高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第３問の問４より

高校物理「円運動」「波動」2023年共通テスト第３問の問４より

◆問題

全方向に等しく音を出す小球状の音源が、図１のように、点Ｏを中心として半径ｒ，速さｖで時計回りに等速円運動をしている。音源は一定の振動数ｆ0の音を出しており、音源の円軌道を含む平面上で静止している観測者が、届いた音波の振動数ｆを測定する。

音源と観測者の位置をそれぞれ点Ｐ，Ｑとする。点Ｑから円に引いた２本の接点のうち、音源が観測者に近づきながら通過する方をＡ，遠ざかりながら通過する方をＢとする。また、直線ＯＱが円と交わる２点のうち観測者に近い方をＣ，遠い方をＤとする。ｖは音速Ｖより小さく、風は吹いていない。



問１　音源にはたらいている向心力の大きさと、音源が円軌道を点Ｃから点Ｄまで半周する間に向心力がする仕事を表す式を求めよ。ただし、音源の質量をｍとする。

問２　空欄に入る記号を図２の点の中から全て選べ。

音源の等速円運動にともなってｆは周期的に変化するるこれは音源の速度の直線ＰＱ方向の成分によるドップラー効果がおこるからである(図２)。このことから、ｆがｆ0と等しくなるのは、音源が[　]を通過したときに出した音を測定した場合であることがわかる。



問３　音源が点Ａ，点Ｂを通過したときに出した音を観測者が測定したところ、振動数はそれぞれｆA，ｆBであった。ｆAと音源の速さｖを表す式を求めよ。

問４　　次に、音源と観測者を入れ替えた場合を考える。図３に示すように、音源を点Ｑの位置に固定し、観測者が点Ｏを中心に時計回りに等速円運動をする。



このとき、等速円運動をする観測者が測定する音の振動数についての記述として最も適当なものを、次の�@〜�Dのうちから１つ選べ。[ 19 ]
�@　点Ａにおいて最も大きく、点Ｂにおいて最も小さい。
�A　点Ｂにおいて最も大きく、点Ａにおいて最も小さい。
�B　点Ｃにおいて最も大きく、点Ｄにおいて最も小さい。
�C　点Ｄにおいて最も大きく、点Ｃにおいて最も小さい。
�D　観測の位置によらず常に等しい。


問４の解答解説はこのページ下


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◆解答解説

音源や観測者が移動していると、ドップラー効果により、音の振動数が変化して聞こえます。
具体的には、観測者が音源に近づくとき音は高く聞こえ、観測者が音源から遠ざかるとき音は低く聞こえます。

観測者が観測する音の振動数をｆ，音源から出る音の振動数をｆ0，音速をＶ，音源の速度をｖs，観測者の速度をｖoとすると、以下の式が成り立ちます。

★ｆ＝{(Ｖ−ｖo)／(Ｖ−ｖs)}ｆ0

ドップラー効果の式はコレですが、式を考えるまでもなくとにかく、

「近づくときは振動数が大きい。遠ざかるときは振動数が小さい」

と考えればいいですね。

ということは、「�@点Ａにおいて最も大きく、点Ｂにおいて最も小さい。」が正解です。


次の問題→図１の場合と図３の場合についての考察


◆関連項目
円運動、ドップラー効果
円運動まとめ、波動まとめ


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■　問題

2022年共通テスト数１Ａより

第４問

(1) ５^4＝６２５を２^4で割ったときの余りは１に等しい。このことを用いると、
不定方程式

　　５^4・ｘ−２^4・ｙ＝１　……{1}

の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは

　　ｘ＝[ア]，ｙ＝[イウ]

であることがわかる。
　また、{1}の整数解のうち、ｘが２桁の正の整数で最小になるのは

　　ｘ＝[エオ]，ｙ＝[カキク]

である。

(2) 次に、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの余りに
ついて考えてみよう。

　まず

　　６２５^2＝５^[ケ]

であり、また、ｍ＝[イウ]とすると

　　６２５^2＝２^[ケ]・ｍ^2＋２^[コ]・ｍ＋１

である。これらより、６２５^2を５^5で割ったときの余りと、２^5で割ったときの
余りがわかる。


(3) (2)の考察は、不定方程式

　　５^5・ｘ−２^5・ｙ＝１　……{2}

の整数解を調べるために利用できる。

　ｘ，ｙを{2}の整数解とする。５^5・ｘは５^5の倍数であり、２^5で割ったときの
余りは１となる。よって、(2)により、５^5・ｘ−６２５^2は５^5でも２^5でも
割り切れる。５^5と２^5は互いに素なので、５^5・ｘ−６２５^2は５^5・２^5の
倍数である。

　このことから、{2}の整数解のうち、ｘが３桁の正の整数で最小になるのは

　　ｘ＝[サシス]，ｙ＝[セソタチツ]

であることがわかる。


(4) １１^4を２^4で割ったときの余りは１に等しい。不定方程式

　　１１^5・ｘ−２^5・ｙ＝１の整数解のうち、ｘが正の整数で最小になるのは

　　ｘ＝[テト]，ｙ＝[ナニヌネノ]

である。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■　解説目次

　◆１　不定方程式は「特殊解→一般解」
　◆２　余りを消せば割りきれる

(以下略)

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■　解説

　◆１　不定方程式は「特殊解→一般解」

2022年共通テストも、数学１Ａ第４問は、不定方程式に関する問題でした。

不定方程式の基本的な解き方は、

何らかの方法で特殊解を求める。
→元の方程式と特殊解の差を用いて一般解を求める。

という流れになります。

この「何らかの方法で特殊解を求める」手段の一つが「ユークリッドの互除法」
ですね。

今回の問題のように係数が小さい場合は、

・適当な値を代入して探す。
・ｘまたはｙについて解いて、整数解を探す。

という方法でも、問題なく特殊解を求めることができます。


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　◆２　余りを消せば割りきれる

では今回の問題です。

まずは「５^4＝６２５を２^4で割ったときの余りは１に等しい」と言っています。

余りが１なので、先に１を引いておけば２^4で割り切れることになります。
つまり、

(６２５−１)÷１６＝６２４÷１６
　　　　　　　　　＝３９

ですね。

これは、不定方程式・・・


つづく


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日本史「明治維新と富国強兵」文明開化�C

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

東京を中心に日刊新聞や雑誌が次々と創刊され、新しい言論活動が始まり、学術書・啓蒙書の出版もさかんになった。新聞のほかに以前からの錦絵もさかんに発行された。また、(�@)・福沢諭吉・西周・加藤弘之・西村茂樹らの洋学者が、1873年に(�A)を組織し、翌年から『明六雑誌』を発行し、講演会を開いて封建思想の排除と近代思想の普及に努めた。


解答はこのページ下


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◆解答

�@森有礼、�A明六社

東京を中心に日刊新聞や雑誌が次々と創刊され、新しい言論活動が始まり、学術書・啓蒙書の出版もさかんになった。新聞のほかに以前からの錦絵もさかんに発行された。また、森有礼・福沢諭吉・西周・加藤弘之・西村茂樹らの洋学者が、1873年に明六社を組織し、翌年から『明六雑誌』を発行し、講演会を開いて封建思想の排除と近代思想の普及に努めた。


前の問題→文明開化�B
次の問題→文明開化�D


近代・現代まとめ
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