高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第3問の問2より
◆問題
全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図1のように、点Oを中心として半径r,速さvで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数f0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数fを測定する。
音源と観測者の位置をそれぞれ点P,Qとする。点Qから円に引いた2本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をA,遠ざかりながら通過する方をBとする。また、直線OQが円と交わる2点のうち観測者に近い方をC,遠い方をDとする。vは音速Vより小さく、風は吹いていない。
問1 音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Cから点Dまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をmとする。
問2 空欄に入る記号を図2の点の中から全て選べ。
音源の等速円運動にともなってfは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線PQ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図2)。このことから、fがf0と等しくなるのは、音源が[ ]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。
問2の解答解説はこのページ下
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◆解答解説
音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
逆に言えば、音源や観測者が移動していなければ、観測する振動数は変わらない。ということができます。
今回の問題では、観測者は止まっているので、音源の移動方向が観測者に向かう音の方向に対して速度ゼロになる点を探せばよい。というわけです。
例えば点Aを通過する瞬間に発生した音波は、音源は観測者の方向へ進んでいることになるので、f>f0となります。
一方、点Cを通過する瞬間は、図では真下に向かっていることになるので、観測者が観測する音の進行方向に対しての速度はゼロになります。
だから、振動数の変化はなく、f=f0です。
同様に、点Dでもf=f0です。
というわけで、解答はC,Dの2ヶ所となります。
次の問題→fAと音源の速さvを表す式
◆関連項目
円運動、ドップラー効果
円運動まとめ、波動まとめ
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2023年08月08日
本日配信のメルマガ。2022年共通テスト数学2B第4問
本日配信のメルマガでは、2022年大学入試共通テスト数学2B第4問を解説します。
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http://www.mag2.com/m/0001641004.html
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■ 問題
2022年共通テスト数2Bより
第4問
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。
歩行者と自転車の働きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と
みなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。
歩行者は時刻0に自宅を出発し、毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に
自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、
歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに
毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に
到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。
これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x=anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=bnをそのときの
歩行者の位置とする。
(1) 花子さんと太郎さんは、数列{an},{bn}の一般項を求めるために、歩行者と
自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の
点(x,y)で表すことにした。
グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4a.png
a1=2,b1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の
位置を表す点の座標は(2,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の
位置は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を
表す点の座標は([ア],[ア])である。よって
a2=[イ],b2=[ウ]
である。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:数列{an},{bn}の一般項について考える前に、([ア],[ア])の求め方|
| について整理してみようか。 |
|太郎:花子さんはどうやって求めたの? |
|花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まって |
| いくことを利用したよ。 |
|太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算 |
| して求めることもできるね。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車に位置を表す点の座標は
(an,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は(an,bn)で
ある。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻
と位置を表す点の座標はan,bnを用いて、([エ],[オ])と表せる。
グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4b.png
[エ],[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} an {1} bn {2} 2an |
|{3} an+bn {4} 2bn {5} 3an |
|{6} 2an+bn {7} an+2bn {8} 3bn |
└―――――――――――――――――――――――――――┘
以上から、数列{an},{bn}について、自然数nに対して、関係式
an+1=an+[カ]bn+[キ] ……{1}
bn+1=3bn+[ク] ……{2}
が成り立つことがわかる。まず、b1=2と{2}から
bn=[ケ] (n=1,2,3,…)
を得る。この結果と、a1=2および{1}から
an=[コ] (n=1,2,3,…)
がわかる。
[ケ],[コ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 3^(n-1)+1 {1} (1/2)・3^n+1/2 |
|{2} 3^(n-1)+n {3} (1/2)+n−1/2 |
|{4} 3^(n-1)+n^2 {5} (1/2)・3^n+n^2−1/2 |
|{6} 2・3^(n-1) {7} (5/2)・3^(n-1)−1/2 |
|{8} 2・3^(n-1)+n−1 {9} (5/2)・3^(n-1)+n−3/2 |
|{a} 2・3^(n-1)+n^2−1 {b} (5/2)・3^(n-1)+n^2−3/2|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく
回数は[サ]回である。また、[サ]回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は
x=[シスセ]である。
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
数列の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/479520450.html
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■ 解説目次
◆1 算数の問題としてはよくある設定
◆2 歩行者は速さ1,自転車は速さ2
(以下略)
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■ 解説
◆1 算数の問題としてはよくある設定
2022年数学2Bは第4問に、数列についての問題が配置されました。
一応数列ですが、従来とは少し違って、中学受験でよく出題される規則性の問題に
近い出題となりました。身近な事柄を題材にした問題にすることを優先するあまり、
無駄に文章が長く、多くの大学受験生が受験する共通テストの問題としては適切か
どうか疑問ですが、実際に出されたわけですし、今後基本的にこういう流れだと
思います。
仕方ないので、まずはしっかり読み取っていきましょう!
「歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している」という設定です。
算数の問題としてはよくある設定ですね。算数の問題としては・・・
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆2 歩行者は速さ1,自転車は速さ2
続いて、どのように移動したのか一つ一つチェックしていきます。
「自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と
みなす」
「歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻x」
「歩行者は時刻0に自宅を出発し、毎分1の速さで歩き始める」
「自転車は時刻2に自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける」
「自転車が歩行者に追いつくと、歩行者と自転車はともに1分だけ停止する」
「その後、歩行者は再び正の向きに毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の
速さで自宅に戻る」
「自転車は自宅に到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を
追いかける」
このような動きを繰り返すようです。
そして、an,bnを
「x=anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻」
「y=bnをそのときの歩行者の位置」
と定めて・・・
(以下略)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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無断転載・引用を禁じます。
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【高校数学】読むだけでわかる!数学3の考え方
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★【高校化学】読むだけでわかる!理論・無機・有機化学の考え方
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【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方
http://pmana.jp/pc/pm729.html
【中学5科】高校入試の重要ポイント
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■ 問題
2022年共通テスト数2Bより
第4問
以下のように、歩行者と自転車が自宅を出発して移動と停止を繰り返している。
歩行者と自転車の働きについて、数学的に考えてみよう。
自宅を原点とする数直線を考えて、歩行者と自転車をその数直線上を動く点と
みなす。数直線上の点の座標がyであるとき、その点は位置yにあるということに
する。また、歩行者が自宅を出発してからx分経過した時点を時刻xと表す。
歩行者は時刻0に自宅を出発し、毎分1の速さで歩き始める。自転車は時刻2に
自宅を出発し、毎分2の速さで歩行者を追いかける。自転車が歩行者に追いつくと、
歩行者と自転車はともに1分だけ停止する。その後、歩行者は再び正の向きに
毎分1の速さで歩き出し、自転車は毎分2の速さで自宅に戻る。自転車は自宅に
到着すると、1分だけ停止した後、再び毎分2の速さで歩行者を追いかける。
これを繰り返し、自転車は自宅と歩行者の間を往復する。
x=anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻とし、y=bnをそのときの
歩行者の位置とする。
(1) 花子さんと太郎さんは、数列{an},{bn}の一般項を求めるために、歩行者と
自転車について、時刻xにおいて位置yにいることをOを原点とする座標平面上の
点(x,y)で表すことにした。
グラフ→http://www.a-ema.com/img/2022math2b4a.png
a1=2,b1=2により、自転車が最初に自宅を出発するときの時刻と自転車の
位置を表す点の座標は(2,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の
位置は(2,2)である。また、自転車が最初に歩行者に追いつくときの時刻と位置を
表す点の座標は([ア],[ア])である。よって
a2=[イ],b2=[ウ]
である。
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|花子:数列{an},{bn}の一般項について考える前に、([ア],[ア])の求め方|
| について整理してみようか。 |
|太郎:花子さんはどうやって求めたの? |
|花子:自転車が歩行者を追いかけるときに、間隔が1分間に1ずつ縮まって |
| いくことを利用したよ。 |
|太郎:歩行者と自転車の動きをそれぞれ直線の方程式で表して、交点を計算 |
| して求めることもできるね。 |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
自転車がn回目に自宅を出発するときの時刻と自転車に位置を表す点の座標は
(an,0)であり、そのときの時刻と歩行者の位置を表す点の座標は(an,bn)で
ある。よって、n回目に自宅を出発した自転車が次に歩行者に追いつくときの時刻
と位置を表す点の座標はan,bnを用いて、([エ],[オ])と表せる。
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[エ],[オ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} an {1} bn {2} 2an |
|{3} an+bn {4} 2bn {5} 3an |
|{6} 2an+bn {7} an+2bn {8} 3bn |
└―――――――――――――――――――――――――――┘
以上から、数列{an},{bn}について、自然数nに対して、関係式
