2023年09月03日

高校数学「微分」f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値

高校数学「微分」f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値

■ 問題

xについての関数f(x)=x+√(2−x2)の最大値・最小値を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■ 解答解説

この問題には定義域が与えられていませんが、式から定義域が決まる場合もあります。

√(2−x2)の部分の√の中身はゼロ以上でなければいけないですね。
つまり、2−x2≧0です。これを解くと、−√2≦x≦√2であり、この範囲外の場合、√の中身がマイナスになってしまい不適となります。

だから、このf(x)の定義域は−√2≦x≦√2ということができます。
この範囲で増減表を書くなどして、最大最小を求めていきます。

増減を考えるために、まずは与式を微分します。

f'(x)=1+(1/2)・(2−x2)'/(2−x2)-1/2
  =1+(−2x/2)・1/√(2−x2)
  =1−x/√(2−x2)
  ={√(2−x2)−x}/√(2−x2)

これで導関数ができました。

f'(1)=0
f(1)=1+√(2−1)=2
f(−√2)=−√2+√(2−2)=−√2
f(√2)=√2+√(2−2)=√2

だから、増減表は以下のようになります。

 x|−√2| |1| |√2|
f'(x)| / |+|0|−|/|
f(x)|−√2|↗|2|↘|√2|

というわけで、

x=−√2のとき最小値−√2
x=1のとき最大値2


◆関連項目
微分積分(数学3)まとめ


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ラベル:数学
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日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定C

日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定C

◆問題

空欄に適語を入れてください。

大日本帝国憲法は欽定憲法であり、天皇と行政府に強い権限が与えられた。天皇は(@)であり、天皇大権として、文武官の任免、宣戦・講和、(A)などの権限を持っていた。陸海軍の統帥権は、内閣からも独立して(B)していた(統帥権の独立)

(C)のもと、立法・行政・司法の三権が分立するとされたが、政府の権限が強く、国務大臣は議会にではなく天皇に対して責任を負うものとされた。



解答はこのページ下


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日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@神聖不可侵の総攬者、A条約の締結、B天皇に直属、C天皇主権

大日本帝国憲法は欽定憲法であり、天皇と行政府に強い権限が与えられた。天皇は神聖不可侵の総攬者であり、天皇大権として、文武官の任免、宣戦・講和、条約の締結などの権限を持っていた。陸海軍の統帥権は、内閣からも独立して天皇に直属していた(統帥権の独立)

天皇主権のもと、立法・行政・司法の三権が分立するとされたが、政府の権限が強く、国務大臣は議会にではなく天皇に対して責任を負うものとされた。



前の問題→憲法の制定B
次の問題→憲法の制定D


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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2023年09月02日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりB

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりB

◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

問2はこちら


生徒:アルミカップの枚数nとvfの測定値を図3に点で書き込みましたが、vf=mg/kに基づく予想と少し違いますね。



問3 図3が予想していた結果と異なると判断できるのはなぜか。その根拠として最も適当なものを、次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 12 ]
@アルミカップの枚数nを増やすと、vfが大きくなる。
A測定値の全ての点のできるだけ近くを通る直線が、原点から大きく外れる。
Bv1がアルミカップの枚数nに反比例している。
C測定値がとびとびにしか得られていない。

先生:実は、物体の形状や速さによっては、空気による抵抗力の大きさRは、速さに比例するとは限らないのです。


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

問3 図3が予想していた結果と異なると判断できるのはなぜか。その根拠として最も適当なものを、次の@〜Cのうちから1つ選べ。[ 12 ]

まず、「予想」は「vf=mg/k」で、gとkは定数なので「vfはmに比例する」ということができます。

図3を見てみると、おおまかに見て、直線上に点がならんでいるように見えると思います。
その直線を左に伸ばすと、原点より明らかに上を通りそうですね。
つまり、「比例」ではなく「1次関数」に近いように見えます。

このことに近い内容を示す選択肢は・・・


@アルミカップの枚数nを増やすと、vfが大きくなる。
A測定値の全ての点のできるだけ近くを通る直線が、原点から大きく外れる。
Bvfがアルミカップの枚数nに反比例している。
C測定値がとびとびにしか得られていない。


2番ですね!


次の問題→速さの2乗の場合


◆関連項目
等加速度運動力〜エネルギー力のモーメントなど


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本日配信のメルマガ。2023年共通テスト追試英語第1問B

本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト追試英語第1問Bの内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2023年大学入試共通テスト追試より


第1問

B Your English teacher has given you a flyer for an international short
film festival in your city. You want to attend the festival.

Star International Short Film Festival 2023

February 10 (Fri.)-12 (Sun.)

We are pleased to present a total of 50 short films to celebrate the first
decade of the festival. Below are the four films that were nominated for
the Grand Prize. Enjoy a special talk by the film’s director following the
first screening of each finalist film.


