高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

高校数学「微分」放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に原点から引いた接線

■　問題

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。


解答解説はこのページ下です。





■　解答解説

放物線ｙ＝ｘ^2−３ｘ＋４に、原点から引いた接線の方程式を求めよ。

接線なのでまずは微分します。

ｙ'＝２ｘ−３

接点の座標はわかっていないので、接点のｘ座標を例えばａとします。
すると、接点の座標は(ａ，ａ²−３ａ＋４)で、接線の傾きは２ａ−３ですね。

そのような直線の方程式は、

ｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)

となります。
原点から引いた接線を考えるので、この式のｘ，ｙには０，０を入れることができます。

０−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(０−ａ)
−(ａ²−３ａ＋４)＝−ａ(２ａ−３)
−ａ²＋３ａ−４＝−２ａ²＋３ａ
ａ²−４＝０
(ａ＋２)(ａ−２)＝０
よって、ａ＝−２，２

つまり、接点のｘ座標は−２の場合と２の場合がある。ということになります。

それぞれｙ−(ａ²−３ａ＋４)＝(２ａ−３)(ｘ−ａ)に代入してみれば、接線の方程式が出るはずですね。

ａ＝−２のとき
ｙ−((−２)²−３×(−２)＋４}＝{２×(−２)−３}(ｘ−(−２)}
ｙ−(４＋６＋４)＝−７(ｘ＋２)
ｙ−１４＝−７ｘ−１４
ｙ＝−７ｘ

ａ＝２のとき
ｙ−(２²−３×２＋４)＝(２×２−３)(ｘ−２)
ｙ−(４−６＋４)＝ｘ−２
ｙ−２＝ｘ−２
　　ｙ＝ｘ

よって、求める接線はｙ＝−７ｘ，ｙ＝ｘ


◆関連項目
直線の式、接線の方程式の求め方
微分積分(数学２)まとめ
微分積分(数学３)まとめ


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高校物理「電気・磁気」2022年共通テスト第３問より。問２ この実験についての説明

高校物理「電気・磁気」2022年共通テスト第３問より。問２　この実験についての説明

◆問題


第３問

　図１のように、二つのコイルをオシロスコープにつなぎ、平面板コイルの中を通るように水平に設置した。台車に初速を与えてこの板の上を走らせる。台車に固定した細長い棒の先に、台車の進行方向にＮ極が向くように軽い棒磁石が取りつけられている。二つのコイルの中心間の距離は０．２０ｍである。ただし、コイル間の相互インダクタンスの影響は無視でき、また、台車は平面板の上をなめらかに動く。



台車が運動することにより、コイルには誘導起電力が発生する。オシロスコープにより電圧を測定すると、台車が動き始めからの電圧は、図２のようになった。




問１はこちら


問２　この実験に関して述べた次の文章中の空欄[ 16 ]〜[ 18 ]に入れる語句として最も適当なものを、それぞれの直後の{　}で囲んだ選択肢のうちから一つずつ選べ。

　コイルに電磁誘導による電流が流れると、その電流による磁場は、台車の速さを[ 16 ]{�@大きく　�A小さく　�B台車が近づくときは大きく、遠ざかるときは小さく　�C台車が近づくときは小さく、遠ざかるときは大きく}する力を及ぼす。しかし、実際の実験ではこの力は小さいので、台車の運動はほぼ等速直線運動とみなして良かった。力が小さい理由は、オシロスコープの内部抵抗が[ 17 ]{�@小さいので、コイルを流れる電流が小さい　�A小さいので、コイルを流れる電流が大きい　�B大きいので、コイルを流れる電流が小さい　�C大きいので、コイルを流れる伝理由が大きい}からである。
　空気抵抗も台車の加速度に影響を与えると考えられるが、この実験では台車が遅く、さらに台車の質量が[ 18 ]{�@大きい　�A無視できる}ので、空気抵抗の影響は小さい。