an+1=an+[カ]bn+[キ] ……{1}
bn+1=3bn+[ク] ……{2}
が成り立つことがわかる。まず、b1=2と{2}から
bn=[ケ] (n=1,2,3,…)
を得る。この結果と、a1=2および{1}から
an=[コ] (n=1,2,3,…)
がわかる。
[ケ],[コ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} 3^(n-1)+1 {1} (1/2)・3^n+1/2 |
|{2} 3^(n-1)+n {3} (1/2)+n−1/2 |
|{4} 3^(n-1)+n^2 {5} (1/2)・3^n+n^2−1/2 |
|{6} 2・3^(n-1) {7} (5/2)・3^(n-1)−1/2 |
|{8} 2・3^(n-1)+n−1 {9} (5/2)・3^(n-1)+n−3/2 |
|{a} 2・3^(n-1)+n^2−1 {b} (5/2)・3^(n-1)+n^2−3/2|
└――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) 歩行者がy=300の位置に到着するときまでに、自転車が歩行者に追いつく
回数は[サ]回である。また、[サ]回目に自転車が歩行者に追いつく時刻は
x=[シスセ]である。
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◆2 歩行者は速さ1,自転車は速さ2
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■ 解説
◆1 算数の問題としてはよくある設定
2022年数学2Bは第4問に、数列についての問題が配置されました。
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◆2 歩行者は速さ1,自転車は速さ2
続いて、どのように移動したのか一つ一つチェックしていきます。
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みなす」
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速さで自宅に戻る」
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追いかける」
このような動きを繰り返すようです。
そして、an,bnを
「x=anを自転車がn回目に自宅を出発する時刻」
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と定めて・・・
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ラベル:数学
日本史「明治維新と富国強兵」文明開化@
日本史「明治維新と富国強兵」文明開化@
◆問題
空欄に適語を入れてください。
富国強兵を目指す政府は、西洋の産業技術や社会制度、学問・思想や生活様式を取り入れようとした。これに伴い、明治初期の国民生活において、文明開化と呼ばれる新しい風潮が生じた。
思想界では、儒教・神道にかわって、自由主義・個人主義などの西洋近代思想が流行し、(@)の思想がとなえられた。(A)の『西洋事情』『学問のすゝめ』『文明論之概略』、(B)訳のスマイルズの『西国立志編』やミルの『自由之理』などが新思想の啓蒙書として読まれ、国民の意識を転換させるうえで大きな働きをした。
解答はこのページ下
用語集ならコレ!
日本史用語集 改訂版 A・B共用
◆解答
@天賦人権、A福沢諭吉、B中村正直
富国強兵を目指す政府は、西洋の産業技術や社会制度、学問・思想や生活様式を取り入れようとした。これに伴い、明治初期の国民生活において、文明開化と呼ばれる新しい風潮が生じた。
思想界では、儒教・神道にかわって、自由主義・個人主義などの西洋近代思想が流行し、天賦人権の思想がとなえられた。福沢諭吉の『西洋事情』『学問のすゝめ』『文明論之概略』、中村正直訳のスマイルズの『西国立志編』やミルの『自由之理』などが新思想の啓蒙書として読まれ、国民の意識を転換させるうえで大きな働きをした。
前の問題→殖産興業D
次の問題→文明開化A
近代・現代まとめ
近世まとめ、中世まとめ、原始・古代まとめ
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◆問題
空欄に適語を入れてください。
富国強兵を目指す政府は、西洋の産業技術や社会制度、学問・思想や生活様式を取り入れようとした。これに伴い、明治初期の国民生活において、文明開化と呼ばれる新しい風潮が生じた。
思想界では、儒教・神道にかわって、自由主義・個人主義などの西洋近代思想が流行し、(@)の思想がとなえられた。(A)の『西洋事情』『学問のすゝめ』『文明論之概略』、(B)訳のスマイルズの『西国立志編』やミルの『自由之理』などが新思想の啓蒙書として読まれ、国民の意識を転換させるうえで大きな働きをした。
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◆解答
@天賦人権、A福沢諭吉、B中村正直
富国強兵を目指す政府は、西洋の産業技術や社会制度、学問・思想や生活様式を取り入れようとした。これに伴い、明治初期の国民生活において、文明開化と呼ばれる新しい風潮が生じた。
思想界では、儒教・神道にかわって、自由主義・個人主義などの西洋近代思想が流行し、天賦人権の思想がとなえられた。福沢諭吉の『西洋事情』『学問のすゝめ』『文明論之概略』、中村正直訳のスマイルズの『西国立志編』やミルの『自由之理』などが新思想の啓蒙書として読まれ、国民の意識を転換させるうえで大きな働きをした。
前の問題→殖産興業D
次の問題→文明開化A
近代・現代まとめ
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こんなヤツです
年齢:41
職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者
ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/
メールアドレス:j@a-ema.com
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