高校化学「気体の性質」密閉容器内での気体の燃焼
◆問題
０．５０ｍｏｌのメタンと２．５ｍｏｌの酸素を５．０Ｌの容器に入れて密閉した。容器内でこの混合気体に点火し、メタンを完全燃焼させたのち、容器内の温度を１７℃に保った。このときの容器内の全圧を求めよ。ただし、気体定数を８．３×１０3[Ｐａ・Ｌ／(Ｋ・ｍｏｌ)]とし、燃焼により生じた水や水蒸気の体積・蒸気圧は無視できるものとする。
解答はこのページ下に掲載します。
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◆解答解説
まず、気体が１種類でも２種類でも３種類でも、とにかく気体の物質量の合計によって全圧は決まる。と考えます。
分圧の合計が全圧で、気体の種類にかかわらず、ボイルシャルルの法則や気体の状態方程式は成り立つので、何種類の気体が含まれていたとしても、全体で何モルかがわかればＯＫというわけです。
というわけで、まずは燃焼後の容器内には何が残っているかを考えていきましょう！
メタンの完全燃焼なので、
ＣＨ4＋２Ｏ2→ＣＯ2＋２Ｈ2Ｏ
このような化学反応式が成り立ちます。
この式から、メタンと酸素は１：２の割合で反応することがわかります。
つまり、０．５０ｍｏｌのメタンを完全燃焼させるには１．０ｍｏｌの酸素が必要です。
酸素は２．５ｍｏｌ入れたので、完全燃焼した後も、酸素は１．５ｍｏｌ残っています。
そして、メタン１に対して二酸化炭素は１生じます。
つまり、０．５０ｍｏｌのメタンを完全燃焼させたら、二酸化炭素は０．５０ｍｏｌ生じます。
ということで、燃焼後の容器内には、酸素１．５ｍｏｌ，二酸化炭素０．５０ｍｏｌが残っているはずです。
これらの合計は２．０ｍｏｌなので、気体の状態方程式にはｎ＝２．０を代入します。
その他の文字には、Ｖ＝５．０，Ｒ＝８．３×１０3，Ｔ＝２９０を代入して、
Ｐ×５．０＝２．０×８．３×１０3×２９０
Ｐ＝１６．６×１０3×５８
＝９６２．８×１０3
＝９．６２８×１０5
有効数字を２ケタとすれば、９．６×１０5Ｐａ
◆関連項目
水蒸気圧を考える問題
気体の状態方程式
気体の性質まとめ
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2023年08月01日
中学数学(用語)「交点」
中学数学(用語)「交点」
交点とは「交わる点」です。
交点の座標は、それら２つの関数の式を同時に満たすｘ，ｙの値です。
両方の式を同時に満たす値だから、
２つの関数の交点の座標は連立方程式で求めることができます。
直線同士でも、直線と曲線でも、曲線同士でも、交点なら連立方程式です。
動画でも説明してみました。
◆関連項目
ｙ＝２ｘ－１とｙ＝－ｘ＋３の交点、ｙ＝－(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線
ｙ＝ｘ２とｙ＝ｘ＋６の交点
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◆関連項目
ｙ＝２ｘ－１とｙ＝－ｘ＋３の交点、ｙ＝－(３／４)ｘ＋４の増加量、ｘ軸・ｙ軸との交点、平行な直線
ｙ＝ｘ２とｙ＝ｘ＋６の交点
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ラベル：数学
本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学２Ｂ第２問[2]
本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学２Ｂ第２問[2]を解説します。
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第２問
[2] ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2と
おく。座標平面上の曲線ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2とする。
Ｃ1とＣ2は２点で交わる。これらの交点のｘ座標をそれぞれα，β(α＜β)と
すると、α＝[サ]，β＝[シス]である。
α≦ｘ≦βの範囲でＣ1とＣ2で囲まれた図形の面積をＳとする。またｔ＞βとし、
β≦ｘ≦ｔの範囲でＣ1とＣ2および直線ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積をＴとする。
このとき
Ｓ＝∫[α～β][セ]ｄｘ
Ｔ＝∫[β～t][ソ]ｄｘ
Ｓ－Ｔ＝∫[α～t][タ]ｄｘ
であるので
Ｓ－Ｔ＝([チツ]／[テ])(２ｔ^3－[ト]ｂｔ^2＋[ナニ]ｂ^2ｔ－[ヌ]ｂ^3)
が得られる。
したがって、Ｓ＝Ｔとなるのはｔ＝([ネ]／[ノ])ｂのときである。
