【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年共通テスト第１日程数１Ａより
第１問
[1] ｃを正の整数とする。ｘの２次方程式
２ｘ^2＋(４ｃ－３)ｘ＋２ｃ^2－ｃ－１１＝０ ……{1}
について考える。
(1) ｃ＝１のとき、{1}の左辺を因数分解すると
([ア]ｘ＋[イ])(ｘ－[ウ])
であるから、{1}の解は
ｘ＝－[イ]／[ア]，[ウ]
である。
(2) ｃ＝２のとき、{1}の解は
ｘ＝(－[エ]±√[オカ])／[キ]
であり、大きい方の解をαとすると
５／α＝([ク]＋√[ケコ])／[サ]
である。また、ｍ＜５／α＜ｍ＋１を満たす整数ｍは[シ]である。
(3) 太郎さんと花子さんは、{1}の解について考察している。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜太郎：{1}の解はｃの値によってともに有理数である場合もあれば、ともに ｜
｜ 無理数である場合もあるね。ｃがどのような値にときに、解は有理数｜
｜ になるのかな。 ｜
｜花子：２次方程式の解の公式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。｜
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
{1}の解が異なる二つの有理数であるような正の整数ｃの個数は[ス]個である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ ２次式の因数分解ならたすきがけ
◆２ 因数分解できなければ解の公式
(以下略)
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■ 解説
◆１ ２次式の因数分解ならたすきがけ
共通テスト数学１Ａ最初の問題は２次方程式に関する出題でした。
誘導に従って一つ一つ解いていけば、それほど難しくないと思います。
「２ｘ^2＋(４ｃ－３)ｘ＋２ｃ^2－ｃ－１１＝０」という式が与えられて、まず
最初はｃ＝１という条件で左辺を因数分解します。
まずはｃ＝１を代入すると、
(左辺)＝２ｘ^2＋(４－３)ｘ＋２－１－１１
＝２ｘ^2＋ｘ－１０
ｘの２乗の項に係数がついているので、たすきがけをしてみましょう！
たすきがけの方法については、このページに解説しています。
http://a-ema.seesaa.net/article/479599846.html
２ ５＝ ５
×
１ －２＝－４
――――――――――
２ －１０ １
ということで、因数分解すると
(２ｘ＋５)(ｘ－２)ですね！
よって、[ア]＝２，[イ]＝５，[ウ]＝２
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◆２ 因数分解できなければ解の公式
続いて(2)です。
「ｃ＝２のとき、{1}の解は」とあるので、その通りに、ｃ＝２を代入して計算
してみましょう！
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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ラベル：数学