問２の解答はこのページ下に掲載します。


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◆解答

コイルが２つ設置されていて、その中を台車が通過していくという設定です。
台車には磁石が取りつけられていて、台車が通過していくのに伴って、コイルには誘導電流が流れます。
誘導電流の流れ方を調べると、台車の速さもわかる。というわけですね。


　コイルに電磁誘導による電流が流れると、その電流による磁場は、台車の速さを[ 16 ]{�@大きく　�A小さく　�B台車が近づくときは大きく、遠ざかるときは小さく　�C台車が近づくときは小さく、遠ざかるときは大きく}する力を及ぼす。

「電磁誘導は周囲の磁場の変化を打ち消すようにおこる」と理解することができます。
だから、台車が近づいてくるときは押し返す方向に磁場が生じ、遠ざかるときは引き寄せる方向に磁場が生じます。
つまり、台車の速さを常に「�A小さく」する力を及ぼす。と判断できます。


しかし、実際の実験ではこの力は小さいので、台車の運動はほぼ等速直線運動とみなして良かった。力が小さい理由は、オシロスコープの内部抵抗が[ 17 ]{�@小さいので、コイルを流れる電流が小さい　�A小さいので、コイルを流れる電流が大きい　�B大きいので、コイルを流れる電流が小さい　�C大きいので、コイルを流れる伝理由が大きい}からである。

磁場が強ければ台車の受ける力も大きくなります。
電流が大きければ磁場も強くなり、電流が小さければ磁場も小さくなります。
抵抗が大きければ電流は小さくなるので、�Bが正しいとわかると思います。


　空気抵抗も台車の加速度に影響を与えると考えられるが、この実験では台車が遅く、さらに台車の質量が[ 18 ]{�@大きい　�A無視できる}ので、空気抵抗の影響は小さい。

台車の質量が仮にものすごく小さければ、ちょっとの風で飛んでいったりしてしまいますね。
普通の台車は充分に「�@質量が大きい」から、空気抵抗を受けても、ほぼ減速せずに等速直線運動を続けることができる。というわけです。


次の問題→電圧が大きくなった場合


◆関連項目
電気・磁気まとめ
2022年第２問


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日本史「ワシントン体制」社会運動の勃興�A

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

1912年、労働者階級の地位向上と労働組合育成とを目的に鈴木文治によって組織された友愛会は、労働組合の全国組織へと急速に発展した。友愛会は1919年に大日本労働総同盟友愛会と改称し、1920年の第１回メーデーを主催した。1920年にはさらに日本労働総同盟と改め、階級闘争主義に方向を転換した。また、この前後から農村でも小作争議が頻発し、1922年には杉山元治郎・賀川豊彦らによって、日本農民組合が結成された。

一方、民本主義を唱える吉野作造は1918年には(�@)を組織して啓蒙運動を行い、知識人層に大きな影響を与えた。吉野の影響を受けた学生たちは(�A)などの思想団体を結成し、労働・農民運動との関係を深めていった。


解答はこのページ下


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◆解答

�@黎明会、�A東大新人会

1912年、労働者階級の地位向上と労働組合育成とを目的に鈴木文治によって組織された友愛会は、労働組合の全国組織へと急速に発展した。友愛会は1919年に大日本労働総同盟友愛会と改称し、1920年の第１回メーデーを主催した。1920年にはさらに日本労働総同盟と改め、階級闘争主義に方向を転換した。また、この前後から農村でも小作争議が頻発し、1922年には杉山元治郎・賀川豊彦らによって、日本農民組合が結成された。

一方、民本主義を唱える吉野作造は1918年には黎明会を組織して啓蒙運動を行い、知識人層に大きな影響を与えた。吉野の影響を受けた学生たちは東大新人会などの思想団体を結成し、労働・農民運動との関係を深めていった。


前の問題→社会運動の勃興�@
次の問題→社会運動の勃興�B


近代・現代まとめ
近世まとめ、中世まとめ、原始・古代まとめ


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