高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクル�A

高校物理「気体の状態変化」気体の熱サイクル�A

◆問題

単原子分子からなる理想気体１ｍｏｌを、参考図のｐ−ＶグラフのようにＡ→Ｂ→Ｃ→Ｄ→Ａの順にゆっくり変化させた。Ａ(ｐ1[Ｐａ]，Ｖ1[ｍ3])，Ｃ(３ｐ1[Ｐａ]，３Ｖ1[ｍ3])として、次の問いに答えよ。


参考図

圧力↑
　　│　Ｂ　　Ｃ
　　│　┌──┐
　　│　│　　│
　　│　└──┘
　　│　Ａ　　Ｄ
　─┼──────→
　　　　　　　　　体積

(1) Ａ→Ｂ，Ｂ→Ｃ，Ｃ→Ｄ，Ｄ→Ａそれぞれの過程で、この気体に外部から加えられる熱量を求めよ。

(2) Ａから一周して再びＡに戻ってくるまでの過程で、気体が外部に対してした正味の仕事を求めよ。


この記事では(2)を解説します。


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◆解説

「正味の仕事」とは、この１サイクル全体を総合すると、どれだけの仕事をしたか？
という意味です。

それぞれの過程でした仕事を合計したものが「正味の仕事」ですね。

(1)より、Ａ→Ｂでは仕事はゼロ、Ｂ→Ｃでは６ｐ1・Ｖ1，Ｃ→Ｄではゼロ、Ｄ→Ａでは−２ｐ1・Ｖ1ですね。

というわけで、求める仕事は、

０＋６ｐ1・Ｖ1＋０＋(−２ｐ1・Ｖ1)＝４ｐ1・Ｖ1[Ｊ]


ちなみにこの仕事は、参考図の四角形ＡＢＣＤの面積に等しくなります。
仕事はｐ−ｔグラフの面積で求めることもできる。というわけですね！


次の問題→熱効率を求める


◆関連項目
定積変化、定圧変化、内部エネルギー、状態方程式


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本日配信のメルマガ。2021年共通テスト数学２Ｂ第５問

本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第１日程数学２Ｂ第５問を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、[e-mail]までお知らせください。


■　問題

2021年共通テスト第１日程数２Ｂより

第５問

　１辺の長さが１の正五角形の対角線の長さをαとする。

(1) １辺の長さが１の正五角形ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2を考える。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5a.png

　∠Ａ1Ｃ1Ｂ1＝[アイ]°，∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝[アイ]°となることから、→Ａ1Ａ2と
→Ｂ1Ｃ1は平行である。ゆえに

　　→Ａ1Ａ2＝[ウ]・→Ｂ1Ｃ1

であるから

　　→Ｂ1Ｃ1＝(１／[ウ])・→Ａ1Ａ2＝(１／[ウ])(→ＯＡ2−→ＯＡ1)

　また、→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1は平行で、さらに、→ＯＡ2と→Ａ1Ｃ1も平行である
ことから

　　→Ｂ1Ｃ1＝→Ｂ1Ａ2＋→Ａ2Ｏ＋→ＯＡ1＋→Ａ1Ｃ1
　　　　　　＝−[ウ]・→ＯＡ1−→ＯＡ2＋→ＯＡ1＋[ウ]・→ＯＡ2
　　　　　　＝([エ]−[オ])(→ＯＡ2−→ＯＡ1)

となる。したがって

　　１／[ウ]＝[エ]−[オ]

が成り立つ。ａ＞０に注意してこれを解くと、ａ＝(１＋√５)／２を得る。


(2) 下の図のような、１辺の長さが１の正十二面体を考える。正十二面体とは、
どの面もすべて合同な正五角形であり、どの頂点にも三つの面が集まっている
へこみのない多面体のことである。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5b.png

　面ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2に着目する。→ＯＡ1と→Ａ2Ｂ1が平行であることから

　　→ＯＢ1＝→ＯＡ2＋→Ａ2Ｂ1＝→ＯＡ2＋[ウ]・→ＯＡ1

である。また

　　|→ＯＡ2−→ＯＡ1|^2＝|→Ａ1Ａ2|^2＝([カ]＋√[キ])／[ク]

に注意すると

　　→ＯＡ1・→ＯＡ2＝([ケ]−√[コ])／[サ]

を得る。


図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5c.png

　次に、面ＯＡ2Ｂ2Ｃ2Ａ3に着目すると

　　→ＯＢ2＝→ＯＡ3＋[ウ]・→ＯＡ2

である。さらに

　　→ＯＡ2・→ＯＡ3＝→ＯＡ3・→ＯＡ1＝([ケ]−√[コ])／[サ]

が成り立つことがわかる。ゆえに

　　→ＯＡ1・→ＯＢ2＝[シ]，→ＯＢ1・→ＯＢ2＝[ス]