[セ]～[タ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} {ｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)} {1} {ｇ(ｘ)－ｈ(ｘ)} ｜
｜{2} {ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)} {3} {２ｇ(ｘ)＋２ｈ(ｘ)} ｜
｜{4} {２ｇ(ｘ)－２ｈ(ｘ)} {5} {２ｈ(ｘ)－２ｇ(ｘ)} ｜
｜{6} ２ｇ(ｘ) {7} ２ｈ(ｘ) ｜
└―――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
微分積分の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478475977.html
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■ 解説目次
◆１ 積分は面積を表す
◆２ 交点なら連立方程式
(以下略)
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■ 解説
◆１ 積分は面積を表す
2022年共通テストも数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。
[2]は、主に面積に関する問題なので、座標平面上の図形の面積と積分について
簡単に説明しておきます。
まず、微分の逆が積分です。
導関数ｆ'(ｘ)を積分すると、もとの関数ｆ(ｘ)になる。という関係です。
微分するときには、「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、
★「指数を１上げて、新しい指数の逆数を掛ける」
とします。
例えば、ｘ^2を積分すると、(１／３)ｘ^3となります。
また、★積分は、基本的に、積分した関数と横軸との間の面積を表します。
物理や図形の公式には、微分積分の関係になっているものがいくつもあるので、
探してみると良いですよ！
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆２ 交点なら連立方程式
では今回の問題です。
「ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2」と
おいて、「ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2」としています。
要するに、
Ｃ1：ｙ＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2
Ｃ2：ｙ＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2
ですね。
最初の設問では、これらの関数の交点を求めます。
交点は同時に両方を満たす点なので、連立方程式ですね。
Ｃ1＝Ｃ2だから、ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2です。
３次式だから解くのが大変・・・と思いがちですが、移項すると・・・
(以下略)
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■ 問題
2022年共通テスト数２Ｂより
第２問
[2] ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2と
おく。座標平面上の曲線ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2とする。
Ｃ1とＣ2は２点で交わる。これらの交点のｘ座標をそれぞれα，β(α＜β)と
すると、α＝[サ]，β＝[シス]である。
α≦ｘ≦βの範囲でＣ1とＣ2で囲まれた図形の面積をＳとする。またｔ＞βとし、
β≦ｘ≦ｔの範囲でＣ1とＣ2および直線ｘ＝ｔで囲まれた図形の面積をＴとする。
このとき
Ｓ＝∫[α～β][セ]ｄｘ
Ｔ＝∫[β～t][ソ]ｄｘ
Ｓ－Ｔ＝∫[α～t][タ]ｄｘ
であるので
Ｓ－Ｔ＝([チツ]／[テ])(２ｔ^3－[ト]ｂｔ^2＋[ナニ]ｂ^2ｔ－[ヌ]ｂ^3)
が得られる。
したがって、Ｓ＝Ｔとなるのはｔ＝([ネ]／[ノ])ｂのときである。
[セ]～[タ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
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｜{0} {ｇ(ｘ)＋ｈ(ｘ)} {1} {ｇ(ｘ)－ｈ(ｘ)} ｜