Grand Prize Finalist Films


My Pet Pigs, USA (27 min.)
This drama tells a heart-warming story about a family and their pets.
> Fri. 7 p.m. and Sat. 2 p.m.
> At Cinema Paradise, Screen 2


Chase to the Tower, France (28 min.)
A police chase ends with thrilling action at the Eiffel Tower.
> Fri. 5 p.m. and Sun. 7 p.m.
> At Cinema Paradise, Screen 1


Gold Medal Girl, China (25 min.)
This documentary highlights the life of an amazing athlete.
> Sat. and Sun. 3 p.m.
> At Movie House, Main Screen


Inside the Cave, Iran (18 min.)
A group of hikers has a scary adventure in this horror film.
> Fri. 3 p.m. and Sat. 8 p.m.
> At Movie House, Screen 1


Festival Passes
Type price (yen)
3-day 4,000
2-day 3,000
1-day 2,000
> Festival Passes are available from each theater. The theaters will also
sell single tickets for 500 yen before each screening.
> Festival Pass holders are invited to attend the special reception in the
lobby of Cinema Paradise on February 12 (Sun.) at 8 p.m.
For the complete schedule of the short films showing during the festival,
please visit our website.


問1 If you are free on Sunday evening, which finalist film can you see?

{1] Chase to the Tower
{2} Gold Medal Girl
{3} Inside the Cave
{4} My Pet Pigs

問2 What will happen at Cinema Paradise on the last night of the festival?

{1} An event to celebrate the festival will take place.
{2} Nominations will be made for the Grand Prize.
{3} One of the directors will talk about Chase to the Tower.
{4} The movie My Pet Pigs will be screened.

問3 What is true about the short film festival?

{1} Four talks by film directors will be held.
{2} Passes can be bought through the website.
{3} Reservations are necessary for single tickets.
{4} The finalist films can be seen on the same day.


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■ スラッシュリーディング

B Your English teacher has given you a flyer
/ for an international short film festival / in your city.
あなたの英語の先生はあなたにチラシを渡した
/ ある国際的なショートフィルムフェスティバルの / あなたの街の

You want to attend the festival.
あなたはそのフェスティバルに参加したい

Star International Short Film Festival 2023


(以下略)


(有料版では、解説の続きも掲載しています)
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日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定B

日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定B

◆問題

空欄に適語を入れてください。

地方制度の改革も、ドイツ人顧問モッセの助言を得て、(@)を中心に進められ、1888年に市制・町村制が、1890年には府県制・郡制が公布され、地方自治制が制度的には確立した。

政府の憲法草案作成は、1886年末頃から極秘の内に進められ、ドイツ人顧問(A)らの助言を得て、伊藤博文を中心に、井上毅・伊東巳代治・金子堅太郎らが携わった。この草案は天皇臨席で(B)で審議が重ねられ、1889年2月11日、大日本帝国憲法が発布された。


解答はこのページ下


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◆解答

@山県有朋、Aロエスレル、B枢密院

地方制度の改革も、ドイツ人顧問モッセの助言を得て、山県有朋を中心に進められ、1888年に市制・町村制が、1890年には府県制・郡制が公布され、地方自治制が制度的には確立した。

政府の憲法草案作成は、1886年末頃から極秘の内に進められ、ドイツ人顧問ロエスレルらの助言を得て、伊藤博文を中心に、井上毅・伊東巳代治・金子堅太郎らが携わった。この草案は天皇臨席で枢密院で審議が重ねられ、1889年2月11日、大日本帝国憲法が発布された。


前の問題→憲法の制定A
次の問題→憲法の制定C


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2023年09月01日

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりA

高校物理「力学」2023年共通テスト第2問よりA

◆問題

第2問 空気中での落下運動に関する探求について、次の問いに答えよ。

問1はこちら

先生:それでは、授業でやったことを復習してください。
生徒:抵抗力の大きさRが速さvに比例すると仮定すると、正の比例定数kを用いて
  R=kv
と書けます。物体の質量をm,重力加速度の大きさをgとすると、R=mgとなるvが終端速度の大きさvfなので、
  vf=mg/k
と表されます。実験をしてvfとmの関係を確かめてみたいです。
先生:いいですね。図1のようなお弁当のおかずを入れるアルミカップは、何枚か重ねることによって質量の異なる物体にすることができるので、落下させてその関係を調べることができますね。その物体の形は枚数によらずほぼ同じなので、kは変わらないとみなしましょう。物体の質量mはアルミカップの枚数nに比例します。
生徒:そうすると、vfがnに比例することが予想できますね。



n枚重ねたアルミカップを落下させて動画を撮影した。図2のように、アルミカップが落下していく途中で、20cmごとに落下するのに要する時間を10回測定して平均した。この実験をn=1,2,3,4,5の場合について行った。その結果を表1にまとめた。



問2 表1の測定結果から、アルミカップを3枚重ねたとき(n=3のとき)のvfを有効数字2桁で求めるとどうなるか。

vf=[ 9 ].[ 10 ]×10^[11]m/s


解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

アルミカップも、空気中で落下させると、ある一定の速度に達したあとは、重力と抵抗力が一致して一定の速度になる。
そしてその一定の速度、つまり、終端速度を求めましょう!という問題です。

アルミカップ3枚の場合なので、表の枚数nが3の欄を見ていきます。
20cmの落下に要する時間は、40〜60cmのところで0.13sになって、それ以降は0.13sで一定です。
つまり、終端速度は0.13sを使って計算すればOKというわけです。

