本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト数学1A第1問[2]を解説します。
【高校数学】読むだけでわかる!共通テスト数学の考え方
http://www.mag2.com/m/0001641004.htmlリクエスト等ございましたら、mm@a-ema.comまでお知らせください。
■ 問題
2024年共通テスト数1Aより
第1問
[2] 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて、37ページの三角比の
表を用いてもよい。
(ブログに三角比の表を掲載しました)
http://a-ema.seesaa.net/article/502148555.html 水平な地面(以下、地面)に垂直に立っている電柱の高さを、その影の長さと
太陽高度を利用して求めよう。
図1のように、電柱の影の先端は坂の斜面(以下、坂)にあるとする。また、坂には
傾斜を表す道路標識が設置されていて、そこには7%と表示されているとする。
電柱の太さと影の幅は無視して考えるものとする。また、地面と坂は平面である
とし、地面と坂が交わってできる直線をlとする。
電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする。電柱の影について、地面にある部分を
線分BCとし、坂にある部分を線分CDとする。線分BC,CDがそれぞれlと垂直
であるとき、電柱の影は坂に向かってまっすぐにのびているということにする。
http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-1.png図1
電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびているとする。このとき、4点A,B,C,
Dを通る平面はlと垂直である。その平面において、図2のように、直線ADと
直線BCの交点をPとすると、太陽高度とは∠APBの大きさのことである。
http://www.a-ema.com/img/2024m1a1_2-2.png図2
道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて
n°<∠DCP<n°+1°
を満たすnの値は[シ]である。
以下では、∠DCPの大きさは、ちょうど[シ]°であるとする。
ある日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたとき、影の長さを調べた
ところBC=7m,CD=4mであり、太陽高度は∠APB=45°であった。点D
から直線ABに垂直な直線を引き、直線ABとの交点をEとするとき
BE=[ス]×[セ]m
であり
DE=([ソ]+[タ]×[チ])m
である。よって、電柱の高さは、小数第2位で四捨五入すると[ツ]mであることが
わかる。
[セ],[チ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP {1} 1/sin∠DCP {2} cos∠DCP |
|{3} 1/cos∠DCP {4} tan∠DCP {5} 1/tan∠DCP|
└―――――――――――――――――――――――――――――――――――┘
[ツ]の解答群
┌―――――――――――――――――――――――┐
|{0} 10.4 {1} 10.7 {2} 11.0 |
|{3} 11.3 {4} 11.6 {5} 11.9 |
└―――――――――――――――――――――――┘
別の日、電柱の影が坂に向かってまっすぐにのびていたときの太陽高度は
∠APB=42°であった。電柱の高さがわかったので、前回調べた日からの影の
長さの変化を知ることができる。電柱の影について、坂にある部分の長さは
CD=(AB−[テ]×[ト])/([ナ]+[ニ]×[ト]) m
である。AB=[ツ]mとして、これを計算することにより、この日の電柱の影に
ついて、坂にある部分の長さは、前回調べた4mより約1.2mだけ長いことが
わかる。
[ト]〜[ニ]の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
┌―――――――――――――――――――――――――――――――――┐
|{0} sin∠DCP {1} cos∠DCP {2} tan∠DCP |
|{3} sin42° {4} cos42° {5} tan42° |
└―――――――――――――――――――――――――――――――――┘
※分数は(分子)/(分母)、xの2乗はx^2、マーク部分の□は[ ]で表記しています。
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■ 解説目次
◆1 三角比は直角三角形の辺の比
◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?
◆3 「縦/横」だからタンジェント
(以下略)
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■ 解説
◆1 三角比は直角三角形の辺の比
2024年数学1A第1問[2]は、三角比の文章問題でした。
共通テストで特徴的な、身近な事柄に数学を適用する問題となっています。
文章が長いので、読むのが大変に感じる人も多いと思いますが、内容としては、
三角比の定義が重要になってきます。
三角比は直角三角形の辺の比を表していて、
★ sinθ=y/r(サインは斜辺分の縦)
★ cosθ=x/r(コサインは斜辺分の横)
★ tanθ=y/x(タンジェントは横分の縦)
ですね。
このページも参考にしてみてください。
「えまじゅくブログ三角比まとめページ」
→
http://a-ema.seesaa.net/article/478799685.html- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
◆2 丁寧に読んだ方が結局速いかも?
それでは問題の内容を確認していきましょう!
地面に電柱が垂直に立っていて、電柱の高さを求めるのが目標のようです。
そして、条件の説明として
「坂の傾斜は7%」「地面と坂が交わってできる直線をlとする」
「電柱の先端を点Aとし、根元を点Bとする」
「電柱の影について、地面にある部分を線分BCとし、坂にある部分を線分CD
とする」
さらに、
「直線ADと直線BCの交点をPとすると太陽高度は∠APB」と書かれています。
共通テストは時間が足りない試験なので、「悠長に読んでられないよ!」という人も
いると思いますが、設定や状況が理解できた方が解きやすく、よく理解できれば
悩む時間が削減できるので、その方が結局速かったりします。
「時間が足りない」という人ほど、逆に、丁寧に読むように心がけることをおすすめ
します!
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◆3 「縦/横」だからタンジェント
第1問[2]最初の空欄[シ]に関して、次のような記述があります。
道路標識の7%という表示は、この坂をのぼったとき、100mの水平距離に対して
7mの割合で高くなることを示している。nを1以上9以下の整数とするとき、坂の
傾斜角∠DCPの大きさについて
n°<∠DCP<n°+1°
を満たすnの値は[シ]である。
要するに、7%という表示があるならば、「100m横に進むと7m縦に進む」
ことがわかります。
これを三角比で表せば、タンジェントですね。
◆1でも確認したように・・・
つづく
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解説の続き・解答や公式一覧などは・・・
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