本日配信のメルマガでは、2020年大学入試センター試験数学２Ｂ第４問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2020年大学入試センター試験数２Ｂより
第４問
点Ｏを原点とする座標空間に２点
Ａ(３，３，－６)，Ｂ(２＋２√３，２－２√３，－４)
をとる。３点Ｏ，Ａ，Ｂの定める平面をαとする。また、αに含まれる点Ｃは
→ＯＡ⊥→ＯＣ，→ＯＢ・→ＯＣ＝２４ ……{1}
を満たすとする。
(1) |→ＯＡ|＝[ア]√[イ]，|→ＯＢ|＝[ウ]√[エ]であり、
→ＯＡ・→ＯＢ＝[オカ]である。
(2) 点Ｃは平面α上にあるので、実数ｓ，ｔを用いて、
→ＯＣ＝ｓ・→ＯＡ＋ｔ・→ＯＢと表すことができる。
このとき、{1}からｓ＝[キク]／[ケ]，ｔ＝[コ]である。
したがって、|→ＯＣ|＝[サ]√[シ]である。
(3) →ＣＢ＝([ス]，[セ]，[ソタ])である。したがって、平面α上の
四角形ＯＡＢＣは[チ]。[チ]に当てはまるものを、次の{0}～{4}のうちから一つ
選べ。ただし、少なくとも一組の対辺が平行な四角形を台形という。
{0} 正方形である
{1} 正方形でないが、長方形である
{2} 長方形でないが、平行四辺形である
{3} 平行四辺形でないが、台形である
{4} 台形ではない
→ＯＡ⊥→ＯＣであるので、四角形ＯＡＢＣの面積は[ツテ]である。
(4) →ＯＡ⊥→ＯＤ，→ＯＣ・→ＯＤ＝２√６かつｚ座標が１であるような点Ｄの
座標は
([ト]＋√[ナ]／[ニ]，[ヌ]－√[ネ]／[ノ]，１)である。
このとき∠ＣＯＤ＝[ハヒ]°である。
３点Ｏ，Ｃ，Ｄの定める平面をβとする。αとβは垂直であるので、
三角形ＡＢＣを底面とする四面体ＤＡＢＣの高さは√[フ]である。したがって、
四面体ＤＡＢＣの体積は[ヘ]√[ホ]である。
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2で、ベクトルの矢印は一部省略、
マル１は{1}、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
ベクトルの解説記事→
http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■ 解説目次
◆１ ベクトルの成分と大きさ
◆２ ベクトルの足し算とかけ算
◆３ 絶対値は三平方の定理
◆４ 内積は「掛けて足す」
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 絶対値は三平方の定理
では今回の問題です。
まず最初は、→ＯＡと→ＯＢの絶対値を求める問題となっています。
ベクトルの絶対値は、要するにその長さなので、◆１でも触れたように、三平方の
定理から求めることができます。
→ＯＡ＝(３，３，－６)なので、
|→ＯＡ|＝√{３^2＋３^2＋(－６)^2}
＝√(９＋９＋３６)
＝√５４
＝３√６
→ＯＢも同様に、→ＯＢ＝(２＋２√３，２－２√３，－４)なので、
|→ＯＢ|＝√{(２＋２√３)^2＋(２－２√３)^2＋(－４)^2}
＝√(４＋８√３＋１２＋４－８√３＋１２＋１６)
＝√４８
＝４√３
よって、[ア]＝３，[イ]＝６，[ウ]＝４，[エ]＝３
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◆４ 内積は「掛けて足す」
続いて、→ＯＡ・→ＯＢを求めます。
◆１でも述べたように、「内積はそれぞれの成分の積を合計する」ので、ここでも
→ＯＡと→ＯＢのｘ成分、ｙ成分、ｚ成分をそれぞれかけて合計します。
→ＯＡ＝(３，３，－６)，→ＯＢ＝(２＋２√３，２－２√３，－４)だから・・・
(以下略)
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