対数関数ｙ＝(ｌｏｇ3ｘ)2－６ｌｏｇ3ｘ＋８の最大値・最小値を求めよ。ただし、１≦ｘ≦２７とする。
解答解説はこのページ下
解法の習得に役立つ問題集です。
ｌｏｇ3ｘについての２次関数と捉えて解いていきます。
ｌｏｇ3ｘ＝ｔとすると、
ｙ＝ｔ2－６ｔ＋８
ですね。
そして、１≦ｘ≦２７で、ｌｏｇ3１＝０，ｌｏｇ3２７＝３だから、０≦ｔ≦３です。
つまり、０≦ｔ≦３の範囲で、ｙ＝ｔ2－６ｔ＋８の２次関数の最大最小を求めればＯＫ！というわけです。
まずは２次関数の頂点を求めてみましょう！
ｙ＝ｔ2－６ｔ＋８
＝(ｔ－３)2－９＋８
＝(ｔ－３)2－１
つまり、頂点(ｔ，ｙ)＝(３，－１)です。
この２次関数は下に凸で、頂点がちょうど定義域の右端だから、頂点が最小値、定義域の左端が最大値となります。
ｔ＝０すなわちｘ＝１のときｙ＝８だから、最大値は８です。
そして頂点が最小値だから、ｔ＝３すなわちｘ＝２７のとき最小値－１です。
解答としてまとめると、
ｘ＝１のとき最大値８，ｘ＝２７のとき最小値－１
◆関連項目
ｙ＝(ｌｏｇ[2]ｘ)^2－ｌｏｇ[2](ｘ^4)＋６の最大最小
指数・対数まとめ
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ラベル：数学
