2024年01月31日

高校数学「数列」Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}


↓解答解説はお知らせの下に↓

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◆解答解説

Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}

前回の問題と同様に、部分分数分解をします。

「同様」だから、1/(1・4)=1/1−1/4だよね!

などと、検証せずに安易にやってしまって間違える人たくさんいます。
雰囲気・イメージだけで判断せず、「たぶんこう」と思うものの確証がないときは、実際にやってみましょう!
実際に1/1−1/4を計算してみると・・・

1/1−1/4=4/4−1/4=3/4

ですね。1/4ではありません。
でも、3/4は1/4の3倍だから、これを1/3倍して、

(1/3)・(3/4)=1/4

こうすれば、ちゃんと1/4になります。

同様に、1/(4・7)もやってみましょう!

1/4−1/7=7/28−4/28=3/28すなわち3/(4・7)です。
ならば、これも1/3すれば、1/(4・7)になりますね。
つまり、1/(4・7)=(1/3)(1/4−1/7)です。

ということは、1/(7・10)=(1/3)(1/7−1/10)だし、その次も同様に1/(10・13)=(1/3)(1/10−1/13)となります。

最後の項の1/{(3n−2)(3n+1)}も同様に、(1/3){1/(3n−2)−1/(3n+1)}となります。

つまり、全ての項が、分数の差の1/3倍になると推定できます。
だから、与式は

Sn=(1/3){(1/1−1/4)+(1/4−1/7)+(1/7−1/10)+……+1/(3n−2)−1/(3n+1)}

このように書き換えることができます。
1/4同士、1/7同士、1/10同士が次々と相殺してゼロになり、最初と最後だけが残ります。
つまり、

Sn=(1/3){1−1/(3n+1)}

あとは計算してできるだけ簡単にします。

 =(1/3){(3n+1)/(3n+1)−1/(3n+1)}
 =(1/3){3n/(3n+1)}
 =n/(3n+1)


◆関連項目
Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}部分分数分解
数列まとめ

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ラベル:数学
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本日配信のメルマガ。2024年共通テスト英語第2問A 本文前半

本日配信のメルマガでは、2024年大学入学共通テスト英語第2問Aの本文前半の内容を掲載します。


【高校英語】共通テストの英文解釈
http://www.mag2.com/m/0001641009.html


■ 問題

2024年大学入学共通テストより

第2問

A You are an exchange student at a high school in the UK and find this flyer.

┌────────────────────────────────────┐
| [Invitation to the Strategy Game Club]                |
|                                    |
|Have you ever wanted to learn strategy games like chess, shogi, or go? |
|They are actually more than just games. You can learn skills such as  |
|thinking logically and deeply without distractions. Plus, these games  |
|are really fun! This club is open to all students of our school.    |
|Regardless of skill level, you are welcome to join.           |
|                                    |
|We play strategy games together and...                 |
|● learn basic moves from demonstrations by club members        |
|● play online against club friends                   |
|● share tips on our club webpage                    |
|● learn the history and etiquette of each game             |
|● analyse games using computer software                |
|● participate in local and national tournaments            |
|                                    |
|Regular meetings: Wednesday afternoons in Room 301, Student Centre   |


つづく


※一部記号は省略または類似のものに変更、マーク部分の□や下線部は[ ]、
マル1は{1}で表記しています。

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■ スラッシュリーディング

A You are an exchange student / at a high school / in the UK
/ and find this flyer.
あなたは交換留学生だ / ある高校の / イギリスの
/ そしてこのチラシを見つける

┌────────────────────────────────────┐
[Invitation to the Strategy Game Club] [戦略ゲームクラブへの招待]

Have you ever wanted to learn / strategy games / like chess, shogi, or go?
あなたは今までに学びたかったですか? / 戦略ゲームを / チェス、将棋、碁などの

They are actually / more than just games.
それらは実際に〜だ / ただのゲーム以上


(以下略)


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ラベル:英語
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日本史「第二次世界大戦」戦時下の文化A

日本史「第二次世界大戦」戦時下の文化A

◆問題

空欄に適語を入れてください。

昭和初期の文学では、横光利一・川端康成らの新感覚派と(@)文学が二大潮流をなしたが、1930年代前半の社会主義弾圧の中で、(@)文学も壊滅していった。

一方、戦争が迫り来る中でも、島崎藤村の『A』や谷崎潤一郎の『B』といった大作が書き続けられた。日中戦争期には、火野葦平が自らの従軍体験を記録した『C』などの戦争文学が人気を博したが、石川達三の『生きてゐる兵隊』は発売禁止となり、1942年には日本文学報国会が結成された。


解答はこのページ下


用語集ならコレ!

日本史用語集 改訂版 A・B共用


◆解答

@プロレタリア、A夜明け前、B細雪、C麦と兵隊

昭和初期の文学では、横光利一・川端康成らの新感覚派とプロレタリア文学が二大潮流をなしたが、1930年代前半の社会主義弾圧の中で、プロレタリア文学も壊滅していった。

一方、戦争が迫り来る中でも、島崎藤村の『夜明け前』や谷崎潤一郎の『細雪』といった大作が書き続けられた。日中戦争期には、火野葦平が自らの従軍体験を記録した『麦と兵隊』などの戦争文学が人気を博したが、石川達三の『生きてゐる兵隊』は発売禁止となり、1942年には日本文学報国会が結成された。


前の問題→戦時下の文化@
次の問題→第二次世界大戦の勃発@


近代・現代まとめ
近世まとめ中世まとめ原始・古代まとめ


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高校数学「数列」Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

高校数学「数列」Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

◆問題

次の和Snを求めよ。

Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}


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◆解答解説

Sn=1/(1・2)+1/(2・3)+1/(3・4)+……+1/{n(n+1)}

このように、分母が自然数の積になっている分数の和を求めるときは、いわゆる部分分数分解をします。

まず最初の項、1/(1・2)について考えてみます。

1/(1・2)=1/2

ですね。さらに、

1/1−1/2=2/2−1/2=1/2

となります。だから、

1/(1・2)=1/1−1/2

ということができます。
同様に、

1/(2・3)=1/2−1/3,1/(3・4)=1/3−1/4

となります。
通分して引いてみると、そうなっちゃいます。Snの式のそれぞれの項を置き換えてみると、

Sn=(1/1−1/2)+(1/2−1/3)+(1/3−1/4)+……+{1/n−1/(n+1)}

このように書き換えることができます。

Sn=(1/1−1/2)+(1/21/3)+(1/31/4)+……+{1/n−1/(n+1)}

色をつけたところがそれぞれ相殺してゼロになるので、最初と最後だけが残ります。
つまり、

Sn=1/1−1/(n+1)
 =(n+1)/(n+1)−1/(n+1)
 =n/(n+1)


◆関連項目
Sn=1/(1・4)+1/(4・7)+1/(7・10)+……+1/{(3n−2)(3n+1)}部分分数分解
数列まとめ

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