2024年01月26日

高校数学「三角比」√3・tanθ−3=0

高校数学「三角比」√3・tanθ−3=0

◆問題

√3・tanθ−3=0を満たすθの値を求めよ。ただし、0°≦θ≦180°とする。


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

基本的な三角方程式です。
いきなりθを出すことはできないので、まずはtanθについて解きます。

√3・tanθ−3=0
  √3・tanθ=3
    tanθ=3/√3

3=√32だから、√3で約分して、

tanθ=√3

これを満たすθが、今回の問題の解です。
tanθ=y/xだから、x=1,y=√3になる角度は、60°ですね。

よって、θ=60°


◆関連項目
sinA=1/2のとき
三角比まとめ

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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト数学1A第1問[2]完成

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学1A第1問[2]を解説します。


【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
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リクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。


■ 問題

2024年共通テスト数1Aより

第1問

[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて、37ページの三角比の
表を用いてもよい。

(ブログに三角比の表を掲載しました)
http://a-ema.seesaa.net/article/502148555.html

 水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと
太陽高度を利用して求めよう。

 図1のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には
傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7%と表示されているとする。
 電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面である
とし、地面と坂が交わってできる直線をlとする。
 電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を
線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC,CDがそれぞれlと垂直
であるとき、電柱の影は坂に向かってまっすぐにのびているということにする。

http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-1.png

図1

電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびているとする。このとき、4点A,B,C,
Dを通る平面はlと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと
直線BCの交点をPとすると、太陽高度とは∠APBの大きさのことである。

http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-2.png

図2

道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて

  n°<∠DCP<n°+1°

を満たすnの値は[シ]である。

 以下では、∠DCPの大きさは、ちょうど[シ]°であるとする。

 ある日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べた
ところBC=7m,CD=4mであり、太陽高度は∠APB=45°であった。点D
から直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき

  BE=[ス]×[セ]m

であり

  DE=([ソ]+[タ]×[チ])m

である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入すると[ツ]mであることが
わかる。

[セ],[チ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP   {1} 1/sin∠DCP {2} cos∠DCP  |
|{3} 1/cos∠DCP {4} tan∠DCP   {5} 1/tan∠DCP|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘

[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} 10.4  {1} 10.7  {2} 11.0 |
|{3} 11.3  {4} 11.6  {5} 11.9 |
└―――――――――――――――――――――――┘


 別の日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたときの太陽高度は
∠APB=42°であった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の
長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは

  CD=(AB−[テ]×[ト])/([ナ]+[ニ]×[ト]) m

である。AB=[ツ]mとして、これを計算することにより、この日の電柱の影に
ついて、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことが
わかる。

[ト]〜[ニ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP  {1} cos∠DCP  {2} tan∠DCP  |
|{3} sin42°   {4} cos42°   {5} tan42°   |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘


※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。

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■ 解説目次

 ◆1 三角比は直角三角形の辺の比
 ◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?
 ◆3 「縦/横」だからタンジェント

(以下略)

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■ 解説

 ◆1 三角比は直角三角形の辺の比

2024年数学1A第1問[2]は、三角比の文章問題でした。
共通テストで特徴的な、身近な事柄に数学を適用する問題となっています。
文章が長いので、読むのが大変に感じる人も多いと思いますが、内容としては、
三角比の定義が重要になってきます。

三角比は直角三角形の辺の比を表していて、

★ sinθ=y/r(サインは斜辺分の縦)
★ cosθ=x/r(コサインは斜辺分の横)
★ tanθ=y/x(タンジェントは横分の縦)

ですね。

このページも参考にしてみてください。

「えまじゅくブログ三角比まとめページ」
→ http://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html


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 ◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?

それでは問題の内容を確認していきましょう!

地面に電柱が垂直に立っていて、電柱の高さを求めるのが目標のようです。

そして、条件の説明として

「坂の傾斜は7%」「地面と坂が交わってできる直線をlとする」
「電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする」
「電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CD
とする」

さらに、

「直線ADと直線BCの交点をPとすると太陽高度は∠APB」と書かれています。

共通テストは時間が足りない試験なので、「悠長に読んでられないよ!」という人も
いると思いますが、設定や状況が理解できた方が解きやすく、よく理解できれば
悩む時間が削減できるので、その方が結局速かったりします。
「時間が足りない」という人ほど、逆に、丁寧に読むように心がけることをおすすめ
します!


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 ◆3 「縦/横」だからタンジェント

第1問[2]最初の空欄[シ]に関して、次のような記述があります。


道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて

  n°<∠DCP<n°+1°

を満たすnの値は[シ]である。


要するに、7%という表示があるならば、「100m横に進むと7m縦に進む」
ことがわかります。

これを三角比で表せば、タンジェントですね。

◆1でも確認したように・・・


つづく


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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・

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日本史「第二次世界大戦」戦時統制と生活@

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◆問題

空欄に適語を入れてください。

広田弘毅内閣の大軍備拡張予算をきっかけに、財政は急速に膨張し、軍需物資の輸入の急増は国際収支の危機を招いた。日中戦争が始まると、第1次近衛内閣は、(@)法・輸出入品等臨時措置法などを制定して、直接的な経済統制に踏み切った。戦争の拡大につれて軍事費は急増し、相次ぐ増税にもかかわらず歳出をまかなえずに多額の(A)が発行され、インフレーションが進行していった。


解答はこのページ下


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◆解答

@臨時資金調整、A赤字公債

広田弘毅内閣の大軍備拡張予算をきっかけに、財政は急速に膨張し、軍需物資の輸入の急増は国際収支の危機を招いた。日中戦争が始まると、第1次近衛内閣は、臨時資金調整法・輸出入品等臨時措置法などを制定して、直接的な経済統制に踏み切った。戦争の拡大につれて軍事費は急増し、相次ぐ増税にもかかわらず歳出をまかなえずに多額の赤字公債が発行され、インフレーションが進行していった。


前の問題→日中戦争C
次の問題→戦時統制と生活A


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