本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学２Ｂ第１問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第１問
[2]
(1) ａ＞０，ａ≠１，ｂ＞０のとき、ｌｏｂ[a]ｂ＝ｘとおくと、[ツ]が成り立つ。
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――┐
｜ {0} ｘ^a＝ｂ {1} ｘ^b＝ａ ｜
｜ {2} ａ^x＝ｂ {3} ｂ^x＝ａ ｜
｜ {4} ａ^b＝ｘ {5} ｂ^a＝ｘ ｜
└―――――――――――――――――――┘
(2) 様々な対数の値が有理数か無理数かについて考えよう。
(i) ｌｏｇ[5]２５＝[テ]，ｌｏｇ[9]２７＝[ト]／[ナ]であり、どちらも有理数
である。
(ii) ｌｏｇ[2]３が有理数か無理数のどちらであるかを考えよう。
ｌｏｇ[2]３が有理数であると仮定すると、ｌｏｇ[2]３＞０であるので、２つの
自然数ｐ，ｑを用いてｌｏｇ[2]３＝ｐ／ｑと表すことができる。このとき、(1)に
よりｌｏｇ[2]３＝ｐ／ｑは[ニ]と変形できる。いま、２は偶数であり３は奇数で
あるので、[ニ]を満たす自然数ｐ，ｑは存在しない。
したがって、ｌｏｇ[2]３は無理数であることがわかる。
(iii) ａ，ｂを２以上の自然数とするとき、(ii)と同様に考えると、「[ヌ]ならば
ｌｏｇ[a]ｂはつねに無理数である」ことがわかる。
[ニ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} ｐ^2＝３ｑ^2 {1} ｑ^2＝ｐ^3 {2} ２^q＝３^p ｜
｜ {3} ｐ^3＝２ｑ^3 {4} ｐ^2＝ｑ^3 {5} ２^p＝３^q ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ヌ]の解答群
┌――――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜ {0} ａが偶数 ｜
｜ {1} ｂが偶数 ｜
｜ {2} ａが奇数 ｜
｜ {3} ｂが奇数 ｜
｜ {4} ａとｂがともに偶数、またはａとｂがともに奇数 ｜
｜ {5} ａとｂのいずれか一方が偶数で、もう一方が奇数 ｜
└――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、底がａ真数がｂの対数はｌｏｇ[a]ｂ、
マーク部分の□は[ ]で表記しています。
指数・対数の解説記事→
http://a-ema.seesaa.net/article/477928170.html━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■ 解説目次
◆１ 分数は累乗根・マイナスは逆数
◆２ 指数・対数の関係
◆３ 対数の計算法則
◆４ ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘは「ａをｂにするにはｘ乗」
◆５ ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘとおいて考える
(以下略)
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■ 解説
◆１～◆３は省略します。
◆４ ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘは「ａをｂにするにはｘ乗」
では今回の問題です。
ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘを指数を使って書き換える問題です。
この式は、「ａをｂにするにはｘ乗」を意味します。言い換えれば、
「ａをｘ乗したらｂになる」
ですね。
つまり、ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘを書き換えると、ａ^x＝ｂとなります。
よって、[ツ]＝２
・・・配点を確認したら、たったこれだけで３点！？
２Ｂを使う人は絶対に正解すべき問題ですね！
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◆５ ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘとおいて考える
(2)では、ａ，ｂに色々な値を入れた場合について考えます。
(i) ｌｏｇ[5]２５＝[テ]，ｌｏｇ[9]２７＝[ト]／[ナ]
先ほど◆４でも触れたように、ｌｏｇ[a]ｂは「ａをｂにするには何乗か？」であり、
ｌｏｇ[a]ｂ＝ｘとすれば、ａ^x＝ｂです。この関係を用いてそれぞれを指数で
書き換えていきましょう！
ｌｏｇ[5]２５＝ｘとすると、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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