本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学１Ａ第３問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2022年共通テスト数１Ａより
第３問
複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、
プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の[手順]で行う。
┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、｜
｜各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の ｜
｜プレゼントを受け取る。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
交換の結果、１人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。
(1) ２人または３人で交換会を開く場合を考える。
(i) ２人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[ア]通りある。したがって、１回の交換で交換会が終了する確率は
[イ]／[ウ]である。
(ii) ３人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[エ]通りある。したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は
[オ]／[カ]である。
(iii) ３人で交換会を開く場合、４回以下の交換で交換会が終了する確率は
[キク]／[ケコ]である。
(2) ４人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了する確率を次の[構想]
に基づいて求めてみよう。
┌―構想――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ １回目の交換で交換会が[終了しない]プレゼントの受け取り方の総数を｜
｜求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって｜
｜場合分けをする。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
１回目の交換で、４人のうち、ちょうど１人が自分の持参したプレゼントを
受け取る場合は[サ]通りあり、ちょうど２人が自分のプレゼントを受け取る場合
は[シ]通りある。このように考えていくと、１回目のプレゼントの受け取り方の
うち、１回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は[スセ]である。
したがって、１回目の交換で交換会が終了する確率は[ソ]／[タ]である。
(3) ５人で交換会を開く場合、１回目の交換で交換会が終了する確率は
[チツ]／[テト]である。
(4) Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅの５人が交換会を開く。１回目の交換でＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが
それぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が
終了する条件付き確率は[ナニ]／[ヌネ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
◆２ 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
◆３ ２人なら交換するかしないかだけ
◆４ ３人ならａ，ｂ，ｃの順列
(以下略)
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■ 解説
◆３ ２人なら交換するかしないかだけ
では今回の問題です。
「プレゼントの交換会をする」という設定です。
┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、｜
｜各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の ｜
｜プレゼントを受け取る。 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
交換の結果、１人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。
以上のように交換会を行うようです。
まずは２人で交換会をする場合を考えます。
２人でランダムに交換するならば・・・
自分のプレゼントを受け取るか、相手のプレゼントを受け取るかの２パターンしか
ありませんね。
「１回目の交換で交換会が終了する」のは、相手のプレゼントを受け取った場合
なので、１通りですね。
全体は２通りなので、１回で終了する確率は１／２です。
よって、[ア]＝１，[イ]＝１，[ウ]＝２
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◆４ ３人ならａ，ｂ，ｃの順列
３人で交換会を開く場合はもう少し複雑です。
ここからはちゃんと考えていきましょう！
３人をＡ，Ｂ，Ｃとして、それぞれが持参したプレゼントをａ，ｂ，ｃとします。
どのような交換の仕方があるかと考えてみると・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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