20cm=0.20m落下するのに0.13sなので、その速さvfは、

0.20÷0.13=20/13=1.538…

これを解答の形式に合わせると、

1.5×10^0[m/s]

ですね。


次の問題→vf=mg/kと異なる理由


◆関連項目
等加速度運動力〜エネルギー力のモーメントなど


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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学2B第1問[2]

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学2B第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2021年共通テスト第1日程数2Bより

第1問

[2]

二つの関数f(x)={2^x+2^(-x)}/2,g(x)={2^x−2^(-x)}/2について
考える。

(1) f(0)=[セ],g(0)=[ソ]である。また、f(x)は相加平均と相乗平均の
関係から、x=[タ]で最小値[チ]をとる。
g(x)=−2となるxの値はlog[2](√[ツ]−[テ])である。

(2) 次の{1}〜{4}は、xにどのような値を代入してもつねに成り立つ。

f(−x)=[ト] ……{1}
g(−x)=[ナ] ……{2}
{f(x)}^2−{g(x)}^2=[ニ] ……{3}
g(2x)=[ヌ]f(x)g(x) ……{4}

[ト],[ナ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――
|{0} f(x)  {1} −f(x)  {2} g(x)  {3} −g(x) |
――――――――――――――――――――――――――――――

(3) 花子さんと太郎さんは、f(x)とg(x)の性質について話している。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――
|花子:{1}〜{4}は三角関数の性質に似ているね。            |
|太郎:三角関数の加法定理に類似した式(A)〜(D)を考えてみたけど、つねに|
|   成り立つ式はあるだろうか。                  |
|花子:成り立たない式を見つけるために、式(A)〜(D)のβに何か具体的な値|
|   を代入して調べてみたらどうかな。               |
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

― 太郎さんが考えた式 ――――――――――――
|f(α−β)=f(α)g(β)+g(α)f(β) ……(A)|
|f(α+β)=f(α)f(β)+g(α)g(β) ……(B)|
|g(α−β)=f(α)f(β)+g(α)g(β) ……(C)|
|g(α+β)=f(α)g(β)−g(α)f(β) ……(D)|
――――――――――――――――――――――――

(1), (2)で示されたことのいくつかを利用すると、式(A)〜(D)のうち、[ネ]以外の
三つは成り立たないことがわかる。[ネ]は左辺と右辺をそれぞれ計算することに
よって成り立つことが確かめられる。

[ネ]の解答群
――――――――――――――――――――――
|{0} (A)  {1} (B)  {2} (C)  {3} (D) |
――――――――――――――――――――――

※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

  指数・対数の解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html

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■ 解説目次

 ◆1 分数は累乗根・マイナスは逆数
 ◆2 指数・対数の関係
 ◆3 対数の計算法則
 ◆4 f(0)はx=0を代入
 ◆5 相加平均≧相乗平均

(以下略)

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■ 解説

◆1〜3は省略します。


 ◆4 f(0)はx=0を代入

では今回の問題です。

f(x)={2^x+2^(-x)}/2とg(x)={2^x−2^(-x)}/2という2つの関数に
ついて考えます。

まず(1)は「f(0)=[セ],g(0)=[ソ]」を求めます。

それぞれxに0を代入すればOKですね!

f(0)={2^0+2^(-0)}/2
   =(1+1)/2
   =2/2
   =1

g(0)={2^0−2^(-0)}/2
   =(1−1)/2
   =0

よって、[セ]=1,[ソ]=0


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

 ◆5 相加平均≧相乗平均

続いて、f(x)の最小値を考えます。

「相加平均と相乗平均の関係から」とあるので、誘導の通りにやってみましょう!

f(x)={2^x+2^(-x)}/2

「相加相乗平均」は、一般に、(相加平均)≧(相乗平均)となる性質のことです。

f(x)の式は、2^xと2^(-x)を足して2で割る形になっているので・・・


(以下略)


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日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定A

日本史「立憲国家の成立と日清戦争」憲法の制定A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

1884年に(@)を定め、華族の範囲を広げて、将来の上院の土台をつくった。ついで1885年には太政官制を廃して(A)制度を制定した。これにより、各省の長官は国務大臣として、天皇に責任を負うだけでなく、国政全体に対しても閣議の一員として直接に参画するものとなった。また、宮内省は内閣の外におかれ、天皇御璽・日本国璽の保管者で天皇の常侍補弼の任に当たる(B)が宮中に置かれた。


解答はこのページ下


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◆解答

@華族令、A内閣、B内大臣

1884年に華族令を定め、華族の範囲を広げて、将来の上院の土台をつくった。ついで1885年には太政官制を廃して内閣制度を制定した。これにより、各省の長官は国務大臣として、天皇に責任を負うだけでなく、国政全体に対しても閣議の一員として直接に参画するものとなった。また、宮内省は内閣の外におかれ、天皇御璽・日本国璽の保管者で天皇の常侍補弼の任に当たる内大臣が宮中に置かれた。


前の問題→憲法の制定@
次の問題→憲法の制定B


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