動まとめ波動まとめ


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本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学1A第4問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学1A第4問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
 http://www.mag2.com/m/0001641004.html


リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数1Aより

第4問

(1) 5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい。このことを用いると、
不定方程式

  5^4・x−2^4・y=1 ……{1}

の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは

  x=[ア],y=[イウ]

であることがわかる。
 また、{1}の整数解のうち、xが2桁の正の整数で最小になるのは

  x=[エオ],y=[カキク]

である。

(2) 次に、625^2を5^5で割ったときの余りと、2^5で割ったときの余りに
ついて考えてみよう。

 まず

  625^2=5^[ケ]

であり、また、m=[イウ]とすると

  625^2=2^[ケ]・m^2+2^[コ]・m+1

である。これらより、625^2を5^5で割ったときの余りと、2^5で割ったときの
余りがわかる。


(3) (2)の考察は、不定方程式

  5^5・x−2^5・y=1 ……{2}

の整数解を調べるために利用できる。

 x,yを{2}の整数解とする。5^5・xは5^5の倍数であり、2^5で割ったときの
余りは1となる。よって、(2)により、5^5・x−625^2は5^5でも2^5でも
割り切れる。5^5と2^5は互いに素なので、5^5・x−625^2は5^5・2^5の
倍数である。

 このことから、{2}の整数解のうち、xが3桁の正の整数で最小になるのは

  x=[サシス],y=[セソタチツ]

であることがわかる。


(4) 11^4を2^4で割ったときの余りは1に等しい。不定方程式

  11^5・x−2^5・y=1の整数解のうち、xが正の整数で最小になるのは

  x=[テト],y=[ナニヌネノ]

である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 不定方程式は「特殊解→一般解」
 ◆2 余りを消せば割りきれる

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 不定方程式は「特殊解→一般解」

2022年共通テストも、数学1A第4問は、不定方程式に関する問題でした。

不定方程式の基本的な解き方は、

何らかの方法で特殊解を求める。
→元の方程式と特殊解の差を用いて一般解を求める。

という流れになります。

この「何らかの方法で特殊解を求める」手段の一つが「ユークリッドの互除法」
ですね。

今回の問題のように係数が小さい場合は、

・適当な値を代入して探す。
・xまたはyについて解いて、整数解を探す。

という方法でも、問題なく特殊解を求めることができます。


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 ◆2 余りを消せば割りきれる

では今回の問題です。

まずは「5^4=625を2^4で割ったときの余りは1に等しい」と言っています。

余りが1なので、先に1を引いておけば2^4で割り切れることになります。
つまり、

(625−1)÷16=624÷16
         =39

ですね。

これは、不定方程式・・・


つづく


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