である。

[シ]，[ス]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} ０　　{1} １　　{2} −１　　{3] (１＋√５)／２　　　　　　　　　|
| {4} (１−√５)／２　　{5} (−１＋√５)／２　　{6} (−１−√５)／２　|
| {7} −１／２　　{8} (−１＋√５)／４　　{9} (−１−√５)／４　　　　|
――――――――――――――――――――――――――――――――――


図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5d.png

　最後に、面Ａ2Ｃ1ＤＥＢ2に着目する。

　　→Ｂ2Ｄ＝[ウ]・→Ａ2Ｃ1＝→ＯＢ1

であることに注意すると、４点Ｏ，Ｂ1，Ｄ，Ｂ2は同一平面上にあり、
四角形ＯＢ1ＤＢ2は[セ]ことがわかる。

[セ]の解答群
――――――――――――――――――――――――――――――――――
| {0} 正方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {1} 正方形ではないが、長方形である　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {2} 正方形ではないが、ひし形である　　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {3} 長方形でもひし形でもないが、平行四辺形である　　　　　　　　　　|
| {4} 平行四辺形ではないが、台形である　　　　　　　　　　　　　　　　|
| {5} 台形でない　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　|
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。


※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

　　ベクトルの解説記事→http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html

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■　解説目次

　◆１　ベクトルの成分と大きさ
　◆２　ベクトルの四則計算
　◆３　△Ａ1Ｃ1Ｂ1は二等辺三角形
　◆４　対角線の長さは等しい

(以下略)

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■　解説

◆１，２は省略します。


　◆３　△Ａ1Ｃ1Ｂ1は二等辺三角形

前置きはこの辺にして、今回の問題です。
共通テスト第５問では、まず「１辺の長さが１の正五角形ＯＡ1Ｂ1Ｃ1Ａ2」を
考えます。

図はこちら→http://www.a-ema.com/img/center2021math2b_5a.png

正五角形なので、もちろん、５つの辺の長さが等しく、５つの角の大きさが等しい
ですね。

ｎ角形の内角の和は、(ｎ−２)×１８０°なので、五角形なら

(５−２)×１８０°＝３×１８０°＝５４０°

だから一つの内角は、５４０°÷５＝１０８°

となります。例えば、∠Ａ1Ｂ1Ｃ1＝１０８°ですね。

△Ａ1Ｃ1Ｂ1に注目すると辺Ａ1Ｂ1と辺Ｂ1Ｃ1は正五角形の辺だから等しく、
二等辺三角形であることがわかります。∠Ａ1Ｃ1Ｂ1はその底角なので、

(１８０°−１０８°)÷２＝７２°÷２＝３６°

よって、[アイ]＝３６


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　◆４　対角線の長さは等しい

∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝[アイ]°なので、∠Ｃ1Ａ1Ａ2＝３６°であることは、ちゃんと検証
しなくても問題ありませんが、念のため、図形の性質を用いて確認してみましょう！

正五角形の１角なので、∠Ａ2Ｃ1Ｂ1＝１０８°
◆３より∠Ａ1Ｃ1Ｂ1＝３６°

だから、∠Ａ1Ｃ1Ａ2＝１０８°−３６°＝７２°

Ａ1Ａ2とＡ1Ｃ1はそれぞれ正五角形の対角線なので長さが等しいから、


(以下略)


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日本史「日露戦争と国際関係」立憲政友会の成立�@

日本史「日露戦争と国際関係」立憲政友会の成立�@

◆問題

空欄に適語を入れてください。

日清戦争と三国干渉のあと、自由党は第２次伊藤博文内閣を公然と支持して、板垣退助を内相として入閣させた。1896年にその後を継いだ第２次松方正義内閣も、進歩党と提携して大隈重信を外相として入閣させた。しかし、1898年に成立した第３次伊藤内閣は、自由党が選挙で伸び悩んだため、(�@)に戻った。
これに対して、自由・進歩両党は合同して(�A)を結成した。(�A)は衆議院に絶対多数をもち、伊藤内閣は議会運営が困難になり退陣し、かわってはじめての政党内閣である第１次(�B)内閣が成立した。


解答はこのページ下


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◆解答

�@超然主義、�A憲政党、�B大隈

日清戦争と三国干渉のあと、自由党は第２次伊藤博文内閣を公然と支持して、板垣退助を内相として入閣させた。1896年にその後を継いだ第２次松方正義内閣も、進歩党と提携して大隈重信を外相として入閣させた。しかし、1898年に成立した第３次伊藤内閣は、自由党が選挙で伸び悩んだため、超然主義に戻った。
これに対して、自由・進歩両党は合同して憲政党を結成した。憲政党は衆議院に絶対多数をもち、伊藤内閣は議会運営が困難になり退陣し、かわってはじめての政党内閣である第１次大隈内閣が成立した。


前の問題→日清戦争と三国干渉�C
次の問題→立憲政友会の成立�A


近代・現代まとめ
近世まとめ、中世まとめ、原始・古代まとめ


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