2023年08月04日

高校数学「三角関数」サイン、コサイン、タンジェントの値B

高校数学「三角関数」サイン、コサイン、タンジェントの値B

■問題

sinα=4/5,sinβ=12/13のとき、次の値を求めよ。ただし、0<α<π/2,π/2<β<πとする。

(1) sin(α+β)  (2) cos(α−β)

(3) sin2α  (4) cos2β

(5) tan2α  (6) sin(α/2)


この記事では(5), (6)を解説します。


↓三角方程式などの三角関数の問題の解き方がマスターできるテキストです↓



■解答解説

sinα=4/5,sinβ=12/13のとき、次の値を求めよ。ただし、0<α<π/2,π/2<β<πとする。
(5) tan2α  (6) sin(α/2)

(1)で、cosα=3/5,cosβ=−5/12であることを求めました。
今回もこれらの条件は同じです。

(5)はtan2αなので、タンジェントの2倍角の公式を使っても良いですが、
すでに(3)でsin2αを出していますし、三角関数の相互関係を使った方が簡単かも知れません。

sin22α+cos22α=1
(24/25)2+cos22α=1
576/625+cos22α=1
cos22α=1−576/625
cos22α=49/625
cos2α=±7/25

ここで、sin2α=24/25>1/√2だから、π/2<2α<πなので、
cos2α=−7/25

tan2α=sin2α/cos2α
    =(24/25)/(−7/25)
    =−24/7

(6)は半角の公式を使います。
半角の公式はコサインの2倍角から導くことができます。
導き方はここに掲載しています。
導くと、

★ sin2(θ/2)=(1−cosθ)/2

ですね。
つまり、

sin2(α/2)=(1−cosα)/2

です。これにcosα=3/5を代入して、

sin2(α/2)=(1−3/5)/2
sin2(α/2)=(2/5)/2=1/5
よって、sin(α/2)=1/√5=√5/5


この問題の最初に戻る→(1) sin(α+β)  (2) cos(α−β)


◆関連問題
sin22.5°
2倍角の公式半角の公式
三角関数まとめ


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ラベル:数学
posted by えま at 21:00| Comment(0) | TrackBack(0) | 高校数学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学1A第3問

本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学1A第3問を解説します。


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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2022年共通テスト数1Aより

第3問

 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り、交換会を開く。ただし、
プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の[手順]で行う。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、|
|各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の   |
|プレゼントを受け取る。                        |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

(1) 2人または3人で交換会を開く場合を考える。

 (i) 2人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[ア]通りある。したがって、1回の交換で交換会が終了する確率は
[イ]/[ウ]である。

 (ii) 3人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの
受け取り方は[エ]通りある。したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は
[オ]/[カ]である。

 (iii) 3人で交換会を開く場合、4回以下の交換で交換会が終了する確率は
[キク]/[ケコ]である。


(2) 4人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率を次の[構想]
に基づいて求めてみよう。

┌―構想――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 1回目の交換で交換会が[終了しない]プレゼントの受け取り方の総数を|
|求める。そのために、自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって|
|場合分けをする。                         |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 1回目の交換で、4人のうち、ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを
受け取る場合は[サ]通りあり、ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合
は[シ]通りある。このように考えていくと、1回目のプレゼントの受け取り方の
うち、1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数は[スセ]である。

 したがって、1回目の交換で交換会が終了する確率は[ソ]/[タ]である。


(3) 5人で交換会を開く場合、1回目の交換で交換会が終了する確率は
[チツ]/[テト]である。


(4) A,B,C,D,Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA,B,C,Dが
それぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき、その回で交換会が
終了する条件付き確率は[ナニ]/[ヌネ]である。


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 Pは順列、Cは組み合わせ
 ◆2 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら+
 ◆3 2人なら交換するかしないかだけ
 ◆4 3人ならa,b,cの順列

(以下略)

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■ 解説

 ◆3 2人なら交換するかしないかだけ

では今回の問題です。

「プレゼントの交換会をする」という設定です。

┌―手順――――――――――――――――――――――――――――――――┐
| 外見が同じ袋を人数分用意し、各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで、|
|各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中の   |
|プレゼントを受け取る。                        |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

 交換の結果、1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は、交換を
やり直す。そして、全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取った
ところで交換会を終了する。

以上のように交換会を行うようです。


まずは2人で交換会をする場合を考えます。

2人でランダムに交換するならば・・・

自分のプレゼントを受け取るか、相手のプレゼントを受け取るかの2パターンしか
ありませんね。

「1回目の交換で交換会が終了する」のは、相手のプレゼントを受け取った場合
なので、1通りですね。

全体は2通りなので、1回で終了する確率は1/2です。

よって、[ア]=1,[イ]=1,[ウ]=2


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 ◆4 3人ならa,b,cの順列

3人で交換会を開く場合はもう少し複雑です。
ここからはちゃんと考えていきましょう!

3人をA,B,Cとして、それぞれが持参したプレゼントをa,b,cとします。

どのような交換の仕方があるかと考えてみると・・・


つづく


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posted by えま at 17:00| Comment(0) | TrackBack(0) | メルマガ | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする

日本史「明治維新と富国強兵」殖産興業A

日本史「明治維新と富国強兵」殖産興業A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1871年には、(@)の建議により郵便制度が発足し、まもなく全国均一料金制をとった。1869年に東京・横浜間にはじめて架設された(A)は、5年後には長崎と北海道までのばされ、長崎・上海間の海底電線を通じて欧米と接続された。
海運では、土佐藩出身の(B)が経営する三菱に手厚い保護を与えた。


解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@前島密、A電信線、B岩崎弥太郎

1871年には、前島密の建議により郵便制度が発足し、まもなく全国均一料金制をとった。1869年に東京・横浜間にはじめて架設された電信線は、5年後には長崎と北海道までのばされ、長崎・上海間の海底電線を通じて欧米と接続された。
海運では、土佐藩出身の岩崎弥太郎が経営する三菱に手厚い保護を与えた。


前の問題→殖産興業@
次の問題→殖産興業B


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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