本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学１Ａ第３問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2021年共通テスト第１日程数１Ａより
第３問
中にくじが入っている箱が複数あり、各箱の外見は同じであるが、当たりくじを
引く確率は異なっている。くじ引きの結果から、どの箱からくじを引いた可能性が
高いかを、条件付き確率を用いて考えよう。
(1) 当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａと、当たりくじを引く確率が１／３
である箱Ｂの二つの箱の場合を考える。
(i) 各箱で、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したとき
箱Ａにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ア]／[イ] …{1}
箱Ｂにおいて、３回中ちょうど１回当たる確率は[ウ]／[エ] …{2}
である。
(ii) まず、ＡとＢのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱に
おいて、くじを１本引いてはもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中
ちょうど１回当たった。このとき、箱Ａが選ばれる事象をＡ、箱Ｂが選ばれる事象
をＢ、３回中ちょうど１回当たる事象をＷとすると
Ｐ(Ａ∩Ｗ)＝(１／２)×([ア]／[イ])，Ｐ(Ｂ∩Ｗ)＝(１／２)×([ウ]／[エ])
である。Ｐ(Ｗ)＝Ｐ(Ａ∩Ｗ)＋Ｐ(Ｂ∩Ｗ)であるから、３回中ちょうど１回
当たったとき、選んだ箱がＡである条件付き確率ＰW(Ａ)は[オカ]／[キク]となる。
また、条件付き確率ＰW(Ｂ)は[ケコ]／[サシ]となる。
(2) (1)のＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)について、次の[事実](＊)が成り立つ。
―事実(＊)―――――――――――――――――――――――――――
｜Ｐw(Ａ)とＰw(Ｂ)の[ス]は、{1}の確率と{2}の確率の[ス]に等しい。｜
――――――――――――――――――――――――――――――――
[ス]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} 和 {2} ２乗の和 {2} ３乗の和 {3} 比 {4} 積 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――
(3) 花子さんと太郎さんは[事実](＊)について話している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：[事実](＊)はなぜ成り立つのかな？ ｜
｜太郎：ＰW(Ａ)とＰW(Ｂ)を求めるのに必要なＰ(Ａ∩Ｗ)とＰ(Ｂ∩Ｗ)の計算｜
｜ で、{1]，{2}の確率に同じ数１／２をかけているからだよ。 ｜
｜花子：なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は、同じ数１／３をかける ｜
｜ ことになるので、同様のことが成り立ちそうだね。 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃの三つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃのうちどれか一つの箱を
でたらめに選ぶ。次のその選んだ箱において、くじを１本引いてはもとに戻す
試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。このとき、選んだ
箱がＡである条件付き確率は[セソタ]／[チツテ]となる。
(4)
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
｜花子：どうやら箱が三つの場合でも、条件付き確率の[ス]は各箱で３回中 ｜
｜ ちょうど１回当たりくじを引く確率の[ス]になっているみたいだね。｜
｜太郎：そうだね。それを利用すると、条件付き確率の値は計算しなくても、｜
｜ その大きさを比較することができるね。 ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
当たりくじを引く確率が、１／２である箱Ａ，１／３である箱Ｂ，１／４である
箱Ｃ，１／５である箱Ｄの四つの箱の場合を考える。まず、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄのうち
どれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において、くじを１本引いて
はもとに戻す試行を３回繰り返したところ、３回中ちょうど１回当たった。この
とき、条件付き確率を用いて、どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。
可能性が高い方から順に並べると[ト]となる。
[ト]の解答群
―――――――――――――――――――――――――――――――――
｜{0} Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ {1} Ａ，Ｂ，Ｄ，Ｃ {2} Ａ，Ｃ，Ｂ，Ｄ ｜
｜{3} Ａ，Ｃ，Ｄ，Ｂ {4} Ａ，Ｄ，Ｂ，Ｃ {5} Ｂ，Ａ，Ｃ，Ｄ ｜
｜{6} Ｂ，Ａ，Ｄ，Ｃ {7} Ｂ，Ｃ，Ａ，Ｄ {8} Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ａ ｜
―――――――――――――――――――――――――――――――――
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆１ Ｐは順列、Ｃは組み合わせ
◆２ 同時に起こるなら×、同時に起こらないなら＋
◆３ 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 同じ確率を繰り返すなら「反復試行」
では今回の問題です。
箱Ａと箱Ｂがあり、それぞれの箱にはくじが入っているようです。
まずは「当たりくじを引く確率が１／２である箱Ａ」から３回連続ひいて、
ちょうど１回当たる確率を考えます。
同じ確率の事象を繰り返すので、いわゆり「反復試行」の考え方を使うのが
ノーマルです。
あたりは３回中１回なので、あたりが何回目に出るか？のパターンは3Ｃ1＝３通り
あります。
あたりは１／２，ハズレも１／２なので、あたり１回ハズレ２回の確率は、
3Ｃ1・(１／２)(１／２)^2＝３／８
となります。
箱Ｂも同様にやると、
つづく
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