｜{2} {ｈ(ｘ)－ｇ(ｘ)} {3} {２ｇ(ｘ)＋２ｈ(ｘ)} ｜
｜{4} {２ｇ(ｘ)－２ｈ(ｘ)} {5} {２ｈ(ｘ)－２ｇ(ｘ)} ｜
｜{6} ２ｇ(ｘ) {7} ２ｈ(ｘ) ｜
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◆１ 積分は面積を表す
◆２ 交点なら連立方程式
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■ 解説
◆１ 積分は面積を表す
2022年共通テストも数学２Ｂ第２問は、微分積分の問題でした。
[2]は、主に面積に関する問題なので、座標平面上の図形の面積と積分について
簡単に説明しておきます。
まず、微分の逆が積分です。
導関数ｆ'(ｘ)を積分すると、もとの関数ｆ(ｘ)になる。という関係です。
微分するときには、「指数を１下げて、もとの指数を係数に掛ける」という方法
だったので、積分するときはこれの逆をして、
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◆２ 交点なら連立方程式
では今回の問題です。
「ｂ＞０とし、ｇ(ｘ)＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2，ｈ(ｘ)＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2」と
おいて、「ｙ＝ｇ(ｘ)をＣ1，曲線ｙ＝ｈ(ｘ)をＣ2」としています。
要するに、
Ｃ1：ｙ＝ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2
Ｃ2：ｙ＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2
ですね。
最初の設問では、これらの関数の交点を求めます。
交点は同時に両方を満たす点なので、連立方程式ですね。
Ｃ1＝Ｃ2だから、ｘ^3－３ｂｘ＋３ｂ^2＝ｘ^3－ｘ^2＋ｂ^2です。
３次式だから解くのが大変・・・と思いがちですが、移項すると・・・
(以下略)
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ラベル：数学
日本史「明治維新と富国強兵」地租改正①
日本史「明治維新と富国強兵」地租改正①
◆問題
空欄に適語を入れてください。
新政府は財源の安定を目指して、土地制度・税制の改革を行った。1871年に田畑勝手作りを許可し、翌年には(①)を解き、従来の年貢負担者に地券を発行して土地の所有権を認めた。この地券制度をもとに、1873年7月、政府は地租改正条例を公布し、地租改正は1881年までにほぼ完了した。地租改正の要点は(1)課税の基準を(②)に変更する、(2)(③)に改め、税率を３％とする、(3)(④)を納税者とすることであった。
解答はこのページ下
用語集ならコレ！
日本史用語集 改訂版 A・B共用
◆解答
①田畑永代売買の禁止令、②地価、③物納を金納、④地券所有者
新政府は財源の安定を目指して、土地制度・税制の改革を行った。1871年に田畑勝手作りを許可し、翌年には田畑永代売買の禁止令を解き、従来の年貢負担者に地券を発行して土地の所有権を認めた。この地券制度をもとに、1873年7月、政府は地租改正条例を公布し、地租改正は1881年までにほぼ完了した。地租改正の要点は(1)課税の基準を地価に変更する、(2)物納を金納に改め、税率を３％とする、(3)地券所有者を納税者とすることであった。
前の問題→四民平等③
次の問題→地租改正②
近代・現代まとめ
近世まとめ、中世まとめ、原始・古代まとめ
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◆問題
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◆解答
①田畑永代売買の禁止令、②地価、③物納を金納、④地券所有者
新政府は財源の安定を目指して、土地制度・税制の改革を行った。1871年に田畑勝手作りを許可し、翌年には田畑永代売買の禁止令を解き、従来の年貢負担者に地券を発行して土地の所有権を認めた。この地券制度をもとに、1873年7月、政府は地租改正条例を公布し、地租改正は1881年までにほぼ完了した。地租改正の要点は(1)課税の基準を地価に変更する、(2)物納を金納に改め、税率を３％とする、(3)地券所有者を納税者とすることであった。
前の問題→四民平等③
次の問題→地租改正②
近代・現代まとめ
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