本日配信のメルマガでは、2023年大学入試共通テスト数学２Ｂ第５問を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる！共通テスト数学の考え方
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■ 問題
2023年共通テスト数２Ｂより
第５問
三角錐ＰＡＢＣにおいて、辺ＢＣの中点をＭとおく。また、∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ
とし、この角度をθとおく。ただし、０°＜θ＜９０°とする。
(1) →ＡＭは
→ＡＭ＝([ア]／[イ])・→ＡＢ＋([ウ]／[エ])・→ＡＣ
と表せる。また
(→ＡＰ・→ＡＢ)／(|→ＡＰ||→ＡＢ|)
＝(→ＡＰ・→ＡＣ)／(|→ＡＰ||→ＡＣ|)
＝[オ] ……{1}
である。
[オ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｓｉｎθ {1} ｃｏｓθ {2} ｔａｎθ ｜
｜{3} １／ｓｉｎθ {4} １／ｃｏｓθ {5} １／ｔａｎθ ｜
｜{6} ｓｉｎ∠ＢＰＣ {7} ｃｏｓ∠ＢＰＣ {8} ｔａｎ∠ＢＰＣ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
(2) θ＝４５°とし、さらに
|→ＡＰ|＝３√２，|→ＡＢ|＝|→ＰＢ|＝３，|→ＡＣ|＝|→ＰＣ|＝３
が成り立つ場合を考える。このとき
→ＡＰ・→ＡＢ＝→ＡＰ・→ＡＣ＝[カ]
である。さらに、直線ＡＭ上の点Ｄが∠ＡＰＤ＝９０°を満たしているとする。
このとき→ＡＤ＝[キ]・→ＡＭである。
(3)
→ＡＱ＝[キ]・→ＡＭ
で定まる点をＱとおく。→ＰＡと→ＰＱが垂直である三角錐ＰＡＢＣはどのような
ものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点Ｑは点Ｄと一致し、→ＰＡと
→ＰＱは垂直である。
(i) →ＰＡと→ＰＱが垂直であるとき、→ＰＱを→ＡＢ，→ＡＣ，→ＡＰを用いて
表して考えると、[ク]が成り立つ。さらに{1}に注意すると、[ク]から[ケ]が成り
立つことがわかる。
したがって、→ＰＡと→ＰＱが垂直であれば、[ケ]が成り立つ。逆に[ケ]が成り
立てば→ＰＡと→ＰＱは垂直である。
[ク]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝→ＡＰ・→ＡＰ ｜
｜{1} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝－→ＡＰ・→ＡＰ ｜
｜{2} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝→ＡＢ・→ＡＣ ｜
｜{3} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝－→ＡＢ・→ＡＣ ｜
｜{4} →ＡＰ・→ＡＢ＋→ＡＰ・→ＡＣ＝０ ｜
｜{5} →ＡＰ・→ＡＢ－→ＡＰ・→ＡＣ＝０ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ケ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} |→ＡＢ|＋|→ＡＣ|＝√２・|→ＢＣ| ｜
｜{1} |→ＡＢ|＋|→ＡＣ|＝２|→ＢＣ| ｜
｜{2} |→ＡＢ|ｓｉｎθ＋|→ＡＣ|ｓｉｎθ＝|→ＡＰ| ｜
｜{3} |→ＡＢ|ｃｏｓθ＋|→ＡＣ|ｃｏｓθ＝|→ＡＰ| ｜
｜{4} |→ＡＢ|ｓｉｎθ＝|→ＡＣ|ｓｉｎθ＝２|→ＡＰ| ｜
｜{5} |→ＡＢ|ｃｏｓθ＋|→ＡＣ|ｃｏｓθ＝２|→ＡＰ| ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
(ii) ｋを正の実数とし
ｋ・→ＡＰ・→ＡＢ＝→ＡＰ・→ＡＣ
が成り立つとする。このとき[コ]が成り立つ。
また、点Ｂから直線ＡＰに下ろした垂線と直線ＡＰの交点をＢ'とし、同様に
点Ｃから直線ＡＰに下ろした垂線と直線ＡＰの交点をＣ'とする。
このとき、→ＰＡと→ＰＱが垂直であることは、[サ]であることと同値である。
特にｋ＝１のとき、→ＰＡと→ＰＱか垂直であることは、[シ]であることと同値で
ある。
[コ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} ｋ|→ＡＢ|＝|→ＡＣ| {1} |→ＡＢ|＝ｋ|→ＡＣ| ｜
｜{2} ｋ|→ＡＰ|＝√２|→ＡＢ| {3} ｋ|→ＡＰ|＝√２|→ＡＣ| ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
[サ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰの中点 ｜
｜{1} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ(ｋ＋１)：１と１：(ｋ＋１)に ｜
｜ 内分する点 ｜
｜{2} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ１：(ｋ＋１)と(ｋ＋１)：１に ｜
｜ 内分する点 ｜
｜{3} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれｋ：１と１：ｋに内分する点 ｜
｜{4} Ｂ'とＣ'が線分ＡＰをそれぞれ１：ｋとｋ：１に内分する点 ｜
｜{5} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰをｋ：１に内分する点 ｜
｜{6} Ｂ'とＣ'がともに線分ＡＰを１：ｋに内分する点 ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
[シ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――――――――――┐
｜{0} △ＰＡＢと△ＰＡＣがともに正三角形 ｜
｜{1} △ＰＡＢと△ＰＡＣがそれぞれ∠ＰＢＡ＝９０°， ｜
｜ ∠ＰＣＡ＝９０°を満たす直角二等辺三角形 ｜
｜{2} △ＰＡＢと△ＰＡＣがそれぞれＢＰ＝ＢＡ，ＣＰ＝ＣＡを満たす｜
｜ 二等辺三角形 ｜
｜{3} △ＰＡＢと△ＰＡＣが合同 ｜
｜{4} ＡＰ＝ＢＣ ｜
└―――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)／(分母)、ｘの２乗はｘ^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
ベクトルの解説記事→
http://a-ema.seesaa.net/article/478238347.html━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
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■ 解説目次
◆１ ベクトルの成分と大きさ
◆２ ベクトルの四則計算
◆３ 中点だから１／２
◆４ 内積だから内積の公式
(以下略)
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■ 解説
◆１，２は省略します。
◆３ 中点だから１／２
では今回の問題です。まずは問題の設定を確認しましょう！
「三角錐ＰＡＢＣ」が登場します。
Ｐが頂点で、△ＡＢＣが底面と考えておくとよいと思います。
続いて「辺ＢＣの中点をＭ」「∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣとし、この角度をθとおく」
などの条件があります。
そして最初の設問は、→ＡＭを→ＡＢ，→ＡＣで表す問題です。
ＭはＢＣの中点なので、中点の公式を使って、
→ＡＭ＝(１／２)・→ＡＢ＋(１／２)・→ＡＣ
よって、[ア]＝１，[イ]＝２，[ウ]＝１，[エ]＝２
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◆４ 内積だから内積の公式
次は
(→ＡＰ・→ＡＢ)／(|→ＡＰ||→ＡＢ|)
＝(→ＡＰ・→ＡＣ)／(|→ＡＰ||→ＡＣ|)
について考えます。
→ＡＰ・→ＡＢは内積ですね。
まず内積の公式の通りに式を立てると、
→ＡＰ・→ＡＢ＝|→ＡＰ||→ＡＢ|ｃｏｓθ
このように表すことができます。
この式の両辺を|→ＡＰ||→ＡＢ|で割れば、
(以下略)
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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