本日配信のメルマガでは、2021年大学入試共通テスト第1日程数学1A第5問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2021年共通テスト第1日程数1Aより
第5問
△ABCにおいて、AB=3,BC=4,AC=5とする。
∠BACの二等分線と辺BCとの交点をDとすると
BD=[ア]/[イ],AD=[ウ]√[エ]/[オ]
である。
また、∠BACの二等分線と△ABCの外接円Oとの交点で点Aとは異なる点を
Eとする。△AECに着目すると
AE=[カ]√[キ]
である。
△ABCの2辺ABとACの両方に接し、外接円Oに内接する円の中心をPと
する。円Pの半径をrとする。さらに、円Pと外接円Oとの接点をFとし、
直線PFと外接円Oとの交点で点Fとは異なる点をGとする。このとき
AP=√[ク]・r,PG=[ケ]−r
と表せる。したがって、方べきの定理によりr=[コ]/[サ]である。
△ABCの内心をQとする。内接円Qの半径は[シ]で、AQ=√[ス]である。
また、円Pと辺ABとの接点をHとすると、AH=[セ]/[ソ]である。
以上から、点Hに関する次の(a), (b)の正誤の組み合わせとして正しいものは
[タ]である。
(a) 点Hは3点B,D,Qを通る円の周上にある。
(b) 点Hは3点B,E,Qを通る円の周上にある。
[タ]の解答群
――――――――
――|{0}|{1}|{2}|{3}|
|(a)|正 |正 |誤 |誤 |
|(b)|正 |誤 |正 |誤 |
――――――――――
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2で、マーク部分の□は[ ]、マル1は{1}
で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 平面図形の性質の代表例
◆2 二等分線だからAB:ACに分ける
(以下略)
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■ 解説
◆1 平面図形の性質の代表例
2021年共通テストも数学1A第5問は平面図形の性質が出題されました。
この問題はセンター試験とほぼ変わらない内容・形式となっています。
平面図形の性質では、主に以下の内容が問われます。
・メネラウスの定理
・方べきの定理
これらに関連して、中学で習った内容を含む以下のような内容もよく出題されて
います。
・相似な図形
・円と接線
・円に内接する四角形
・三角形の重心、内心、外心
・正弦定理・余弦定理
・チェバの定理
・二等辺三角形、正三角形
・平行線の性質
などなど。
皆さんは、これらの用語を見て、「アレだな!」と思い出すことができましたか?
もし怪しい場合は、教科書や参考書などを見て、再確認しておくことをおすすめ
します!
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◆2 二等分線だからAB:ACに分ける
では今回の問題です。
AB=3,BC=4,AC=5の△ABCについての問題ですね。
この時点で「3辺が3:4:5だから、△ABCは直角三角形だな〜」などと
気づくと、図も描きやすいし理解しやすくなりますね。
そして、「∠BACの二等分線と辺BCとの交点をD」として、まずはBDの
長さを聞いています。
∠BACの二等分線を頂点AからBCに引いてみると、DはBCをある比に分ける
ことがわかると思います。
角の二等分線の性質の一つに、
★ 角の二等分線は、対辺をそのはさむ二辺の長さの比に分ける
というものがあります。
この問題では、AB=3,AC=5なので、DはBCを3:5に分けます。
つまり、「BD:DC=3:5」ですね。ということは、
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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